Determinación del recorrido de funciones potencia asociadas a raíces de índice par
Determinar que el recorrido de $f(x)=x^{1/q}$ es $[0,+\infty)$ cuando $q$ es un entero par.
Introducción
Así como el dominio de la raíz de índice par se restringe a los no negativos, su resultado también queda limitado de la misma forma.
Explicación
Definición formal
Para $q$ par, $\sqrt[q]{x}$ se define como el único número real no negativo $y$ tal que $y^q=x$, para $x\geq0$. Como $y\geq0$ por definición, el recorrido de $f(x)=x^{1/q}$ es $[0,+\infty)$.
Desarrollo didáctico
$f(x)=\sqrt{x}$: nunca entrega como resultado un número negativo, aunque matemáticamente $(-3)^2=9$ también. Por convención, $\sqrt{9}=3$ (el valor no negativo), así que el recorrido de la función excluye los negativos.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el índice $q$ de la raíz en la expresión $x^{1/q}$.
- Paso 2: Verifica si $q$ es par.
- Paso 3: Si es par, concluye que el recorrido es $[0,+\infty)$.
Ejemplos
1 Determina el recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$.
- El índice de la raíz es $2$, un número par.
- El recorrido es $[0,+\infty)$.
2 Determina el recorrido de $f(x)=x^{1/4}$.
- El índice de la raíz es $4$, un número par.
- El recorrido es $[0,+\infty)$.
3 ¿Puede la función $f(x)=\sqrt{x}$ entregar un resultado negativo para algún $x$ de su dominio?
- Por convención, la raíz de índice par se define como el valor no negativo que cumple la igualdad.
4 ¿El valor $f(x)=0$ pertenece al recorrido de $f(x)=\sqrt[6]{x}$?
- Se alcanza exactamente en $x=0$, ya que $\sqrt[6]{0}=0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Suponer que la raíz de índice par puede entregar tanto el valor positivo como el negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el recorrido de la raíz par con el de la raíz impar, que sí es todo $\mathbb{R}$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No relacionar el recorrido restringido con la definición por convención de la raíz de índice par."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que el valor $0$ sí pertenece al recorrido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si $q$ es un entero par, el recorrido de $f(x)=x^{1/q}=\sqrt[q]{x}$ es $[0,+\infty)$, ya que la raíz de índice par se define como el valor no negativo que cumple la igualdad.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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$f(x)=\sqrt[4]{x}$ tiene recorrido $[0,+\infty)$.
El índice $4$ es par.
Respuesta: Verdadero
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¿Puede $f(x)=\sqrt{x}$ dar como resultado un número negativo?
Por definición, la raíz cuadrada entrega el valor no negativo.
Respuesta: A) No, nunca
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¿Cuál es el recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$?
Por convención, la raíz de índice par entrega solo el valor no negativo.
Respuesta: A) $[0,+\infty)$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El valor $0$ pertenece al recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$.
Se alcanza en $x=0$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Pertenece $5$ al recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$?
Se cumple $\sqrt{25}=5$.
Respuesta: A) Sí, en $x=25$
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¿Cuál es el recorrido de $f(x)=\sqrt[6]{x}$?
El índice $6$ es par, así que el recorrido es no negativo.
Respuesta: A) $[0,+\infty)$
-
El recorrido de una raíz de índice par coincide con su dominio original antes de aplicar la raíz.
El recorrido de la raíz se relaciona con el dominio de la función inversa (potencia), no es el mismo conjunto que su propio dominio.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente respecto a este recorrido?
Es un error común olvidar la convención del valor no negativo.
Respuesta: A) Suponer que puede incluir valores negativos
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El recorrido de $f(x)=\sqrt{x}$ y $g(x)=\sqrt[4]{x}$ es el mismo conjunto.
Ambos tienen recorrido $[0,+\infty)$, al ser ambos índices pares.
Respuesta: Verdadero
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¿Pertenece $-3$ al recorrido de $f(x)=\sqrt[4]{x}$?
El recorrido de una raíz de índice par nunca incluye valores negativos.
Respuesta: A) No