Determinación del recorrido de funciones potencia asociadas a raíces de índice par
Resumen inicial
La determinación del recorrido de funciones potencia asociadas a raíces de índice par $f(x) = a \sqrt[2k]{x}$ establece que $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$ si $a > 0$ y $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$ si $a < 0$, debido a la no negatividad intrínseca del operador radical principal $\sqrt[2k]{x} \ge 0$.
Explicación en palabras simples
![La determinación del recorrido de funciones potencia asociadas a raíces de índice par $f(x) = a \sqrt[2k]{x}$ establece que $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$ si $a > 0$ y $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$ si $a < 0$, debido a la no negatividad intrínseca del operador radical principal $\sqrt[2k]{x} \ge 0$](/static/img/nodos/determinacion-del-recorrido-de-funciones-potencia-asociadas-a-raices-de-indice-par-intro.svg)
Por definición universal de función matemática, la raíz de índice par siempre entrega el resultado positivo o cero ($\\sqrt[2k]{x} \ge 0$):
- Si $a > 0$ (como $f(x) = 3\sqrt{x}$):
- El resultado de la raíz $(\ge 0)$ se multiplica por un positivo.
- $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$ (la curva vive en el primer cuadrante, desde $y = 0$ hacia arriba).
- Si $a < 0$ (como $g(x) = -2\sqrt{x}$):
- El resultado de la raíz $(\ge 0)$ se multiplica por un negativo, dando siempre cero o negativo.
- $\operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, 0]$ (la curva vive en el cuarto cuadrante, desde $y = 0$ hacia abajo).
- El vértice: En ambos casos, el punto de inicio es el origen $(0, 0)$, por lo que el cero SIEMPRE está incluido con corchete cerrado $[0$ ó $0]$.
Explicación formal
Sea $f: [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = a \sqrt[2k]{x}$ con $k \in \mathbb{Z}^+$ y $a \in \mathbb{R}^*$.
Por la definición canónica del radical aritmético principal en $\mathbb{R}$:
$$\forall x \in [0, +\infty[: \quad \sqrt[2k]{x} \ge 0 \quad \land \quad \sqrt[2k]{x} = 0 \iff x = 0$$
Análisis del conjunto imagen según el signo de $a$:
1. Para $a > 0$:
$$a \cdot \sqrt[2k]{x} \ge 0, \; \forall x \ge 0 \implies \operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$$
Para cada $y_0 \ge 0$, existe una única preimagen $x_0 = (y_0 / a)^{2k} \in [0, +\infty[$.
2. Para $a < 0$:
$$a \cdot \sqrt[2k]{x} \le 0, \; \forall x \ge 0 \implies \operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$$
Para cada $y_0 \le 0$, existe una única preimagen $x_0 = (y_0 / a)^{2k} \in [0, +\infty[$.
La alternativa correcta es ']-∞, 0] (cerrado en cero)'. Como $\sqrt[6]{x} \ge 0$ y el coeficiente es $-7 < 0$, las salidas son siempre menores o iguales a cero.
Definiciones clave
- Radical aritmético principal: Convenio funcional que asigna exclusivamente la raíz no negativa $\ge 0$.
- Recorrido semiacotado en el origen: Intervalo $[0, +\infty[$ o $]-\infty, 0]$ con frontera fija en $y = 0$.
Propiedades y relaciones importantes
- Inyectividad en el dominio: A diferencia de las potencias pares $x^{2k}$ (que tienen 2 preimágenes), las raíces pares son estrictamente inyectivas en $[0, +\infty[$.
- Cota extrema: $y = 0$ es mínimo absoluto si $a > 0$ y máximo absoluto si $a < 0$.
Ejemplo guiado
![Ejemplo La determinación del recorrido de funciones potencia asociadas a raíces de índice par $f(x) = a \sqrt[2k]{x}$ establece que $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$ si $a > 0$ y $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$ si $a < 0$, debido a la no negatividad intrínseca del operador radical principal $\sqrt[2k]{x} \ge 0$](/static/img/nodos/determinacion-del-recorrido-de-funciones-potencia-asociadas-a-raices-de-indice-par-ejemplos.svg)
Determina el recorrido y halla la preimagen correspondiente para:
1) $f(x) = 5\sqrt{x}$ para $y = 20$
2) $g(x) = -3\sqrt[4]{x}$ para $y = -6$
- Paso 1: Para $f(x) = 5\sqrt{x}$ ($a = 5 > 0$): - **$\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$**. - Preimagen: $5\sqrt{x} = 20 \implies \sqrt{x} = 4 \implies x = 4^2 = \mathbf{16}$.
- Paso 2: Para $g(x) = -3\sqrt[4]{x}$ ($a = -3 < 0$): - **$\operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, 0]$**. - Preimagen: $-3\sqrt[4]{x} = -6 \implies \sqrt[4]{x} = 2 \implies x = 2^4 = \mathbf{16}$.
La alternativa correcta es 'Porque 2√x ≥ 0 para todo x ≥ 0 y nunca puede dar un número negativo'. La función raíz con $a > 0$ tiene recorrido $[0, +\infty[$.
Procedimiento
- Paso 1: Constatar que el índice de la raíz sea un entero par ($2, 4, 6...$).
- Paso 2: Evaluar el signo del coeficiente exterior $a$.
- Paso 3: Si $a > 0$, formular $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$ con mínimo en $(0, 0)$.
- Paso 4: Si $a < 0$, formular $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$ con máximo en $(0, 0)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Pensar que $f(x) = \sqrt{x}$ tiene recorrido $\mathbb{R}$ porque las raíces tienen dos signos $(\pm)$.
- Cómo corregirlo: La función matemática raíz cuadrada se define exclusivamente con el signo positivo principal: $\operatorname{Rec} = \mathbf{[0, +\infty[}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Índice par con $a = 12 > 0 \implies \operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$.
- Paso 1: $a = -1 < 0 \implies \operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, 0]$.
- Paso 1: $3\sqrt{x} = 6 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$.
- Paso 1: Con $a > 0$, el origen es la cota inferior mínima.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
![Resumen La determinación del recorrido de funciones potencia asociadas a raíces de índice par $f(x) = a \sqrt[2k]{x}$ establece que $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$ si $a > 0$ y $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$ si $a < 0$, debido a la no negatividad intrínseca del operador radical principal $\sqrt[2k]{x} \ge 0$](/static/img/nodos/determinacion-del-recorrido-de-funciones-potencia-asociadas-a-raices-de-indice-par-resumen.svg)
Determinar el recorrido de funciones potencia asociadas a raíces de índice par.
Aplicando la no negatividad del radical principal y evaluando el signo del coeficiente a para formular [0, +∞[ o ]-∞, 0].
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
$f(x)=\sqrt[4]{x}$ tiene recorrido $[0,+\infty)$.
El índice $4$ es par.
Respuesta: Verdadero
-
¿Puede $f(x)=\sqrt{x}$ dar como resultado un número negativo?
Por definición, la raíz cuadrada entrega el valor no negativo.
Respuesta: A) No, nunca
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$?
Por convención, la raíz de índice par entrega solo el valor no negativo.
Respuesta: A) $[0,+\infty)$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El valor $0$ pertenece al recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$.
Se alcanza en $x=0$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Pertenece $5$ al recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$?
Se cumple $\sqrt{25}=5$.
Respuesta: A) Sí, en $x=25$
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=\sqrt[6]{x}$?
El índice $6$ es par, así que el recorrido es no negativo.
Respuesta: A) $[0,+\infty)$
-
El recorrido de una raíz de índice par coincide con su dominio original antes de aplicar la raíz.
El recorrido de la raíz se relaciona con el dominio de la función inversa (potencia), no es el mismo conjunto que su propio dominio.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente respecto a este recorrido?
Es un error común olvidar la convención del valor no negativo.
Respuesta: A) Suponer que puede incluir valores negativos
-
El recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$ y $g(x)=\sqrt[4]{x}$ es el mismo conjunto.
Ambos tienen recorrido $[0,+\infty)$, al ser ambos índices pares.
Respuesta: Verdadero
-
¿Pertenece $-3$ al recorrido de $f(x)=\sqrt[4]{x}$?
El recorrido de una raíz de índice par nunca incluye valores negativos.
Respuesta: A) No