Determinación del dominio de funciones potencia asociadas a raíces de índice par
Determinar que el dominio de $f(x)=x^{1/q}$ se restringe a $x\geq0$ cuando $q$ es un entero par.
Introducción
Cuando el índice de la raíz es par, como en la raíz cuadrada o cuarta, no existe una raíz real para números negativos.
Explicación
Definición formal
Para $q$ par, la expresión $\sqrt[q]{x}$ solo está definida dentro de los números reales cuando $x\geq0$, ya que ninguna potencia par de un número real puede dar un resultado negativo. Por lo tanto, el dominio de $f(x)=x^{1/q}$ es $[0,+\infty)$.
Desarrollo didáctico
$f(x)=\sqrt[4]{x}$: está definida en $x=16$, dando $f(16)=2$, pero no está definida en $x=-16$, porque ningún número real elevado a la cuarta potencia puede dar $-16$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el índice $q$ de la raíz en la expresión $x^{1/q}$.
- Paso 2: Verifica si $q$ es par.
- Paso 3: Si es par, restringe el dominio a $x\geq0$.
Ejemplos
1 Determina el dominio de $f(x)=x^{1/2}$.
- El índice de la raíz es $2$, un número par.
- El dominio es $[0,+\infty)$.
2 Determina el dominio de $f(x)=x^{1/6}$.
- El índice de la raíz es $6$, un número par.
- El dominio es $[0,+\infty)$.
3 ¿El valor $x=-9$ pertenece al dominio de $f(x)=\sqrt[4]{x}$?
- Ningún número real elevado a la cuarta potencia da un resultado negativo.
4 ¿El valor $x=0$ pertenece al dominio de $f(x)=\sqrt[6]{x}$?
- Se incluye $x=0$, porque $\sqrt[6]{0}=0$ está bien definido.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Suponer que toda función raíz excluye $x=0$, cuando en realidad sí pertenece al dominio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar la paridad del índice antes de determinar el dominio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta restricción con la del recorrido, que es un análisis distinto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar esta restricción a raíces con índice impar, donde no corresponde."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si $q$ es un entero par, el dominio de $f(x)=x^{1/q}=\sqrt[q]{x}$ es $[0,+\infty)$, excluyendo todos los valores negativos de $x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es el dominio de $f(x)=\sqrt[4]{x}$?
El índice $4$ es par, restringiendo el dominio a los no negativos.
Respuesta: A) $[0,+\infty)$
-
$x=-1$ pertenece al dominio de $f(x)=\sqrt{x}$.
El índice es par, así que se excluyen los negativos.
Respuesta: Falso
-
¿Por qué se restringe el dominio de una raíz de índice par?
Es la razón matemática detrás de la restricción.
Respuesta: A) Porque ninguna potencia par real da un resultado negativo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$x=0$ pertenece al dominio de $f(x)=\sqrt[6]{x}$.
Se incluye, ya que $\sqrt[6]{0}=0$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Determina el dominio de $f(x)=\sqrt[8]{x}$.
El índice $8$ es par.
Respuesta: A) $[0,+\infty)$
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Determina el dominio de $f(x)=\sqrt{x-4}$.
Se exige $x-4\geq0$.
Respuesta: A) $x\geq4$
-
El dominio de una raíz de índice par compuesta se determina exigiendo que el argumento sea mayor o igual a $0$.
Es la condición general para raíces de índice par.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar este dominio?
El $0$ sí pertenece al dominio de una raíz de índice par.
Respuesta: A) Excluir incorrectamente $x=0$ del dominio
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El dominio de $f(x)=\sqrt[4]{x}$ y $g(x)=\sqrt[6]{x}$ es el mismo conjunto.
Ambos tienen dominio $[0,+\infty)$, al ser ambos índices pares.
Respuesta: Verdadero
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Determina el dominio de $f(x)=\sqrt[4]{9-x}$.
Se exige $9-x\geq0$, que equivale a $x\leq9$.
Respuesta: A) $x\leq9$