Definición de función potencia
Comprender la función potencia como una función donde la variable independiente está en la base y el exponente es un número fijo.
Introducción
A diferencia de la función exponencial, donde la variable está en el exponente, en la función potencia la variable ocupa la base y el exponente permanece constante.
Explicación
Definición formal
Una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (o un subconjunto de $\mathbb{R}$, según el exponente) es una función potencia si puede expresarse como $f(x)=a\cdot x^n$, con $a\neq0$ y $n$ un número real fijo. La variable independiente $x$ ocupa la base de la potencia, mientras que $n$ permanece constante para toda la función.
Desarrollo didáctico
$f(x)=3x^2$ es una función potencia con $a=3$ y $n=2$: para cada valor de $x$ se calcula su cuadrado y se multiplica por $3$. En cambio, $g(x)=3^x$ no es una función potencia, porque ahí la variable está en el exponente, no en la base.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la variable $x$ aparezca en la base de la expresión, no en el exponente.
- Paso 2: Identifica el coeficiente $a$ y el exponente fijo $n$.
- Paso 3: Confirma que $a\neq0$ para que la expresión represente una función potencia válida.
Ejemplos
1 ¿Es $f(x)=5x^3$ una función potencia?
- La variable $x$ está en la base, elevada al exponente fijo $3$.
- Sí, es una función potencia con $a=5$ y $n=3$.
2 ¿Es $g(x)=2^x$ una función potencia?
- La variable $x$ está en el exponente, no en la base.
- No, corresponde a una función exponencial, no a una función potencia.
3 ¿Cualquier función que incluya una potencia es automáticamente una función potencia?
- Solo lo es si la variable independiente está en la base y el exponente es una constante fija.
4 ¿Puede el coeficiente $a$ de $f(x)=a\cdot x^n$ ser igual a $0$?
- Si $a=0$, la función se reduce a la función constante $f(x)=0$, y deja de ser una función potencia.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la función potencia con la función exponencial por tener ambas un exponente visible."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aceptar $a=0$ como coeficiente válido de una función potencia."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que $n$ debe ser un número entero positivo, cuando puede ser cualquier real distinto de los casos excluidos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No identificar correctamente cuál elemento es la base y cuál el exponente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una **función potencia** es una función de la forma $f(x)=a\cdot x^n$, donde $a$ y $n$ son constantes reales y la variable $x$ aparece en la base, no en el exponente.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Dónde aparece la variable independiente en una función potencia?
Esa es la característica que distingue a la función potencia de la exponencial.
Respuesta: A) En la base
-
$f(x)=4x^5$ es una función potencia.
La variable está en la base, elevada a un exponente fijo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál de las siguientes NO es una función potencia?
La variable está en el exponente, así que corresponde a una función exponencial.
Respuesta: A) $f(x)=3^x$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=x^{1/2}$ es una función potencia.
El exponente fraccionario también corresponde a una función potencia.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Identifica $a$ y $n$ en $f(x)=8x^6$.
Se compara con la forma general $f(x)=a\cdot x^n$.
Respuesta: A) $a=8$, $n=6$
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¿Es $f(x)=0\cdot x^7$ una función potencia válida?
Se exige $a\neq0$ para que sea una función potencia válida.
Respuesta: A) No, porque $a=0$
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Toda función con un exponente visible es automáticamente una función potencia.
Solo lo es si la variable está en la base y el exponente es constante.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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$f(x)=x^{-2}$ y $g(x)=x^2$ pertenecen ambas a la familia de funciones potencia.
El exponente puede ser positivo, negativo o fraccionario; ambas cumplen la forma $a\cdot x^n$.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál de las siguientes SÍ es una función potencia?
Cumple la forma $a\cdot x^n$ con $a=-2$ y $n=-3$.
Respuesta: A) $f(x)=-2x^{-3}$
-
¿Cuál es el error frecuente al identificar una función potencia?
Ambas involucran exponentes, pero difieren en dónde está la variable.
Respuesta: A) Confundirla con una función exponencial