Determinación del dominio de funciones potencia asociadas a raíces de índice impar
Determinar que el dominio de $f(x)=x^{1/q}$ es todo $\mathbb{R}$ cuando $q$ es un entero impar.
Introducción
A diferencia de la raíz cuadrada, la raíz cúbica y otras de índice impar sí están definidas para números negativos.
Explicación
Definición formal
Para $q$ impar, existe un único número real $y$ tal que $y^q=x$, para cualquier $x\in\mathbb{R}$, ya que una potencia impar conserva el signo de la base. Por lo tanto, el dominio de $f(x)=x^{1/q}$ es todo $\mathbb{R}$.
Desarrollo didáctico
$f(x)=\sqrt[3]{x}$: está definida en $x=8$, dando $f(8)=2$, y también en $x=-8$, dando $f(-8)=-2$, porque $(-2)^3=-8$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el índice $q$ de la raíz en la expresión $x^{1/q}$.
- Paso 2: Verifica si $q$ es impar.
- Paso 3: Si es impar, concluye que el dominio es todo $\mathbb{R}$.
Ejemplos
1 Determina el dominio de $f(x)=x^{1/3}$.
- El índice de la raíz es $3$, un número impar.
- El dominio es todo $\mathbb{R}$.
2 Evalúa $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=-27$.
- Se busca un número que elevado al cubo dé $-27$.
- Como $(-3)^3=-27$, se obtiene $f(-27)=-3$.
3 ¿El valor $x=-16$ pertenece al dominio de $f(x)=\sqrt[5]{x}$?
- Con índice impar, cualquier número real, positivo o negativo, pertenece al dominio.
4 ¿El dominio de $f(x)=\sqrt[q]{x}$ con $q$ impar se restringe de la misma forma que con $q$ par?
- Con índice impar el dominio es todo $\mathbb{R}$; con índice par se restringe a $x\geq0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Restringir innecesariamente el dominio de una raíz con índice impar a los valores positivos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el comportamiento de índice impar con el de índice par."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que no existe la raíz de un número negativo, sin importar el índice."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar la paridad del índice antes de determinar el dominio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si $q$ es un entero impar, el dominio de $f(x)=x^{1/q}=\sqrt[q]{x}$ es **todo $\mathbb{R}$**, sin ninguna restricción sobre el signo de $x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el dominio de $f(x)=\sqrt[3]{x}$?
El índice $3$ es impar, sin restricción de dominio.
Respuesta: A) Todo $\mathbb{R}$
-
$x=-8$ pertenece al dominio de $f(x)=\sqrt[3]{x}$.
El índice impar permite argumentos negativos.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué la raíz de índice impar está definida para negativos?
Existe siempre un único real que, elevado al índice impar, da el argumento.
Respuesta: A) Porque una potencia impar de un número negativo conserva el signo negativo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$x=-32$ pertenece al dominio de $f(x)=\sqrt[5]{x}$.
El índice $5$ es impar, sin restricción.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Calcula $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=-64$.
$(-4)^3=-64$, así que $\sqrt[3]{-64}=-4$.
Respuesta: A) -4
-
Determina el dominio de $f(x)=\sqrt[7]{x}$.
El índice $7$ es impar.
Respuesta: A) Todo $\mathbb{R}$
-
El dominio de una raíz de índice impar nunca se restringe, sin importar el argumento interno.
A diferencia de índice par, no hay condición de positividad sobre el argumento.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Determina el dominio de $f(x)=\sqrt[3]{x-7}$.
El índice impar no impone restricción alguna sobre el argumento $x-7$.
Respuesta: A) Todo $\mathbb{R}$
-
¿Cuál es el error frecuente respecto a este dominio?
Es un error común aplicar la regla del índice par por costumbre.
Respuesta: A) Restringirlo innecesariamente a los no negativos
-
El dominio de $f(x)=\sqrt[3]{x}$ y $g(x)=\sqrt[5]{x}$ es el mismo conjunto.
Ambos tienen dominio todo $\mathbb{R}$, al ser ambos índices impares.
Respuesta: Verdadero