Determinación del recorrido para exponente par positivo y a > 0
Determinar el recorrido de $f(x)=a\cdot x^n$ cuando $n$ es par y $a>0$.
Introducción
Cuando el coeficiente es positivo y el exponente es par, la función nunca produce resultados negativos, así que su recorrido queda limitado a los valores no negativos.
Explicación
Definición formal
Para $n$ par y $a>0$, $x^n\geq0$ para todo $x$, así que $f(x)=a\cdot x^n\geq0$. El mínimo se alcanza en $f(0)=0$, y como $f(x)\to+\infty$ cuando $|x|\to\infty$, la función toma todos los valores desde $0$ en adelante: el recorrido es $[0,+\infty)$.
Desarrollo didáctico
$f(x)=2x^2$ tiene valores $f(0)=0$, $f(1)=2$, $f(-1)=2$, $f(2)=8$: nunca aparece un resultado negativo, y el valor $0$ sí se alcanza exactamente en $x=0$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que $n$ sea par y $a>0$.
- Paso 2: Identifica que el mínimo de la función es $f(0)=0$.
- Paso 3: Concluye que el recorrido es $[0,+\infty)$.
Ejemplos
1 Determina el recorrido de $f(x)=3x^2$.
- El exponente $2$ es par y el coeficiente $3$ es positivo.
- El recorrido es $[0,+\infty)$.
2 Determina el recorrido de $f(x)=0{,}5x^6$.
- El exponente $6$ es par y el coeficiente $0{,}5$ es positivo.
- El recorrido es $[0,+\infty)$.
3 ¿El valor $f(x)=0$ pertenece al recorrido de $f(x)=x^4$?
- Se alcanza exactamente en $x=0$, así que $0$ pertenece al recorrido.
4 ¿Puede $f(x)=5x^2$ tomar algún valor negativo para algún $x$ real?
- Con exponente par y coeficiente positivo, el resultado nunca es negativo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el recorrido con el dominio, que en este caso sí es todo $\mathbb{R}$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Excluir el valor $0$ del recorrido, cuando sí se alcanza en $x=0$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que el recorrido depende del exponente específico ($2$, $4$, $6$, etc.) y no solo de su paridad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar el signo del coeficiente $a$ antes de determinar el recorrido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si $n$ es par y $a>0$, el recorrido de $f(x)=a\cdot x^n$ es $[0,+\infty)$, ya que el mínimo valor posible es $f(0)=0$ y la función crece sin límite.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es el recorrido de $f(x)=x^2$?
El exponente es par y el coeficiente es positivo.
Respuesta: A) $[0,+\infty)$
-
$f(x)=3x^4$ tiene recorrido $[0,+\infty)$.
Exponente par y coeficiente positivo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor mínimo del recorrido de $f(x)=5x^6$?
Se alcanza en $x=0$.
Respuesta: A) 0
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El valor $-3$ pertenece al recorrido de $f(x)=x^2$.
El recorrido solo incluye valores mayores o iguales a $0$.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el recorrido de $f(x)=2x^8$.
Exponente par ($8$) y coeficiente positivo ($2$).
Respuesta: A) $[0,+\infty)$
-
El recorrido $[0,+\infty)$ incluye exactamente el valor $0$.
El corchete indica que el $0$ sí está incluido.
Respuesta: Verdadero
-
¿El valor $10$ pertenece al recorrido de $f(x)=x^2$?
Cualquier valor no negativo pertenece al recorrido, sea o no cuadrado perfecto.
Respuesta: A) Sí, existe $x=\sqrt{10}$ tal que $f(x)=10$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El recorrido de $f(x)=100x^2$ es el mismo conjunto que el de $f(x)=0{,}01x^2$.
Ambos tienen recorrido $[0,+\infty)$, aunque crezcan a distinta velocidad.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=7x^{10}$?
Exponente par ($10$) y coeficiente positivo ($7$).
Respuesta: A) $[0,+\infty)$
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar este recorrido?
El $0$ sí pertenece, ya que se alcanza exactamente en $x=0$.
Respuesta: A) Excluir el valor $0$ del recorrido