Análisis del valor absoluto de a en la abertura o escala vertical de la gráfica
Describir cómo el valor absoluto del coeficiente $a$ en $f(x)=a\cdot x^n$ comprime o expande la gráfica verticalmente.
Introducción
Además del signo, el tamaño del coeficiente $a$ determina qué tan "cerrada" o "abierta" se ve la curva respecto al eje $x$.
Explicación
Definición formal
Para $f(x)=a\cdot x^n$ con $|a_1|>|a_2|$, los valores de $|a_1\cdot x^n|$ son mayores que $|a_2\cdot x^n|$ para todo $x\neq0$. Geométricamente, esto produce una curva más "angosta" (comprimida verticalmente) para valores mayores de $|a|$, y más "ancha" (expandida) para valores menores.
Desarrollo didáctico
Compara $f(x)=5x^2$ con $g(x)=0{,}5x^2$: en $x=2$, $f(2)=20$ mientras $g(2)=2$. La curva de $f$ sube mucho más rápido que la de $g$, dando la impresión de estar más "comprimida" cerca del eje $y$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Compara los valores absolutos de los coeficientes $a$ de dos funciones potencia con igual exponente.
- Paso 2: Identifica cuál tiene mayor valor absoluto.
- Paso 3: Concluye que esa gráfica está más comprimida verticalmente que la de menor valor absoluto.
Ejemplos
1 Compara la "apertura" de $f(x)=4x^2$ y $g(x)=x^2$.
- $|4|>|1|$, así que $f$ crece más rápido que $g$ para el mismo valor de $x$.
- La gráfica de $f$ está más comprimida hacia el eje $y$ que la de $g$.
2 Compara la "apertura" de $f(x)=0{,}2x^3$ y $g(x)=3x^3$.
- $|0{,}2|<|3|$, así que $f$ crece más lento que $g$.
- La gráfica de $f$ está más expandida (más "ancha") que la de $g$.
3 ¿Cambiar la magnitud del coeficiente $a$ modifica el dominio de la función potencia?
- El dominio depende del exponente $n$, no de la magnitud de $a$.
4 ¿La función $f(x)=1\cdot x^n$ corresponde exactamente a la gráfica básica de $x^n$ sin compresión ni expansión?
- Con $|a|=1$ no hay compresión ni expansión adicional respecto a la curva de referencia $x^n$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el efecto de la magnitud de $a$ con el efecto de su signo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que un coeficiente fraccionario siempre "achica" el dominio, en vez de solo afectar la forma de la curva."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No comparar los valores absolutos correctamente al determinar cuál curva es más "angosta"."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que esta comparación solo tiene sentido entre funciones con el mismo exponente $n$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
A mayor valor absoluto de $a$, la gráfica de $f(x)=a\cdot x^n$ se **comprime** hacia el eje $y$ (crece más rápido); a menor valor absoluto, la gráfica se **expande** (crece más lento).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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$f(x)=10x^2$ crece más rápido que $g(x)=2x^2$ para el mismo valor de $x$.
El mayor coeficiente produce valores más grandes en valor absoluto.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué ocurre con la gráfica si $|a|$ disminuye hacia valores cercanos a $0$?
Un coeficiente pequeño en valor absoluto produce crecimiento más lento.
Respuesta: A) Se expande, alejándose del eje $y$
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Si $|a|$ aumenta en $f(x)=a\cdot x^n$, ¿qué le ocurre a la gráfica?
Un mayor valor absoluto hace crecer más rápido a la función.
Respuesta: A) Se comprime hacia el eje $y$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$f(x)=0{,}1x^3$ crece más lento que $g(x)=x^3$.
El coeficiente menor produce una curva más expandida.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Compara $f(x)=6x^2$ y $g(x)=2x^2$ en $x=3$.
Se evalúa cada función: $6\cdot9=54$ y $2\cdot9=18$.
Respuesta: A) $f(3)=54$ y $g(3)=18$
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¿Cuál función tiene la gráfica más comprimida entre $f(x)=0{,}3x^4$ y $g(x)=7x^4$?
Tiene el mayor valor absoluto de coeficiente, por lo que crece más rápido.
Respuesta: A) $g(x)=7x^4$
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Comparar la magnitud de $a$ solo tiene sentido entre funciones con el mismo exponente $n$.
Distintos exponentes producen familias de curvas distintas, no comparables solo por $|a|$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un coeficiente $a=1$ representa la curva de referencia $x^n$ sin compresión ni expansión adicional.
Es el caso neutro de comparación para analizar otros coeficientes.
Respuesta: Verdadero
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Ordena de menor a mayor compresión: $f(x)=0{,}5x^2$, $g(x)=x^2$, $h(x)=4x^2$.
Se ordenan según el valor absoluto creciente del coeficiente: $0{,}5<1<4$.
Respuesta: A) $f$, $g$, $h$
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¿Cuál es el error frecuente al comparar la magnitud de $a$?
La comparación de magnitud solo es significativa si el exponente es el mismo.
Respuesta: A) Comparar coeficientes de funciones con distinto exponente $n$