Determinación del recorrido real para exponentes impares positivos

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

El conjunto recorrido de cualquier función potencia de exponente entero impar positivo $f(x) = a x^{2k+1}$ es la totalidad de los números reales $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$.

Explicación en palabras simples

A diferencia de las funciones de exponente par que están acotadas hacia arriba o hacia abajo, las funciones potencia con exponente entero impar positivo (como $x^3, x^5, x^7$) pueden entregar cualquier resultado real imaginable. Como las potencias impares conservan los signos de las entradas ($(-2)^3 = -8$ y $2^3 = 8$), la gráfica se extiende sin límites desde abajo en $-\infty$ hasta arriba en $+\infty$. Por esta razón, su recorrido es el conjunto entero de los números reales $\mathbb{R}$.

Explicación formal

Definición formal

Para toda función potencia $f(x) = a x^n$ definida en $\mathbb{R}$ con exponente impar positivo $n = 2k+1 (k \in \mathbb{Z}^+)$ y coeficiente multiplicativo $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, el conjunto recorrido o conjunto imagen es ilimitado en ambas direcciones:
$$\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$$

Demostración analítica

  1. Existencia de preimagen en todo $\mathbb{R}$: Para cualquier valor de salida deseado $y_0 \in \mathbb{R}$, existe siempre una única preimagen real $x_0 \in \mathbb{R}$ dada por el despeje explícito:
    $$y_0 = a x_0^{2k+1} \implies x_0 = \sqrt[2k+1]{\frac{y_0}{a}}$$
  2. Continuidad y Biyectividad: Dado que la raíz de índice impar $\sqrt[2k+1]{\cdot}$ está bien definida para todo número real positivo, nulo o negativo, todo $y_0 \in \mathbb{R}$ posee preimagen.
  3. Comportamiento en los extremos:
  4. Si $a > 0 \implies \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
  5. Si $a < 0 \implies \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

Síntesis didáctica

Diferencia de acotación de recorridos:
- Exponente Par: Recorrido acotado por un extremo en el origen ($[0, +\infty[$ o $]-\infty, 0]$).
- Exponente Impar: Recorrido totalmente no acotado en ambas direcciones ($\mathbb{R}$).

Comprueba tu avance ¿Cuál es el conjunto recorrido de la función potencia de exponente impar $f(x) = -7x^5$?

Definiciones clave

  • Recorrido universal $\mathbb{R}$: Totalidad de números reales adoptados por la variable dependiente $y$.
  • Ausencia de acotación: Inexistencia de máximos o mínimos absolutos en la función.
  • Biyectividad en $\mathbb{R}$: Propiedad por la cual cada ordenada $y$ proviene de una única abscisa $x$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Sobreyectividad universal: La función potencia de exponente impar positivo es una función sobreyectiva sobre $\mathbb{R}$.
  • Invariancia por el signo de $a$: El recorrido permanece igual a $\mathbb{R}$ tanto si $a > 0$ como si $a < 0$.

Ejemplo guiado

Determina el conjunto recorrido de las funciones potencia $f(x) = 2x^3$ y $g(x) = -4x^5$, e halla la preimagen $x$ que produce la salida $y = -16$ en $f(x)$ y la salida $y = 128$ en $g(x)$.

  • Paso 1: Para $f(x) = 2x^3$, el exponente $n = 3$ es impar positivo. Su recorrido es $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$.
  • Paso 2: Buscamos preimagen para $y = -16$: $2x^3 = -16 \implies x^3 = -8 \implies x = \sqrt[3]{-8} = -2$. Preimagen válida.
  • Paso 3: Para $g(x) = -4x^5$, el exponente $n = 5$ es impar positivo. Su recorrido es $\operatorname{Rec}(g) = \mathbb{R}$.
  • Paso 4: Buscamos preimagen para $y = 128$: $-4x^5 = 128 \implies x^5 = -32 \implies x = \sqrt[5]{-32} = -2$. Preimagen válida.
Comprueba tu avance ¿Existe algún número real de altura $y \in \mathbb{R}$ que la función potencia $f(x) = 3x^3$ no pueda alcanzar en su gráfica?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar que el exponente $n$ sea un número entero positivo impar ($n = 3, 5, 7\dots$).
  • Paso 2: Comprobar que el coeficiente $a \neq 0$.
  • Paso 3: Declarar directamente que el conjunto recorrido es el conjunto completo de los números reales $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Afirmar que el recorrido de $f(x) = -x^3$ se limita a los números negativos. Cómo corregirlo: Para $x < 0$, $f(x) = -(-x)^3 = +x^3 > 0$. El recorrido abarca todos los números reales $\mathbb{R}$ (positivos, cero y negativos).
  • Error 2: Creer que la función impar tiene un mínimo en el origen. Cómo corregirlo: Las funciones potencia impares no tienen mínimos ni máximos; atraviesan el origen con un punto de inflexión continuando hacia el infinito opuesto.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el recorrido de $f(x) = x^3$?
2 ¿La función $g(x) = -5x^7$ tiene recorrido igual a $\mathbb{R}$?
3 ¿La altura $y = -27$ es alcanzada por la función $f(x) = x^3$ en $x = -3$?
4 ¿Las funciones potencia impares carecen de máximos y mínimos absolutos?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Las funciones de exponente impar positivo tienen como recorrido únicamente los reales positivos."
"El conjunto recorrido de la función potencia $f(x) = -x^3$ es el intervalo $]-\infty, 0]$."
"El conjunto recorrido de cualquier función potencia de exponente entero impar positivo $f(x) = a x^{2k+1}$ es la totalidad de los números reales $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$."
"El valor cero $y = 0$ no forma parte del recorrido de $f(x) = x^5$."
"El coeficiente negativo en $f(x) = -2x^5$ acota el recorrido por arriba en $y = 0$."
"Debido a que las potencias impares conservan el signo de la entrada, la función no posee cotas superiores ni inferiores, alcanzando cualquier valor real $y$."
"Las funciones de exponente impar poseen una asíntota horizontal que frena su recorrido."

Al terminar debes poder

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular el recorrido de una función potencia de exponente impar positivo.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Demostrar que la función cubre sin interrupciones la totalidad de la recta real ($\text{Rec} = \mathbb{R}$).

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. $f(x)=-2x^5$ tiene recorrido todo $\mathbb{R}$.

  2. ¿Cuál es el recorrido de $f(x)=x^3$?

  3. ¿Existe algún valor real que $f(x)=x^7$ no pueda alcanzar?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. El valor $-50$ pertenece al recorrido de $f(x)=x^3$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. El recorrido de una función potencia con exponente impar nunca está acotado.

  2. Determina el recorrido de $f(x)=4x^5$.

  3. ¿El recorrido de $f(x)=-3x^9$ es distinto del de $f(x)=3x^9$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. $f(x)=x^{11}$ y $f(x)=x^3$ comparten el mismo recorrido, aunque crezcan a distinta velocidad.

  2. ¿Cuál es el recorrido de $f(x)=-0{,}5x^7$?

  3. ¿Cuál es el error frecuente al determinar este recorrido?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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