Identificación de la asíntota vertical x = 0 en funciones potencia de exponente negativo
Reconocer que $f(x)=a\cdot x^{-n}$ tiene una asíntota vertical en $x=0$.
Introducción
Al acercarse a $x=0$, el denominador de la fracción equivalente se hace cada vez más pequeño, lo que dispara el valor de la función hacia el infinito.
Explicación
Definición formal
Como $f(x)=a\cdot x^{-n}=a/x^n$, cuando $x\to0$, el denominador $x^n\to0$, así que $|f(x)|\to+\infty$. La recta $x=0$ es asíntota vertical, ya que la gráfica se aproxima a ella sin cruzarla, tanto por la izquierda como por la derecha.
Desarrollo didáctico
$f(x)=1/x^2$: para $x=0{,}1$, $f(0{,}1)=100$; para $x=0{,}01$, $f(0{,}01)=10\,000$. Mientras más se acerca $x$ a $0$, más grande se vuelve el resultado, confirmando la asíntota vertical.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica que el dominio de $f(x)=a\cdot x^{-n}$ excluye $x=0$.
- Paso 2: Evalúa la función con valores de $x$ cada vez más cercanos a $0$.
- Paso 3: Observa que los valores de $|f(x)|$ crecen sin cota, señalando la asíntota en $x=0$.
Ejemplos
1 Describe qué ocurre con $f(x)=1/x^2$ cuando $x$ se acerca a $0$.
- {'Se evalúan valores decrecientes de $|x|$': '$0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$.'}
- Los resultados $100$, $10\,000$, $1\,000\,000$ crecen sin límite.
2 ¿Cuál es la ecuación de la asíntota vertical de $f(x)=5x^{-3}$?
- El dominio de cualquier función con exponente negativo excluye $x=0$.
- La asíntota vertical es siempre la recta $x=0$, sin importar el coeficiente ni el exponente.
3 ¿La gráfica de $f(x)=a\cdot x^{-n}$ llega a tocar la recta $x=0$?
- $x=0$ no pertenece al dominio de la función.
4 ¿La posición de la asíntota vertical cambia según el valor del exponente $n$?
- Para cualquier exponente negativo entero, la asíntota vertical siempre es $x=0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la asíntota vertical con la asíntota horizontal de esta misma función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que la gráfica puede tocar el eje $y$ para valores muy pequeños de $x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que la posición de la asíntota depende del exponente o del coeficiente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar mencionar que la asíntota es vertical al describir la gráfica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La gráfica de $f(x)=a\cdot x^{-n}$ (con $n$ entero positivo) tiene una **asíntota vertical** en la recta $x=0$, ya que la función no está definida ahí y sus valores divergen al acercarse a ese punto.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la asíntota vertical de $f(x)=x^{-n}$?
El dominio excluye $x=0$, generando la asíntota vertical.
Respuesta: A) $x=0$
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La gráfica de $f(x)=x^{-2}$ nunca cruza la recta $x=0$.
Es la definición de asíntota vertical.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué ocurre con $f(x)=x^{-2}$ cuando $x\to0$?
El denominador se acerca a $0$, disparando el valor de la función.
Respuesta: A) $|f(x)|\to+\infty$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La asíntota vertical de $f(x)=7x^{-3}$ es $x=0$.
No depende del coeficiente ni del exponente específico.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es la asíntota vertical de $f(x)=(x-5)^{-2}$?
La asíntota se traslada junto con el argumento: se exige $x-5=0$.
Respuesta: A) $x=5$
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¿Cuál es la asíntota vertical de $f(x)=(x+2)^{-1}$?
Se exige $x+2=0$, obteniendo $x=-2$.
Respuesta: A) $x=-2$
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Al desplazar horizontalmente la base, la asíntota vertical se desplaza en la misma medida.
La asíntota siempre ocurre donde la base de la potencia se anula.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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$f(x)=x^{-4}$ está definida exactamente en su asíntota vertical.
$x=0$ no pertenece al dominio, por lo que la función no está definida ahí.
Respuesta: Falso
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¿Cuál es la asíntota vertical de $f(x)=(3x)^{-2}$?
Se exige $3x=0$, que también da $x=0$.
Respuesta: A) $x=0$
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¿Cuál es el error frecuente al identificar la asíntota vertical?
Son dos tipos de asíntota distintos que suelen confundirse.
Respuesta: A) Confundirla con una asíntota horizontal