Determinación del recorrido real para exponentes impares positivos
Determinar que el recorrido de $f(x)=a\cdot x^n$ es todo $\mathbb{R}$ cuando $n$ es un entero positivo impar.
Introducción
A diferencia del caso par, cuando el exponente es impar la función alcanza tanto valores positivos como negativos, sin límite en ninguna dirección.
Explicación
Definición formal
Para $n$ impar, la función $f(x)=a\cdot x^n$ (con $a\neq0$) es estrictamente monótona (creciente si $a>0$, decreciente si $a<0$) en todo $\mathbb{R}$, con $f(x)\to-\infty$ en un extremo y $f(x)\to+\infty$ en el otro. Al ser continua y cubrir ambos extremos infinitos sin saltos, alcanza todos los valores reales.
Desarrollo didáctico
$f(x)=x^3$ toma valores tan negativos como se quiera para $x$ suficientemente negativo, y tan positivos como se quiera para $x$ suficientemente positivo, pasando por todos los valores intermedios sin excepción.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que $n$ sea un entero positivo impar.
- Paso 2: Reconoce que la función no tiene máximos ni mínimos que acoten el recorrido.
- Paso 3: Concluye que el recorrido es todo $\mathbb{R}$.
Ejemplos
1 Determina el recorrido de $f(x)=x^3$.
- El exponente $3$ es impar, así que no hay restricciones de signo en el resultado.
- El recorrido es todo $\mathbb{R}$.
2 Determina el recorrido de $f(x)=-4x^5$.
- El exponente $5$ es impar; el coeficiente negativo solo invierte la dirección del crecimiento.
- El recorrido sigue siendo todo $\mathbb{R}$.
3 ¿El recorrido de $f(x)=a\cdot x^n$ (con $n$ impar) cambia según el signo de $a$?
- El recorrido es todo $\mathbb{R}$ sin importar si $a$ es positivo o negativo.
4 ¿La función $f(x)=x^7$ puede tomar cualquier valor real, sin excepción?
- Al ser estrictamente creciente y no acotada en ningún extremo, cubre todos los valores reales posibles.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el recorrido con exponente impar (todo $\mathbb{R}$) con el caso par (semirrecta)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que el signo de $a$ restringe el recorrido cuando el exponente es impar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No distinguir entre el comportamiento del dominio (siempre $\mathbb{R}$) y el del recorrido, que sí varía según la paridad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar verificar que la función no tiene extremos que acoten el recorrido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Cuando $n$ es un entero positivo impar, el recorrido de $f(x)=a\cdot x^n$ es **todo $\mathbb{R}$**, independientemente del signo del coeficiente $a$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
$f(x)=-2x^5$ tiene recorrido todo $\mathbb{R}$.
El signo del coeficiente no restringe el recorrido con exponente impar.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=x^3$?
El exponente impar permite alcanzar cualquier valor real.
Respuesta: A) Todo $\mathbb{R}$
-
¿Existe algún valor real que $f(x)=x^7$ no pueda alcanzar?
Al ser estrictamente monótona y no acotada, cubre todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: A) No, alcanza cualquier valor real
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El valor $-50$ pertenece al recorrido de $f(x)=x^3$.
Existe $x=\sqrt[3]{-50}$ tal que $f(x)=-50$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
El recorrido de una función potencia con exponente impar nunca está acotado.
Al no tener extremos, el recorrido siempre es todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: Verdadero
-
Determina el recorrido de $f(x)=4x^5$.
El exponente $5$ es impar, así que el recorrido es todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: A) Todo $\mathbb{R}$
-
¿El recorrido de $f(x)=-3x^9$ es distinto del de $f(x)=3x^9$?
El signo de $a$ no restringe el recorrido cuando $n$ es impar.
Respuesta: A) No, ambos son todo $\mathbb{R}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
$f(x)=x^{11}$ y $f(x)=x^3$ comparten el mismo recorrido, aunque crezcan a distinta velocidad.
Ambos tienen recorrido todo $\mathbb{R}$, independientemente de la velocidad de crecimiento.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=-0{,}5x^7$?
El exponente $7$ es impar, así que el recorrido siempre es todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: A) Todo $\mathbb{R}$
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar este recorrido?
Es un error común mezclar las conclusiones de ambos casos.
Respuesta: A) Suponer que el recorrido se restringe igual que con exponente par