Determinación del dominio de funciones potencia asociadas a raíces de índice par
Resumen inicial
La determinación del dominio de funciones potencia asociadas a raíces de índice par $f(x) = a \cdot x^{p/2k} = a \sqrt[2k]{x^p}$ establece que $\operatorname{Dom}(f) = [0, +\infty[$, debido a la restricción fundamental de existencia que exige radicandos reales no negativos ($x \ge 0$).
Explicación en palabras simples
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Cuando tienes una función potencia donde el denominador del exponente es un número par ($1/2, 1/4, 3/6, 1/8...$):
$$\operatorname{Dom}(f) = [0, +\infty[ \quad (\text{Solo Números Positivos y Cero})$$
- ¿Por qué los negativos están prohibidos?
- En los números reales $\mathbb{R}$, no existe ninguna raíz cuadrada, cuarta o sexta de un número negativo (ej: $\sqrt{-9}$ no es real, es un número imaginario $3i$).
- Ningún número real multiplicado por sí mismo un número par de veces puede dar un resultado negativo.
- El cero sí está permitido: $\sqrt[4]{0} = 0$, por eso el intervalo es cerrado en cero: $[0, +\infty[$.
Explicación formal
Sea $f(x) = a \cdot x^{p/(2k)} = a \sqrt[2k]{x^p}$ con $k, p \in \mathbb{Z}^+$ y $a \in \mathbb{R}^*$.
Por la definición del operador radical par en el cuerpo ordenado $\mathbb{R}$:
$$\forall t \in \mathbb{R}: \quad \sqrt[2k]{t} \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow t \ge 0$$
Para la función simple con $p = 1$, la condición de existencia impone:
$$x \ge 0 \Longleftrightarrow \operatorname{Dom}(f) = [0, +\infty[ = \mathbb{R}^+_0$$
Comportamiento en la frontera:
El punto $x = 0$ es un punto de acumulación cerrado en el borde del dominio donde $f(0) = 0$.
La alternativa correcta es '[0, +∞[ (todos los números reales no negativos)'. Como el denominador del exponente es 4 (raíz cuarta de índice par), se exige $x \ge 0$.
Definiciones clave
- Radicando no negativo: Condición analítica $x \ge 0$ para garantizar la clausura en $\mathbb{R}$.
- Dominio unilateral cerrado: Conjunto $[0, +\infty[$ que excluye la totalidad del semieje negativo.
Propiedades y relaciones importantes
- Inexistencia de gráfica a la izquierda: No existe ningún punto de la curva en el semiplano $x < 0$.
- Diferencia con potencias enteras: Mientras que $x^2$ tiene dominio $\mathbb{R}$, su inversa $x^{1/2}$ tiene dominio $[0, +\infty[$.
Ejemplo guiado
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Determina y fundamenta el dominio de:
1) $f(x) = 3\sqrt[4]{x}$
2) $g(x) = -2x^{1/6}$
3) Explica por qué $x = -16$ no pertenece al dominio de $f(x)$.
- Paso 1: Para $f(x) = 3\sqrt[4]{x}$: Índice $4$ es par $\implies x \ge 0 \implies$ **$\operatorname{Dom}(f) = [0, +\infty[$**.
- Paso 2: Para $g(x) = -2x^{1/6}$: Denominador $6$ es par $\implies x \ge 0 \implies$ **$\operatorname{Dom}(g) = [0, +\infty[$**.
- Paso 3: Al evaluar $f(-16) = 3\sqrt[4]{-16}$, no existe ningún número real $r$ tal que $r^4 = -16$, demostrando que **$-16 \notin \operatorname{Dom}(f)$**.
La alternativa correcta es 'Porque la raíz sexta de 0 es 0, un número real perfectamente definido'. $\sqrt[6]{0} = 0 \in \mathbb{R}$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el denominador $q$ del exponente fraccionario $p/q$.
- Paso 2: Comprobar si $q$ es un número par ($2, 4, 6, 8...$).
- Paso 3: Plantear la inecuación de no negatividad del radicando $x \ge 0$.
- Paso 4: Escribir el dominio como el intervalo cerrado por la izquierda $\operatorname{Dom}(f) = [0, +\infty[$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Escribir $\operatorname{Dom} = \mathbb{R}$ en raíces cuartas o sextas.
- Cómo corregirlo: Si el índice es PAR, los números negativos NO TIENEN RAÍZ REAL: el dominio es $[0, +\infty[$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Índice par 8 $\implies \operatorname{Dom}(f) = [0, +\infty[$.
- Paso 1: El coeficiente $-10$ afecta al recorrido, pero el radicando exige $x \ge 0 \implies [0, +\infty[$.
- Paso 1: $\sqrt{-4} \notin \mathbb{R} \implies -4 \notin \operatorname{Dom}$.
- Paso 1: Cerrado en 0 y abierto en infinito $\implies [0, +\infty[$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
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Determinar el dominio de funciones potencia asociadas a raíces de índice par.
Planteando la condición de existencia del radicando x ≥ 0 para establecer Dom(f) = [0, +∞[.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Por qué se restringe el dominio de una raíz de índice par?
Es la razón matemática detrás de la restricción.
Respuesta: A) Porque ninguna potencia par real da un resultado negativo
-
¿Cuál es el dominio de $f(x)=\sqrt[4]{x}$?
El índice $4$ es par, restringiendo el dominio a los no negativos.
Respuesta: A) $[0,+\infty)$
-
$x=-1$ pertenece al dominio de $f(x)=\sqrt{x}$.
El índice es par, así que se excluyen los negativos.
Respuesta: Falso
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$x=0$ pertenece al dominio de $f(x)=\sqrt[6]{x}$.
Se incluye, ya que $\sqrt[6]{0}=0$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el dominio de $f(x)=\sqrt[8]{x}$.
El índice $8$ es par.
Respuesta: A) $[0,+\infty)$
-
Determina el dominio de $f(x)=\sqrt{x-4}$.
Se exige $x-4\geq0$.
Respuesta: A) $x\geq4$
-
El dominio de una raíz de índice par compuesta se determina exigiendo que el argumento sea mayor o igual a $0$.
Es la condición general para raíces de índice par.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar este dominio?
El $0$ sí pertenece al dominio de una raíz de índice par.
Respuesta: A) Excluir incorrectamente $x=0$ del dominio
-
El dominio de $f(x)=\sqrt[4]{x}$ y $g(x)=\sqrt[6]{x}$ es el mismo conjunto.
Ambos tienen dominio $[0,+\infty)$, al ser ambos índices pares.
Respuesta: Verdadero
-
Determina el dominio de $f(x)=\sqrt[4]{9-x}$.
Se exige $9-x\geq0$, que equivale a $x\leq9$.
Respuesta: A) $x\leq9$