Análisis del valor absoluto de a en la abertura o escala vertical de la gráfica

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

El valor absoluto del coeficiente $|a|$ en la función potencia $f(x) = a x^n$ regula la escala vertical: $|a| > 1$ produce una dilatación (estrechando la gráfica hacia el eje $y$), mientras que $0 < |a| < 1$ produce una contracción (ensanchando la gráfica hacia el eje $x$).

Explicación en palabras simples

El tamaño numérico del parámetro $a$ (sin importar su signo) actúa como un control de elasticidad sobre la gráfica de la función potencia $f(x) = a x^n$. Si el valor absoluto es grande ($|a| > 1$, como en $5x^2$), las respuestas se multiplican por 5, estirando la curva verticalmente y haciéndola ver más delgada o cerrada hacia el eje vertical. Si el valor absoluto es una fracción pequeña entre 0 y 1 ($0 < |a| < 1$, como en $0.2x^2$), las salidas se reducen a la quinta parte, aplastando la curva verticalmente y haciéndola ver más ancha o abierta.

Explicación formal

Definición formal

La magnitud o valor absoluto del coeficiente $|a| \in \mathbb{R}^+$ en la función potencia $f(x) = a x^n$ representa el factor constante de estiramiento o compresión vertical de la gráfica respecto a la curva base $y = x^n$:
1. Dilatación Vertical ($|a| > 1$): Cada ordenada $y$ se multiplica por un factor mayor que 1. Gráficamente, las ramas se aproximan velozmente al eje $y$ (estrechamiento de la curva).
2. Contracción Vertical ($0 < |a| < 1$): Cada ordenada $y$ se multiplica por una fracción comprendida entre 0 y 1. Gráficamente, las ramas se alejan del eje $y$ aplanándose hacia el eje $x$ (aplastamiento de la curva).
3. Escala Unitaria ($|a| = 1$): Conserva la apertura original de la función canónica mónizable $y = x^n$.

Desglose analítico de puntos a la altura $x = 1$

Para cualquier exponente $n$:
- En la curva canónica $y = x^n$, la ordenada en $x = 1$ es $y = 1$.
- En la curva transformada $y = a x^n$, la ordenada en $x = 1$ se desplaza a $y = a$.
- La distancia vertical desde el eje $x$ hasta la curva en $x = 1$ es exactamente $|a|$.

Síntesis didáctica

Relación de abertura para parábolas ($n = 2$):
- Mayor $|a| \implies$ Parábola más estrecha o cerrada.
- Menor $|a|$ (más cercano a cero) $\implies$ Parábola más ancha o abierta.

Comprueba tu avance Si comparamos las gráficas de las funciones potencia $f(x) = 8x^3$ y $g(x) = 0.2x^3$, ¿cómo se diferencia la forma de sus curvas?

Definiciones clave

  • Magnitud del coeficiente $|a|$: Valor numérico sin signo del parámetro multiplicativo.
  • Dilatación vertical ($|a| > 1$): Alargamiento vertical que acerca las ramas al eje $y$.
  • Contracción vertical ($0 < |a| < 1$): Compresión vertical que aplasta las ramas hacia el eje $x$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Invariancia del vértice o punto de inflexión: La escala vertical multiplicativa por $|a|$ preserva el punto $(0, 0)$ intacto ($f(0) = a \cdot 0^n = 0$).
  • Monotonía de la tasa de cambio: A mayor $|a|$, mayor es el valor absoluto de la pendiente $|f'(x)| = |a \cdot n \cdot x^{n-1}|$ para todo $x \neq 0$.

Ejemplo guiado

Ordena de menor a mayor abertura (de la más estrecha a la más ancha) las siguientes parábolas dadas por funciones potencia: $f(x) = \frac{1}{4}x^2$, $g(x) = -6x^2$, $h(x) = 2x^2$, $p(x) = -0.1x^2$.

  • Paso 1: Calculamos el valor absoluto $|a|$ de cada función: $|a_f| = |1/4| = 0.25$, $|a_g| = |-6| = 6$, $|a_h| = |2| = 2$, $|a_p| = |-0.1| = 0.1$.
  • Paso 2: Recordamos que a **mayor $|a|$**, la curva es **más estrecha** (menor abertura); a **menor $|a|$**, la curva es **más ancha** (mayor abertura).
  • Paso 3: Orden de $|a|$ de mayor a menor: $|a_g| = 6 > |a_h| = 2 > |a_f| = 0.25 > |a_p| = 0.1$.
  • Paso 4: Conclusión (de más estrecha a más ancha): $g(x) = -6x^2$ (más estrecha), $h(x) = 2x^2$, $f(x) = \frac{1}{4}x^2$, $p(x) = -0.1x^2$ (más ancha).
Comprueba tu avance Entre las funciones potencia $f(x) = -10x^2$ y $g(x) = 3x^2$, ¿cuál de las dos parábolas es más cerrada o estrecha respecto a su eje de simetría?

Procedimiento

  • Paso 1: Obtener el valor absoluto $|a|$ del coeficiente multiplicativo en cada función potencia.
  • Paso 2: Comparar $|a|$ con el valor 1.
  • Paso 3: Si $|a| > 1$, clasificar la gráfica como dilatada verticalmente (curva más pegada al eje $y$).
  • Paso 4: Si $0 < |a| < 1$, clasificar la gráfica como contraída o comprimida verticalmente (curva más aplanada hacia el eje $x$).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Considerar el signo negativo al determinar la abertura (ej: decir que $a = -10$ es menor que $a = 2$ y por lo tanto es más ancha). Cómo corregirlo: La abertura depende del valor absoluto $|a|$. Puesto que $|-10| = 10 > 2$, la curva $y = -10x^2$ es mucho más estrecha que $y = 2x^2$. El signo solo indica que abre hacia abajo.
  • Error 2: Creer que un coeficiente pequeño como $a = 0.1$ estrecha la gráfica. Cómo corregirlo: Coeficientes con $|a| < 1$ reducen los valores de $y$, por lo que la gráfica se aplasta y se ensancha horizontalmente.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿La parábola $f(x) = -5x^2$ es más estrecha que $g(x) = 3x^2$?
2 ¿La función $h(x) = \frac{1}{3}x^4$ está contraída verticalmente respecto a $y = x^4$?
3 ¿La curva $p(x) = 10x^3$ crece más empinada cerca de $x = 1$ que $q(x) = x^3$?
4 ¿Las funciones $f(x) = 4x^2$ y $g(x) = -4x^2$ tienen exactamente la misma abertura?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El parámetro $a$ altera la posición del origen $(0, 0)$ trasladándolo verticalmente."
"Una contracción vertical con $a = 0.5$ alarga la gráfica hacia arriba."
"La escala vertical y la abertura de la función potencia dependen exclusivamente de la magnitud $|a|$: a mayor $|a|$ la gráfica se estrecha hacia el eje $y$, y a menor $|a|$ se aplasta hacia el eje $x$."
"Todas las funciones potencia con el mismo exponente $n$ poseen exactamente la misma gráfica."
"Las funciones $f(x) = a x^n$ y $g(x) = -a x^n$ poseen exactamente la misma magnitud $|a|$ y por lo tanto la misma abertura, diferenciándose únicamente en su reflexión vertical."
"Un coeficiente negativo como $a = -8$ genera una parábola más ancha que $a = 2$ por ser un número menor."
"El valor $|a| > 1$ ensancha la curva de la función potencia."

Al terminar debes poder

🎯 QUÉ Objetivo

Analizar el efecto de la magnitud $|a|$ en la dilatación o contracción vertical de la gráfica.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Comparar $|a| > 1$ (estiramiento vertical y estrechamiento respecto al eje Y) y $0 < |a| < 1$ (compresión vertical).

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. $f(x)=10x^2$ crece más rápido que $g(x)=2x^2$ para el mismo valor de $x$.

  2. ¿Qué ocurre con la gráfica si $|a|$ disminuye hacia valores cercanos a $0$?

  3. Si $|a|$ aumenta en $f(x)=a\cdot x^n$, ¿qué le ocurre a la gráfica?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. $f(x)=0{,}1x^3$ crece más lento que $g(x)=x^3$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Compara $f(x)=6x^2$ y $g(x)=2x^2$ en $x=3$.

  2. ¿Cuál función tiene la gráfica más comprimida entre $f(x)=0{,}3x^4$ y $g(x)=7x^4$?

  3. Comparar la magnitud de $a$ solo tiene sentido entre funciones con el mismo exponente $n$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un coeficiente $a=1$ representa la curva de referencia $x^n$ sin compresión ni expansión adicional.

  2. Ordena de menor a mayor compresión: $f(x)=0{,}5x^2$, $g(x)=x^2$, $h(x)=4x^2$.

  3. ¿Cuál es el error frecuente al comparar la magnitud de $a$?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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