Análisis de la gráfica para exponentes enteros negativos pares
Resumen inicial
El análisis de la gráfica para funciones potencia con exponente entero negativo par $f(x) = \frac{a}{x^{2k}}$ ($k \in \mathbb{Z}^+, a \neq 0$) describe una curva en forma de volcán simétrica respecto al eje $Y$, con asíntota vertical $\mathcal{A}_V: x = 0$ y horizontal $\mathcal{A}_H: y = 0$, y recorrido $]0, +\infty[$ para $a > 0$ (o $]-\infty, 0[$ para $a < 0$).
Explicación en palabras simples
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Cuando el exponente es un número negativo PAR ($-2, -4, -6...$), la gráfica tiene forma de volcán:
- ¿Cómo se ve la curva?
- Está dividida en dos ramas gemelas separadas por el eje $Y$.
- Si $a > 0$: Ambas ramas están ARRIBA (cuadrantes I y II). Cerca de $x = 0$ suben al infinito como la erupción de un volcán ($+\infty$) y hacia los lados se aplanan pegadas al eje $X$.
- Si $a < 0$: Ambas ramas están ABAJO (cuadrantes III y IV, volcán invertido disparado a $-\infty$).
- Simetría: Es simétrica respecto al eje $Y$ ($f(-x) = f(x)$).
- Asíntotas: Nunca toca al eje $Y$ ($x = 0$) ni al eje $X$ ($y = 0$).
Explicación formal
Sea $f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \frac{a}{x^{2k}}$ con $k \in \mathbb{Z}^+$ y $a \in \mathbb{R}^*$.
Propiedades asintóticas y de paridad:
1. Paridad simétrica:
$$f(-x) = \frac{a}{(-x)^{2k}} = \frac{a}{x^{2k}} = f(x) \implies \text{Simetría axial respecto al eje } Y$$
2. Límites asintóticos en el origen:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{a}{x^{2k}} = \lim_{x \to 0^-} \frac{a}{x^{2k}} = \begin{cases} +\infty & \text{si } a > 0 \\ -\infty & \text{si } a < 0 \end{cases} \implies \mathcal{A}_V: x = 0$$
3. Límites asintóticos en el infinito:
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \implies \mathcal{A}_H: y = 0$$
4. Recorrido:
$$\operatorname{Rec}(f) = \begin{cases} ]0, +\infty[ & \text{si } a > 0 \\ ]-\infty, 0[ & \text{si } a < 0 \end{cases}$$
La alternativa correcta es 'Cuadrantes I y II (ambas ramas arriba)'. Al ser el exponente par negativo y $a = 5 > 0$, todos los valores de $y$ son estrictamente positivos.
Definiciones clave
- Gráfica tipo volcán: Curva discontinua de dos ramas con divergencia hacia el mismo signo infinito en la asíntota vertical.
- Asíntota bilateral homóloga: Límites laterales en $x = 0$ con idéntico signo infinito.
Propiedades y relaciones importantes
- Puntos pivote: Pasa por $(-1, a)$ y $(1, a)$ a la misma altura.
- No anulación: $f(x) \neq 0$ para todo $x$, por lo que el recorrido no contiene al cero.
Ejemplo guiado
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Analiza la gráfica de $f(x) = \frac{2}{x^2}$:
1) Halla los valores para $x = -2, -1, -0{,}5, 0{,}5, 1, 2$.
2) Identifica las asíntotas y la simetría.
3) Determina el dominio y recorrido.
- Paso 1: Puntos calculados: - $f(-2) = 2/4 = \mathbf{0{,}5} \implies (-2; 0{,}5)$. - $f(-1) = 2/1 = \mathbf{2} \implies (-1, 2)$. - $f(-0{,}5) = 2/0{,}25 = \mathbf{8} \implies (-0{,}5; 8)$. - $f(0{,}5) = \mathbf{8} \implies (0{,}5; 8)$. - $f(1) = \mathbf{2} \implies (1, 2)$. - $f(2) = \mathbf{0{,}5} \implies (2; 0{,}5)$.
- Paso 2: Simétrica respecto al eje $Y$ ($f(-x) = f(x)$). Asíntota vertical $\mathcal{A}_V: x = 0$ y horizontal $\mathcal{A}_H: y = 0$.
- Paso 3: $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ y $\operatorname{Rec}(f) = ]0, +\infty[$.
La alternativa correcta es ']-∞, 0[ (abierto en cero)'. Como $a = -3 < 0$, las ramas apuntan hacia $-\infty$, y el cero nunca se alcanza (abierto en 0).
Procedimiento
- Paso 1: Identificar que el exponente sea un número negativo par ($n = -2, -4, -6...$).
- Paso 2: Trazar las asíntotas vertical $x = 0$ (eje $Y$) y horizontal $y = 0$ (eje $X$).
- Paso 3: Si $a > 0$, ubicar las dos ramas en cuadrantes I y II divergentes a $+\infty$ en $x = 0$.
- Paso 4: Si $a < 0$, ubicar las dos ramas en cuadrantes III y IV divergentes a $-\infty$ en $x = 0$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Dibujar la gráfica pasando por el origen $(0, 0)$ o cruzando el eje $X$.
- Cómo corregirlo: La función con exponente negativo JAMÁS corta los ejes: tiene asíntotas en $x = 0$ e $y = 0$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $f(-x) = \frac{1}{(-x)^6} = \frac{1}{x^6} = f(x) \implies$ simetría axial eje Y.
- Paso 1: $\lim_{x \to 0} \frac{4}{x^2} = +\infty$.
- Paso 1: Par negativo con $a = -2 < 0 \implies$ cuadrantes III y IV.
- Paso 1: $1/x^2 = 0 \implies 1 = 0$ (imposible) $\implies 0 \notin \operatorname{Rec}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
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Analizar y graficar funciones potencia con exponente entero negativo par.
Identificando la forma de volcán simétrica al eje Y, las asíntotas x = 0, y = 0 y el recorrido abierto en cero.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
$f(x)=x^{-4}$ tiene ambas ramas por encima del eje $x$.
El resultado siempre es positivo con exponente negativo par.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuántas ramas tiene la gráfica de $f(x)=x^{-2}$?
Con exponente negativo par, ambas ramas quedan del mismo lado.
Respuesta: A) Dos ramas simétricas respecto al eje $y$
-
¿En qué cuadrantes se ubica la gráfica de $f(x)=x^{-2}$?
Ambas ramas quedan por encima del eje $x$, cubriendo los cuadrantes I y II.
Respuesta: A) I y II
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(2)=f(-2)$ para $f(x)=x^{-2}$.
Ambos valen $0{,}25$, por la simetría par.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Evalúa $f(x)=x^{-2}$ en $x=-1$ y $x=1$.
$(-1)^{-2}=1$ y $1^{-2}=1$.
Respuesta: A) Ambos dan $1$
-
Las dos ramas de $f(x)=x^{-2}$ se acercan a las asíntotas $x=0$ e $y=0$.
Es el comportamiento típico de esta familia de funciones.
Respuesta: Verdadero
-
¿La gráfica de $f(x)=3x^{-4}$ toca el eje $x$?
El resultado siempre es positivo, así que nunca alcanza el valor $0$.
Respuesta: A) No, nunca
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al describir esta gráfica?
Ambas ramas quedan del mismo lado con exponente negativo par.
Respuesta: A) Suponer que una rama queda bajo el eje $x$
-
$f(x)=-x^{-2}$ tiene ambas ramas por debajo del eje $x$.
El coeficiente negativo refleja ambas ramas respecto al eje $x$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué diferencia hay entre las gráficas de $f(x)=x^{-2}$ y $g(x)=x^{-4}$?
A mayor exponente negativo par, más rápido diverge cerca de $x=0$.
Respuesta: A) $g$ crece más rápido cerca de la asíntota vertical