Determinación del recorrido de funciones potencia asociadas a raíces de índice par

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

El conjunto recorrido de una función potencia con exponente fraccionario de denominador par $f(x) = a x^{p/q}$ ($q$ par) son los reales no negativos $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$ si $a > 0$, o los reales no positivos $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$ si $a < 0$.

Explicación en palabras simples

En las funciones potencia de exponente fraccionario con denominador par (como $x^{1/2}, x^{3/4}$), la función representa una raíz de índice par ($\sqrt{}, \sqrt[4]{}$). Por definición matemática, el resultado de una raíz principal de índice par jamás puede ser un número negativo ($\sqrt{x} \ge 0$). Si el coeficiente $a$ es positivo, todas las respuestas son mayores o iguales a cero ($[0, +\infty[$). Si $a$ es negativo, el producto convierte todos los resultados en cero o negativos ($]-\infty, 0]$).

Explicación formal

Definición formal

Para la función potencia de exponente fraccionario $f(x) = a \cdot x^{p/q} \equiv a \cdot \sqrt[q]{x^p}$ definida en $\operatorname{Dom}(f) = [0, +\infty[$ con denominador par $q = 2k$ (Par), el conjunto recorrido o conjunto imagen viene determinado por el signo del parámetro de escala $a \neq 0$:

  1. Caso Coeficiente Positivo ($a > 0$):
  2. Puesto que $x^{p/2k} \ge 0$ para todo $x \ge 0$, el producto $a x^{p/2k} \ge 0$.
  3. El mínimo absoluto se ubica en $f(0) = 0$.

  4. Conjunto Recorrido: $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$.

  5. Caso Coeficiente Negativo ($a < 0$):

  6. Puesto que $x^{p/2k} \ge 0$ para todo $x \ge 0$, el producto $a x^{p/2k} \le 0$.
  7. El máximo absoluto se ubica en $f(0) = 0$.
  8. Conjunto Recorrido: $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$.

Síntesis didáctica

Diferencia de cota según el signo de $a$:
- $a > 0 \implies \operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$ (Semiparábola horizontal habitando el cuadrante I).
- $a < 0 \implies \operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$ (Semiparábola horizontal habitando el cuadrante IV).

Comprueba tu avance ¿Cuál es el conjunto recorrido de la función potencia $f(x) = 4 x^{1/4} = 4\sqrt[4]{x}$ con denominador par y coeficiente positivo $a = 4 > 0$?

Definiciones clave

  • Recorrido acotado: Conjunto de salidas de la raíz principal limitado por la cota $y = 0$.
  • Raíz principal no negativa: Propiedad por la cual $\sqrt[2k]{u} \ge 0$ para todo $u \ge 0$.
  • Inversión del recorrido por el signo de $a$: Transición del intervalo $[0, +\infty[$ a $]-\infty, 0]$ al multiplicar por un coeficiente negativo.

Propiedades y relaciones importantes

  • Biyectividad e Invertibilidad: En su dominio $[0, +\infty[$, la función $f(x) = a x^{p/2k}$ es estrictamente monótona, admitiendo función inversa definida en su recorrido.
  • Invariancia por el numerador $p$: Para todo $p \in \mathbb{Z}^+$, la raíz principal de índice par conserva la acotación de salidas a valores no negativos si $a > 0$.

Ejemplo guiado

Determina el conjunto recorrido de las funciones potencia de exponente fraccionario $f(x) = 3 x^{1/2}$ y $g(x) = -5 x^{3/4}$, identificando el valor de su cota en el origen.

  • Paso 1: Para $f(x) = 3 x^{1/2} = 3\sqrt{x}$, el denominador $q = 2$ es par y $a = 3 > 0$. Para $x = 0 \implies f(0) = 0$. Para todo $x > 0 \implies f(x) > 0$. Recorrido: $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$.
  • Paso 2: Para $g(x) = -5 x^{3/4} = -5\sqrt[4]{x^3}$, el denominador $q = 4$ es par y $a = -5 < 0$. Para $x = 0 \implies g(0) = 0$. Para todo $x > 0 \implies g(x) < 0$. Recorrido: $\operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, 0]$.
  • Paso 3: Conclusión: $f(x)$ posee su mínimo absoluto en $y = 0$ ($[0, +\infty[$), mientras que $g(x)$ posee su máximo absoluto en $y = 0$ ($]-\infty, 0]$).
Comprueba tu avance ¿Qué ocurre con el conjunto recorrido de la función potencia $f(x) = -2 x^{1/2} = -2\sqrt{x}$ al multiplicar la raíz cuadrada por el coeficiente negativo $a = -2$?

Procedimiento

  • Paso 1: Confirmar que el denominador $q$ en el exponente fraccionario de $f(x) = a x^{p/q}$ sea par.
  • Paso 2: Observar el signo del coeficiente multiplicativo $a$.
  • Paso 3: Si $a > 0$, fijar el mínimo en $y = 0$ y declarar el recorrido como $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$.
  • Paso 4: Si $a < 0$, fijar el máximo en $y = 0$ y declarar el recorrido como $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Declarar que el recorrido de $y = \sqrt{x}$ abarca números negativos porque $(-2)^2 = 4$. Cómo corregirlo: La función potencia $x^{1/2}$ representa la raíz cuadrada principal (aritmética), la cual por convención y definición de función es siempre no negativa ($y \ge 0$).
  • Error 2: Olvidar que el corchete en el cero es cerrado en el recorrido. Cómo corregirlo: En $x = 0$, $f(0) = a\sqrt[q]{0} = 0$. El cero pertenece al conjunto de imágenes, por lo que lleva corchete cerrado ($[0$ o $0]$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿El recorrido de $f(x) = x^{1/2}$ es $[0, +\infty[$?
2 ¿La función $g(x) = -6x^{3/4}$ tiene recorrido $]-\infty, 0]$?
3 ¿El valor $y = -5$ pertenece al recorrido de $f(x) = 2x^{1/2}$?
4 ¿La función $h(x) = 4x^{5/2}$ posee un mínimo absoluto en $y = 0$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El recorrido de $f(x) = -3x^{1/2}$ es el intervalo cerrado $[0, +\infty[$."
"El valor cero $y = 0$ se excluye del recorrido de $f(x) = x^{1/4}$."
"El conjunto recorrido de la función $f(x) = x^{1/2}$ es todo el conjunto $\mathbb{R}$."
"Una función con exponente $1/2$ y $a > 0$ arroja salidas negativas para números reales pequeños."
"La acotación del recorrido en $y = 0$ es consecuencia de la definición de raíz principal no negativa sobre el dominio $[0, +\infty[$."
"El denominador par en el exponente permite que las salidas abarquen todos los números reales."
"El conjunto recorrido de una función potencia con exponente fraccionario de denominador par $f(x) = a x^{p/2k}$ son los reales no negativos $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$ si $a > 0$, o los reales no positivos $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$ si $a < 0$."

Al terminar debes poder

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular el recorrido de funciones potencia asociadas a raíces de índice par.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Determinar el conjunto de valores de salida no negativos alcanzados por la raíz principal ($\text{Rec} = [0, +\infty[$ para $a > 0$).

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. $f(x)=\sqrt[4]{x}$ tiene recorrido $[0,+\infty)$.

  2. ¿Puede $f(x)=\sqrt{x}$ dar como resultado un número negativo?

  3. ¿Cuál es el recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. El valor $0$ pertenece al recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Pertenece $5$ al recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$?

  2. ¿Cuál es el recorrido de $f(x)=\sqrt[6]{x}$?

  3. El recorrido de una raíz de índice par coincide con su dominio original antes de aplicar la raíz.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente respecto a este recorrido?

  2. El recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$ y $g(x)=\sqrt[4]{x}$ es el mismo conjunto.

  3. ¿Pertenece $-3$ al recorrido de $f(x)=\sqrt[4]{x}$?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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