Análisis de la gráfica para exponentes enteros negativos pares
Describir la forma de la gráfica de $f(x)=a\cdot x^{-n}$ cuando $n$ es un entero positivo par.
Introducción
Cuando el exponente negativo es par, la función se comporta de forma simétrica respecto al eje $y$, pero con dos ramas separadas por una asíntota.
Explicación
Definición formal
Para $n$ par y $a>0$, $f(x)=a\cdot x^{-n}=\dfrac{a}{x^n}>0$ para todo $x\neq0$, ya que $x^n>0$. La curva tiene dos ramas simétricas respecto al eje $y$, ambas ubicadas por encima del eje $x$.
Desarrollo didáctico
$f(x)=x^{-2}$: para $x=1$, $f(1)=1$; para $x=-1$, $f(-1)=1$; para $x=2$, $f(2)=0{,}25$; para $x=-2$, $f(-2)=0{,}25$. Ambas ramas son idénticas por simetría, y se acercan a $0$ al alejarse del origen.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que $n$ sea par y determina el signo de $a$.
- Paso 2: Reconoce que la curva tendrá dos ramas simétricas respecto al eje $y$.
- Paso 3: Calcula puntos en ambos lados para confirmar la simetría.
Ejemplos
1 Describe la forma de $f(x)=x^{-2}$.
- El exponente $-2$ tiene parte par ($n=2$), así que la curva tiene dos ramas simétricas.
- Ambas ramas se ubican por encima del eje $x$, acercándose a las asíntotas.
2 Verifica que $f(1)=f(-1)$ para $f(x)=x^{-4}$.
- Se calcula $f(1)=1$ y $f(-1)=1$.
- Ambos valores coinciden, confirmando la simetría respecto al eje $y$.
3 ¿Puede la función $f(x)=x^{-2}$ tomar algún valor negativo?
- Con exponente negativo par, el resultado siempre es positivo, ya que $x^2>0$ para $x\neq0$.
4 ¿La gráfica de $f(x)=x^{-4}$ pasa por el punto $(0,0)$?
- $x=0$ no pertenece al dominio, por lo que la curva nunca toca el origen.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Suponer que la gráfica pasa por el origen, ignorando la asíntota vertical en $x=0$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el comportamiento de exponente negativo par con el de exponente negativo impar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No reconocer que ambas ramas quedan del mismo lado (positivo) del eje $x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar verificar el signo de $a$ antes de describir la ubicación de las ramas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Cuando $n$ es par, la gráfica de $f(x)=a\cdot x^{-n}$ (con $a>0$) tiene **dos ramas positivas**, una a cada lado del eje $y$, que se acercan a las asíntotas $x=0$ e $y=0$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
$f(x)=x^{-4}$ tiene ambas ramas por encima del eje $x$.
El resultado siempre es positivo con exponente negativo par.
Respuesta: Verdadero
-
¿En qué cuadrantes se ubica la gráfica de $f(x)=x^{-2}$?
Ambas ramas quedan por encima del eje $x$, cubriendo los cuadrantes I y II.
Respuesta: A) I y II
-
¿Cuántas ramas tiene la gráfica de $f(x)=x^{-2}$?
Con exponente negativo par, ambas ramas quedan del mismo lado.
Respuesta: A) Dos ramas simétricas respecto al eje $y$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(2)=f(-2)$ para $f(x)=x^{-2}$.
Ambos valen $0{,}25$, por la simetría par.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Evalúa $f(x)=x^{-2}$ en $x=-1$ y $x=1$.
$(-1)^{-2}=1$ y $1^{-2}=1$.
Respuesta: A) Ambos dan $1$
-
¿La gráfica de $f(x)=3x^{-4}$ toca el eje $x$?
El resultado siempre es positivo, así que nunca alcanza el valor $0$.
Respuesta: A) No, nunca
-
Las dos ramas de $f(x)=x^{-2}$ se acercan a las asíntotas $x=0$ e $y=0$.
Es el comportamiento típico de esta familia de funciones.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al describir esta gráfica?
Ambas ramas quedan del mismo lado con exponente negativo par.
Respuesta: A) Suponer que una rama queda bajo el eje $x$
-
$f(x)=-x^{-2}$ tiene ambas ramas por debajo del eje $x$.
El coeficiente negativo refleja ambas ramas respecto al eje $x$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué diferencia hay entre las gráficas de $f(x)=x^{-2}$ y $g(x)=x^{-4}$?
A mayor exponente negativo par, más rápido diverge cerca de $x=0$.
Respuesta: A) $g$ crece más rápido cerca de la asíntota vertical