Gráfica de la función potencia con exponente un medio

Resumen inicial

La gráfica de la función potencia con exponente un medio $f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$ describe la rama superior de una parábola horizontal con vértice en el origen $(0, 0)$, definida exclusivamente en el primer cuadrante con $\operatorname{Dom}(f) = [0, +\infty[$ y $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$.

Explicación en palabras simples

$La gráfica de la función potencia con exponente un medio $f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$ describe la rama superior de una parábola horizontal con vértice en el origen $(0, 0)$, definida exclusivamente en el primer cuadrante con $\operatorname{Dom}(f) = [0, +\infty[$ y $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$$

La función $f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$ (raíz cuadrada) es literalmente una media parábola acostada horizontalmente:

¿Cómo nace la curva?
Empieza en el origen $(0, 0)$.
Pasa por los puntos notables: $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$, $(16, 4)$.
Solo vive en el primer cuadrante (tanto $x$ como $y$ son mayores o iguales a cero).
¿Cómo crece?
Sube hacia la derecha pero cada vez más despacio y aplanada (es cóncava hacia abajo $\cap$).
En el punto de inicio $(0, 0)$, la curva sale con una recta tangente perfectamente vertical.

Explicación formal

Sea $f: [0, +\infty[ \to [0, +\infty[$ definida por $f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$.
Por definición de la función raíz cuadrada principal, $f$ es la inversa de la función cuadrática restringida $g(x) = x^2$ para $x \ge 0$.

Análisis diferencial y convexidad:
1. Primera derivada (Monotonía):
$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0, \quad \forall x > 0$$
La función es estrictamente creciente en $]0, +\infty[$ con $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = +\infty$ (tangente vertical en el origen).
2. Segunda derivada (Concavidad):
$$f''(x) = -\frac{1}{4x^{3/2}} = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}} < 0, \quad \forall x > 0$$
La función es estrictamente cóncava hacia abajo en todo su dominio.
3. Espacios fundamentales:
$$\operatorname{Dom}(f) = [0, +\infty[, \quad \operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$$

Definiciones clave

Semi-parábola horizontal: Curva obtenida al restringir la inversa de la parábola estándar al semiplano superior $y \ge 0$.
Tangente vertical en el origen: Pendiente infinita en $x = 0$ debida a $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = +\infty$.

Propiedades y relaciones importantes

Simetría con $y = x^2$: La curva $y = \sqrt{x}$ es la reflexión especular de $y = x^2$ ($x \ge 0$) respecto a la recta diagonal $y = x$.
Dilatación vertical: En $g(x) = a\sqrt{x}$, el parámetro $a > 0$ escala verticalmente las alturas.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La gráfica de la función potencia con exponente un medio $f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$ describe la rama superior de una parábola horizontal con vértice en el origen $(0, 0)$, definida exclusivamente en el primer cuadrante con $\operatorname{Dom}(f) = [0, +\infty[$ y $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$$

Analiza y grafica la función $f(x) = 2\sqrt{x}$:
1) Halla los puntos para $x = 0, 1, 4, 9, 16$.
2) Describe el dominio, recorrido y concavidad.
3) Compara la altura de $f(x)$ con la raíz cuadrada estándar en $x = 9$.

Paso 1: Puntos evaluados: - $f(0) = 2(0) = \mathbf{0} \implies (0, 0)$. - $f(1) = 2(1) = \mathbf{2} \implies (1, 2)$. - $f(4) = 2(2) = \mathbf{4} \implies (4, 4)$. - $f(9) = 2(3) = \mathbf{6} \implies (9, 6)$. - $f(16) = 2(4) = \mathbf{8} \implies (16, 8)$.
Paso 2: $\operatorname{Dom}(f) = [0, +\infty[$, $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$, estrictamente creciente y cóncava hacia abajo.
Paso 3: En $x = 9$, $\sqrt{9} = 3$, mientras que $f(9) = 6$ (el doble de altura por el factor $a = 2$).

Procedimiento

Paso 1: Marcar el punto de inicio en el origen $(0, 0)$.
Paso 2: Evaluar cuadrados perfectos $x \in \{1, 4, 9, 16\}$ para obtener coordenadas enteras.
Paso 3: Trazar una curva suave en el primer cuadrante que inicie verticalmente en $(0, 0)$ y se curve hacia la derecha.
Paso 4: Verificar que el dominio y recorrido sean ambos $[0, +\infty[$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Dibujar dos ramas (arriba y abajo) en $y = \sqrt{x}$.
Cómo corregirlo: La raíz cuadrada como FUNCIÓN toma únicamente el valor positivo principal: solo existe la rama superior en el primer cuadrante.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Su dominio y recorrido son idénticamente el intervalo cerrado [0, +∞[."

"La gráfica de f(x) = √x es una semi-parábola ubicada en el primer cuadrante con inicio en (0, 0)."

"Graficar la rama negativa en la función raíz cuadrada principal."

"Asumir que la curva se detiene o tiene asíntota horizontal (crece sin cota hacia +infinito)."

"Intentar evaluar números negativos en x."

Al terminar debes poder

$Resumen La gráfica de la función potencia con exponente un medio $f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$ describe la rama superior de una parábola horizontal con vértice en el origen $(0, 0)$, definida exclusivamente en el primer cuadrante con $\operatorname{Dom}(f) = [0, +\infty[$ y $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$$

Graficar y caracterizar la función potencia con exponente un medio f(x) = √x.

Muestreando cuadrados perfectos, trazando la semi-parábola cóncava y estableciendo Dom = Rec = [0, +∞[.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿A qué exponente equivale $\sqrt{x}$?
Es la equivalencia estándar entre raíz cuadrada y exponente.

Respuesta: A) $1/2$
$f(x)=\sqrt{x}$ está definida para $x\geq0$.
¿Cómo es el crecimiento de $f(x)=\sqrt{x}$?
Necesita incrementos cada vez mayores de $x$ para seguir creciendo.

Respuesta: A) Creciente pero cada vez más lento

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$\sqrt{49}=7$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Calcula $f(x)=\sqrt{x}$ en $x=36$.
$\sqrt{36}=6$.

Respuesta: A) 6
$f(x)=\sqrt{x}$ pasa por el punto $(0,0)$.
¿Está definida $f(x)=\sqrt{x}$ en $x=-9$?
La raíz cuadrada de un número negativo no es real.

Respuesta: A) No, no pertenece al dominio

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

El recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$ es $[0,+\infty)$.
¿Cuál es el valor de $f(x)=\sqrt{x}$ en $x=0{,}25$?
$\sqrt{0{,}25}=0{,}5$.

Respuesta: A) 0{,}5
¿Cuál es el error frecuente respecto a $\sqrt{x}$?
Es un error frecuente ignorar la restricción de dominio.

Respuesta: A) Suponer que está definida para números negativos

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación