Determinación del recorrido real para exponentes impares positivos
Resumen inicial
La determinación del recorrido para funciones potencia con exponente impar positivo ($n = 2k+1$) demuestra que $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$ para cualquier coeficiente no nulo $a \neq 0$, debido a la existencia universal de raíces impares reales para todo número real positivo, nulo o negativo.
Explicación en palabras simples
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Cuando el exponente es impar positivo ($1, 3, 5, 7...$):
$$\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[ \quad (\text{¡Cubre Absolutamente TODOS los Reales!})$$
- ¿Por qué cubre toda la recta numérica?
- Las potencias impares conservan el signo: si elevas un número negativo a la 3 o a la 5, ¡te da un resultado negativo real! ($(-2)^3 = -8$).
- Si elevas un positivo, te da positivo ($2^3 = 8$).
- En el cero da cero ($0^3 = 0$).
- Cualquier altura $y$ tiene respuesta: No importa qué número elijas en el eje vertical (positivo, negativo o decimal gigante), siempre existe un valor de $x$ real que lo produce mediante la raíz impar: $x = \sqrt[n]{y/a}$.
Explicación formal
Sea $f(x) = a \cdot x^{2k+1}$ con $k \in \mathbb{Z}^+$ y $a \in \mathbb{R}^*$.
Para determinar el conjunto imagen $\operatorname{Rec}(f)$, consideremos cualquier $y_0 \in \mathbb{R}$ y planteemos la ecuación de preimagen:
$$a \cdot x^{2k+1} = y_0 \Longleftrightarrow x^{2k+1} = \frac{y_0}{a}$$
Dado que el orden radical $2k+1$ es un entero impar, la aplicación $t \mapsto \sqrt[2k+1]{t}$ es una función continua y biyectiva definida sobre la totalidad de $\mathbb{R}$:
$$x_0 = \sqrt[2k+1]{\frac{y_0}{a}} \in \mathbb{R}$$
Conclusión de sobreyectividad global:
Para todo $y_0 \in \mathbb{R}$, existe un único $x_0 \in \mathbb{R}$ tal que $f(x_0) = y_0$, demostrando que:
$$\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$$
La alternativa correcta es 'ℝ (todos los números reales)'. Las funciones potencia con exponente impar positivo tienen siempre recorrido $\mathbb{R}$, independientemente del signo de $a$.
Definiciones clave
- Sobreyectividad en $\mathbb{R}$: Propiedad funcional donde cada elemento del codominio posee al menos una preimagen.
- Raíz impar real: Operador radical que admite radicandos de cualquier signo sin generar números complejos.
Propiedades y relaciones importantes
- Biyectividad estricta: Las funciones potencia impares son inyectivas y sobreyectivas simultáneamente en $\mathbb{R}$.
- Preimagen única: A diferencia de las pares (que tienen 2 preimágenes), cada $y$ tiene una única preimagen real.
Ejemplo guiado
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Dada la función $f(x) = 2x^5$:
1) Determina su recorrido.
2) Encuentra la preimagen exacta de $y = -64$.
3) Demuestra que $f(x)$ no tiene cotas superiores ni inferiores.
- Paso 1: Como $n = 5$ es un entero impar positivo, la función cubre todos los números reales $\implies$ **$\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$**.
- Paso 2: Resolver $2x^5 = -64$: - $x^5 = -32$. - Extraer raíz quinta: $x = \sqrt[5]{-32} = \mathbf{-2} \in \mathbb{R}$.
- Paso 3: Como $\lim_{x \to +\infty} 2x^5 = +\infty$ y $\lim_{x \to -\infty} 2x^5 = -\infty$, la función no está acotada superior ni inferiormente.
La alternativa correcta es 'Exactamente una preimagen única'. Al ser una función biyectiva creciente, $x = \sqrt[7]{y}$ es única en $\mathbb{R}$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el exponente $n$ de la función potencia $f(x) = a x^n$.
- Paso 2: Comprobar que $n$ sea un entero impar positivo ($n \in \{1, 3, 5, 7, \dots\}$).
- Paso 3: Verificar que el coeficiente $a$ sea un número real no nulo ($a \neq 0$).
- Paso 4: Enunciar directamente que el recorrido es todo el conjunto real $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Creer que si $a > 0$, el recorrido de una función cúbica solo incluye números positivos ($[0, +\infty[$).
- Cómo corregirlo: Las potencias impares de bases negativas producen números negativos: $(-3)^3 = -27$, por lo que el recorrido cubre todos los reales negativos y positivos: $\mathbb{R}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Impar positivo $\implies \operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R}$.
- Paso 1: $x^3 = -27 \implies x = \sqrt[3]{-27} = -3$.
- Paso 1: Impar $\implies \operatorname{Rec}(h) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$.
- Paso 1: Al ser estrictamente creciente con recorrido $\mathbb{R}$, es biyectiva.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
![Resumen La determinación del recorrido para funciones potencia con exponente impar positivo ($n = 2k+1$) demuestra que $\operatorname{Rec}(f) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$ para cualquier coeficiente no nulo $a \neq 0$, debido a la existencia universal de raíces impares reales para todo número real positivo, nulo o negativo](/static/img/nodos/determinacion-del-recorrido-real-para-exponentes-impares-positivos-resumen.svg)
Determinar y fundamentar el recorrido real de funciones potencia con exponente impar positivo.
Demostrando la sobreyectividad global y la existencia universal de raíces impares en ℝ.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
$f(x)=-2x^5$ tiene recorrido todo $\mathbb{R}$.
El signo del coeficiente no restringe el recorrido con exponente impar.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=x^3$?
El exponente impar permite alcanzar cualquier valor real.
Respuesta: A) Todo $\mathbb{R}$
-
¿Existe algún valor real que $f(x)=x^7$ no pueda alcanzar?
Al ser estrictamente monótona y no acotada, cubre todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: A) No, alcanza cualquier valor real
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El valor $-50$ pertenece al recorrido de $f(x)=x^3$.
Existe $x=\sqrt[3]{-50}$ tal que $f(x)=-50$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
El recorrido de una función potencia con exponente impar nunca está acotado.
Al no tener extremos, el recorrido siempre es todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: Verdadero
-
Determina el recorrido de $f(x)=4x^5$.
El exponente $5$ es impar, así que el recorrido es todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: A) Todo $\mathbb{R}$
-
¿El recorrido de $f(x)=-3x^9$ es distinto del de $f(x)=3x^9$?
El signo de $a$ no restringe el recorrido cuando $n$ es impar.
Respuesta: A) No, ambos son todo $\mathbb{R}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
$f(x)=x^{11}$ y $f(x)=x^3$ comparten el mismo recorrido, aunque crezcan a distinta velocidad.
Ambos tienen recorrido todo $\mathbb{R}$, independientemente de la velocidad de crecimiento.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=-0{,}5x^7$?
El exponente $7$ es impar, así que el recorrido siempre es todo $\mathbb{R}$.
Respuesta: A) Todo $\mathbb{R}$
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar este recorrido?
Es un error común mezclar las conclusiones de ambos casos.
Respuesta: A) Suponer que el recorrido se restringe igual que con exponente par