Determinación del recorrido para exponente par positivo y a > 0

Resumen inicial

La determinación del recorrido para una función potencia con exponente par positivo y coeficiente positivo ($n = 2k, a > 0$) establece que $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$, alcanzando un mínimo absoluto global en el vértice $(0, 0)$ debido al acotamiento inferior $x^{2k} \ge 0$.

Explicación en palabras simples

$La determinación del recorrido para una función potencia con exponente par positivo y coeficiente positivo ($n = 2k, a > 0$) establece que $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$, alcanzando un mínimo absoluto global en el vértice $(0, 0)$ debido al acotamiento inferior $x^{2k} \ge 0$$

Cuando el exponente es par positivo ($2, 4, 6...$) y el número de afuera es positivo ($a > 0$):

$$\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[ \quad (\text{Desde Cero Hasta Más Infinito})$$

¿Por qué nunca da números negativos?
Cualquier número real elevado a un exponente par da siempre cero o positivo ($(-3)^4 = +81$).
Al multiplicarlo por $a > 0$, el resultado sigue siendo cero o positivo.
El punto más bajo (mínimo absoluto): En el origen $(0, 0)$, donde $y = 0$.
¡Cuidado con el corchete! El cero sí se alcanza ($f(0) = 0$), por eso va con corchete cerrado $[0$.

Explicación formal

Sea $f(x) = a \cdot x^{2k}$ con $k \in \mathbb{Z}^+$ y $a \in \mathbb{R}^+$ ($a > 0$).
Por el axioma de orden de los números reales:
$$\forall x \in \mathbb{R}: \quad x^2 \ge 0 \implies x^{2k} = (x^2)^k \ge 0$$
Al multiplicar por el escalar positivo $a > 0$, el sentido de la desigualdad se conserva idénticamente:
$$a \cdot x^{2k} \ge a \cdot 0 = 0 \implies f(x) \ge 0, \; \forall x \in \mathbb{R}$$

Determinación del recorrido:
1. Cota inferior alcanzable: $f(0) = a \cdot 0^{2k} = 0 \implies 0 \in \operatorname{Rec}(f)$.
2. Sobreyectividad en $[0, +\infty[$: Para todo $y_0 \ge 0$, existe al menos una preimagen real $x_0 = \pm \sqrt[2k]{y_0 / a} \in \mathbb{R}$ tal que $f(x_0) = y_0$.
Por lo tanto:
$$\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$$

Definiciones clave

Recorrido semiacotado inferiormente: Intervalo $[0, +\infty[$ cerrado en cero.
Mínimo absoluto global: Valor $y = 0$ alcanzado exclusivamente en $x = 0$.

Propiedades y relaciones importantes

Preimágenes dobles: Para cada $y > 0$, existen exactamente dos soluciones simétricas $x = \pm \sqrt[2k]{y/a}$.
No inyectividad en $\mathbb{R}$: Al generar preimágenes dobles, la función par no es inyectiva en su dominio completo.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La determinación del recorrido para una función potencia con exponente par positivo y coeficiente positivo ($n = 2k, a > 0$) establece que $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$, alcanzando un mínimo absoluto global en el vértice $(0, 0)$ debido al acotamiento inferior $x^{2k} \ge 0$$

Dada la función $f(x) = 3x^4$:
1) Determina su recorrido.
2) Encuentra todas las preimágenes para $y = 48$.
3) Justifica por qué $y = -5$ no pertenece al recorrido.

Paso 1: Como $n = 4$ (par) y $a = 3 > 0$, la cota inferior es $f(0) = 0$. Por lo tanto, **$\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$**.
Paso 2: Resolver $3x^4 = 48$: - $x^4 = 16 \implies x = \pm \sqrt[4]{16} = \mathbf{\pm 2}$. Ambas pertenecen al dominio.
Paso 3: Si planteamos $3x^4 = -5 \implies x^4 = -5/3 < 0$, lo cual carece de soluciones reales en $\mathbb{R}$, demostrando que **$-5 \notin \operatorname{Rec}(f)$**.

Procedimiento

Paso 1: Constatar que el exponente $n$ sea un entero par positivo.
Paso 2: Verificar que el coeficiente principal $a$ sea estrictamente positivo ($a > 0$).
Paso 3: Evaluar el mínimo global en el vértice $f(0) = 0$.
Paso 4: Escribir el recorrido como el intervalo cerrado por la izquierda $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir el recorrido con corchete abierto $]0, +\infty[$ excluyendo el 0.
Cómo corregirlo: El punto $(0, 0)$ SÍ pertenece a la curva ($f(0) = 0$), por lo que el cero debe incluirse obligatoriamente: $[0, +\infty[$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El valor y = 0 es el mínimo absoluto de la función y se alcanza en x = 0."

"Asumir que el recorrido comienza en el valor del coeficiente a (ej: [a, +inf[)."

"Confundir el recorrido con todo R."

"Toda función potencia con exponente par positivo y a > 0 tiene recorrido [0, +∞[."

"Excluir el cero del recorrido colocando corchete abierto."

Al terminar debes poder

$Resumen La determinación del recorrido para una función potencia con exponente par positivo y coeficiente positivo ($n = 2k, a > 0$) establece que $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$, alcanzando un mínimo absoluto global en el vértice $(0, 0)$ debido al acotamiento inferior $x^{2k} \ge 0$$

Determinar el recorrido de funciones potencia con exponente par positivo y a > 0.

Demostrando la no negatividad x²ᵏ ≥ 0 y el mínimo global f(0) = 0 para establecer Rec(f) = [0, +∞[.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

$f(x)=3x^4$ tiene recorrido $[0,+\infty)$.
¿Cuál es el valor mínimo del recorrido de $f(x)=5x^6$?
Se alcanza en $x=0$.

Respuesta: A) 0
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=x^2$?
El exponente es par y el coeficiente es positivo.

Respuesta: A) $[0,+\infty)$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

El valor $-3$ pertenece al recorrido de $f(x)=x^2$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Determina el recorrido de $f(x)=2x^8$.
Exponente par ($8$) y coeficiente positivo ($2$).

Respuesta: A) $[0,+\infty)$
El recorrido $[0,+\infty)$ incluye exactamente el valor $0$.
¿El valor $10$ pertenece al recorrido de $f(x)=x^2$?
Cualquier valor no negativo pertenece al recorrido, sea o no cuadrado perfecto.

Respuesta: A) Sí, existe $x=\sqrt{10}$ tal que $f(x)=10$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

El recorrido de $f(x)=100x^2$ es el mismo conjunto que el de $f(x)=0{,}01x^2$.
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=7x^{10}$?
Exponente par ($10$) y coeficiente positivo ($7$).

Respuesta: A) $[0,+\infty)$
¿Cuál es el error frecuente al determinar este recorrido?
El $0$ sí pertenece, ya que se alcanza exactamente en $x=0$.

Respuesta: A) Excluir el valor $0$ del recorrido

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación