Análisis de la gráfica para exponentes enteros negativos impares
Describir la forma de la gráfica de $f(x)=a\cdot x^{-n}$ cuando $n$ es un entero positivo impar (tipo hipérbola).
Introducción
Cuando el exponente negativo es impar, la función forma dos ramas ubicadas en cuadrantes opuestos, como la clásica hipérbola $y=1/x$.
Explicación
Definición formal
Para $n$ impar y $a>0$, $f(x)=a\cdot x^{-n}$ conserva el signo de $x$: positivo para $x>0$ y negativo para $x<0$, ya que $x^{-n}=1/x^n$ y $x^n$ conserva el signo de $x$ cuando $n$ es impar. La curva forma dos ramas en los cuadrantes I y III.
Desarrollo didáctico
$f(x)=x^{-1}=1/x$: para $x=2$, $f(2)=0{,}5$ (cuadrante I); para $x=-2$, $f(-2)=-0{,}5$ (cuadrante III). Las ramas nunca se tocan y se acercan a ambas asíntotas sin cruzarlas.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que $n$ sea impar y determina el signo de $a$.
- Paso 2: Reconoce que la curva tendrá dos ramas en cuadrantes opuestos.
- Paso 3: Calcula puntos en ambos lados para confirmar el signo de cada rama.
Ejemplos
1 Describe la forma de $f(x)=x^{-1}$.
- El exponente $-1$ tiene parte impar ($n=1$), así que la curva tiene dos ramas en cuadrantes opuestos.
- Una rama en el cuadrante I (para $x>0$) y otra en el cuadrante III (para $x<0$).
2 Verifica que $f(2)=-f(-2)$ para $f(x)=x^{-3}$.
- Se calcula $f(2)=1/8$ y $f(-2)=-1/8$.
- Se cumple $f(2)=-f(-2)$, confirmando la simetría respecto al origen.
3 ¿La gráfica de $f(x)=x^{-3}$ puede tener puntos en el cuadrante II (con $x<0$ e $y>0$)?
- Con exponente negativo impar y $a>0$, la función conserva el signo de $x$, así que para $x<0$ se obtiene $y<0$.
4 ¿La gráfica de $f(x)=x^{-1}$ pasa por el punto $(0,0)$?
- $x=0$ no pertenece al dominio, así que la curva nunca toca el origen.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el comportamiento de exponente negativo impar con el de exponente negativo par."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que ambas ramas quedan en cuadrantes adyacentes en vez de opuestos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la curva nunca cruza ninguna de sus dos asíntotas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar el signo de $a$ antes de ubicar las ramas en los cuadrantes correctos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Cuando $n$ es impar, la gráfica de $f(x)=a\cdot x^{-n}$ (con $a>0$) tiene **dos ramas en cuadrantes opuestos**, una en el primer cuadrante y otra en el tercero, típica de una hipérbola.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿En qué cuadrantes se ubica la gráfica de $f(x)=x^{-1}$ (con $a>0$)?
Con exponente negativo impar, la función conserva el signo de $x$.
Respuesta: A) I y III
-
$f(x)=x^{-3}$ tiene una rama en el cuadrante III.
Para $x<0$, el resultado también es negativo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué signo tiene $f(-2)$ para $f(x)=x^{-1}$?
$(-2)^{-1}=-0{,}5$, conservando el signo negativo.
Respuesta: A) Negativo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(2)=-f(-2)$ para $f(x)=x^{-3}$.
Cumple la simetría respecto al origen.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Evalúa $f(x)=x^{-1}$ en $x=4$ y $x=-4$.
Conserva el signo de $x$ por ser exponente impar.
Respuesta: A) $0{,}25$ y $-0{,}25$
-
¿La gráfica de $f(x)=x^{-3}$ toca el eje $x$?
El resultado nunca es $0$, ya que el numerador de la fracción equivalente no se anula.
Respuesta: A) No, nunca
-
Las dos ramas de $f(x)=x^{-1}$ se acercan a las asíntotas $x=0$ e $y=0$.
Es el comportamiento típico de esta familia de funciones.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
$f(x)=-x^{-1}$ tiene sus ramas en los cuadrantes II y IV.
El coeficiente negativo refleja ambas ramas respecto al eje $x$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué diferencia hay entre las gráficas de $f(x)=x^{-1}$ y $g(x)=x^{-3}$?
A mayor exponente negativo impar, más rápido diverge cerca de $x=0$.
Respuesta: A) $g$ crece más rápido cerca de la asíntota vertical
-
¿Cuál es el error frecuente al describir esta gráfica?
Con exponente negativo impar, las ramas quedan en cuadrantes opuestos.
Respuesta: A) Ubicar ambas ramas en el mismo lado del eje $x$