Determinación del dominio de funciones potencia asociadas a raíces de índice impar
Resumen inicial
La determinación del dominio de funciones potencia asociadas a raíces de índice impar $f(x) = a \cdot x^{p/(2k+1)} = a \sqrt[2k+1]{x^p}$ establece que $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$, debido a la existencia universal de raíces impares reales para cualquier número real positivo, nulo o negativo.
Explicación en palabras simples
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Cuando el denominador del exponente es un número IMPAR ($1/3, 1/5, 2/7...$):
$$\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[ \quad (\text{¡TODOS los Números Reales!})$$
- ¿Por qué los números negativos SÍ están permitidos?
- Porque elevar un número negativo a una potencia impar da resultado negativo, por lo que su raíz impar SÍ existe y es un número real:
$$\sqrt[3]{-8} = -2 \quad (\text{porque } (-2)^3 = -8)$$
$$\sqrt[5]{-32} = -2 \quad (\text{porque } (-2)^5 = -32)$$ - Conclusión: A diferencia de la raíz cuadrada, la raíz cúbica o quinta no tiene ninguna restricción de signo: su gráfica se extiende por toda la recta real de izquierda a derecha.
Explicación formal
Sea $f(x) = a \cdot x^{p/(2k+1)} = a \sqrt[2k+1]{x^p}$ con $k, p \in \mathbb{Z}^+$ y $a \in \mathbb{R}^*$.
Por el teorema fundamental de la radicación en el cuerpo real $(\mathbb{R}, +, \cdot)$, para cualquier orden impar $2k+1$, la aplicación $t \mapsto t^{2k+1}$ es un automorfismo continuo, biyectivo y estrictamente monótono de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{R}$.
Por lo tanto, su función inversa radical está universalmente definida en todo el espacio real:
$$\forall x \in \mathbb{R}: \quad \sqrt[2k+1]{x} \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow \operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$$
La alternativa correcta es 'ℝ (todos los números reales)'. Las raíces de índice impar admiten cualquier número real positivo, negativo o nulo.
Definiciones clave
- Clausura universal de raíces impares: Propiedad por la cual la raíz de orden impar está unívocamente definida para cualquier radicando real.
- Dominio no acotado: Extensión completa sobre toda la recta $\mathbb{R}$ sin asíntotas ni restricciones.
Propiedades y relaciones importantes
- Conservación de signo: $\operatorname{sgn}(\sqrt[2k+1]{x}) = \operatorname{sgn}(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
- Contraste con índices pares: En $x^{1/2}$ el dominio es $[0, +\infty[$; en $x^{1/3}$ el dominio es $\mathbb{R}$.
Ejemplo guiado
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Determina y fundamenta el dominio de:
1) $f(x) = 4\sqrt[3]{x}$
2) $g(x) = -x^{2/5}$
3) Calcula $f(-27)$ y $g(-32)$.
- Paso 1: Para $f(x) = 4\sqrt[3]{x}$: Índice 3 es impar $\implies$ **$\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$**.
- Paso 2: Para $g(x) = -x^{2/5}$: Denominador 5 es impar $\implies$ **$\operatorname{Dom}(g) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$**.
- Paso 3: Evaluaciones numéricas: - $f(-27) = 4\sqrt[3]{-27} = 4(-3) = \mathbf{-12} \in \mathbb{R}$. - $g(-32) = -(\sqrt[5]{-32})^2 = -(-2)^2 = -(4) = \mathbf{-4} \in \mathbb{R}$.
La alternativa correcta es 'Porque ³√(-64) = -4, un número real bien definido'. Como $(-4)^3 = -64$, la raíz cúbica real de $-64$ es $-4$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el denominador $q$ del exponente fraccionario $p/q$.
- Paso 2: Comprobar que $q$ sea un número impar ($3, 5, 7, 9...$).
- Paso 3: Constatar que no existen restricciones algebraicas en el radicando.
- Paso 4: Declarar inmediatamente $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Restringir el dominio a $[0, +\infty[$ tratando a la raíz cúbica como si fuera cuadrada.
- Cómo corregirlo: Las raíces de índice IMPAR SÍ admiten números negativos: su dominio es TODO $\mathbb{R}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Índice impar 7 $\implies \operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}$.
- Paso 1: $(-5)^3 = -125 \implies \sqrt[3]{-125} = -5$.
- Paso 1: Denominador 3 es impar $\implies \operatorname{Dom}(g) = \mathbb{R}$.
- Paso 1: Índice par $\implies [0, +\infty[$; índice impar $\implies \mathbb{R}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
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Determinar el dominio de funciones potencia asociadas a raíces de índice impar.
Argumentando la existencia universal de raíces impares en ℝ para establecer Dom(f) = ℝ.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el dominio de $f(x)=\sqrt[3]{x}$?
El índice $3$ es impar, sin restricción de dominio.
Respuesta: A) Todo $\mathbb{R}$
-
$x=-8$ pertenece al dominio de $f(x)=\sqrt[3]{x}$.
El índice impar permite argumentos negativos.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué la raíz de índice impar está definida para negativos?
Existe siempre un único real que, elevado al índice impar, da el argumento.
Respuesta: A) Porque una potencia impar de un número negativo conserva el signo negativo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$x=-32$ pertenece al dominio de $f(x)=\sqrt[5]{x}$.
El índice $5$ es impar, sin restricción.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Calcula $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=-64$.
$(-4)^3=-64$, así que $\sqrt[3]{-64}=-4$.
Respuesta: A) -4
-
Determina el dominio de $f(x)=\sqrt[7]{x}$.
El índice $7$ es impar.
Respuesta: A) Todo $\mathbb{R}$
-
El dominio de una raíz de índice impar nunca se restringe, sin importar el argumento interno.
A diferencia de índice par, no hay condición de positividad sobre el argumento.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente respecto a este dominio?
Es un error común aplicar la regla del índice par por costumbre.
Respuesta: A) Restringirlo innecesariamente a los no negativos
-
El dominio de $f(x)=\sqrt[3]{x}$ y $g(x)=\sqrt[5]{x}$ es el mismo conjunto.
Ambos tienen dominio todo $\mathbb{R}$, al ser ambos índices impares.
Respuesta: Verdadero
-
Determina el dominio de $f(x)=\sqrt[3]{x-7}$.
El índice impar no impone restricción alguna sobre el argumento $x-7$.
Respuesta: A) Todo $\mathbb{R}$