Identificación del origen como punto de paso en funciones potencia de exponente entero positivo
Reconocer que $f(x)=a\cdot x^n$ (con $n$ entero positivo) pasa siempre por el origen y no tiene otros interceptos.
Introducción
Sin importar el exponente entero positivo ni el coeficiente, todas estas funciones comparten un mismo punto de paso: el origen del plano cartesiano.
Explicación
Definición formal
Para $f(x)=a\cdot x^n$ con $n\in\mathbb{Z}^+$ y $a\neq0$: $f(0)=a\cdot0^n=0$, así que $(0,0)$ pertenece siempre a la gráfica. Además, $f(x)=0$ solo cuando $x^n=0$, lo que ocurre únicamente en $x=0$: por lo tanto, el origen es el único punto donde la curva corta tanto el eje $x$ como el eje $y$.
Desarrollo didáctico
$f(x)=7x^3$ cumple $f(0)=0$, así que $(0,0)$ está en la gráfica. Para que $7x^3=0$, se necesita $x^3=0$, es decir $x=0$: no existe otro valor de $x$ que anule la función, confirmando que el origen es el único intercepto.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Evalúa $f(0)$ para confirmar que el origen pertenece a la gráfica.
- Paso 2: Resuelve $f(x)=0$ para determinar todos los interceptos con el eje $x$.
- Paso 3: Verifica que la única solución sea $x=0$, confirmando que es el único intercepto.
Ejemplos
1 ¿Cuál es el intercepto de $f(x)=4x^2$ con los ejes?
- Se evalúa $f(0)=4\\cdot0^2=0$.
- El único intercepto, tanto en $x$ como en $y$, es el punto $(0,0)$.
2 ¿Cuál es el intercepto de $f(x)=-2x^5$ con los ejes?
- Se resuelve $-2x^5=0$, obteniendo únicamente $x=0$.
- El único intercepto es el punto $(0,0)$.
3 ¿Puede una función $f(x)=a\cdot x^n$, con $n$ entero positivo, cortar el eje $x$ en un punto distinto del origen?
- La ecuación $a\cdot x^n=0$ solo tiene como solución $x=0$, para cualquier $a\neq0$ y $n$ entero positivo.
4 ¿La posición del intercepto en el origen cambia según el valor del coeficiente $a$?
- El punto $(0,0)$ es siempre el intercepto, sin importar el valor de $a$ (mientras $a\neq0$).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Suponer que existen otros interceptos además del origen para funciones básicas de este tipo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir este resultado con el de funciones potencia con exponente negativo, que no pasan por el origen."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No distinguir entre intercepto en $x$ e intercepto en $y$, cuando en este caso ambos coinciden en el mismo punto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar verificar $f(0)$ antes de afirmar que el origen pertenece a la gráfica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para $n$ entero positivo, la función $f(x)=a\cdot x^n$ pasa siempre por el punto $(0,0)$, que es su **único intercepto** con ambos ejes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es el único intercepto de $f(x)=a\cdot x^n$ (con $n$ entero positivo)?
Es el único punto donde la curva corta ambos ejes.
Respuesta: A) El punto $(0,0)$
-
$f(x)=5x^3$ pasa por el punto $(0,0)$.
Se cumple $f(0)=0$ para cualquier función de este tipo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $a\cdot x^n=0$ (con $a\neq0$, $n$ entero positivo)?
Un producto es cero solo si alguno de sus factores lo es, y $a\neq0$.
Respuesta: A) Una única solución, $x=0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=-7x^6$ tiene su único intercepto en el origen.
Se cumple sin importar el signo del coeficiente.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Encuentra el intercepto de $f(x)=9x^4$.
Se evalúa $f(0)=9\cdot0^4=0$.
Respuesta: A) $(0,0)$
-
¿Cuántos interceptos con el eje $x$ tiene $f(x)=6x^5$?
La ecuación $6x^5=0$ solo tiene la solución $x=0$.
Respuesta: A) Exactamente uno, en el origen
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El intercepto en el origen es común a todas las funciones $f(x)=a\cdot x^n$ con $n$ entero positivo.
Es una propiedad compartida por toda la familia, independiente de $a$ y de la paridad de $n$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente respecto al intercepto en el origen?
Es un error común buscar más soluciones de las que realmente existen.
Respuesta: A) Suponer que existen otros interceptos con el eje $x$
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El intercepto en el origen coincide siempre con el intercepto en $y$ para estas funciones.
El punto $(0,0)$ es simultáneamente el intercepto en $x$ y en $y$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el intercepto de $f(x)=-4x^9$?
Se cumple $f(0)=-4\cdot0^9=0$, independientemente del coeficiente.
Respuesta: A) $(0,0)$