Determinación del recorrido para exponente par positivo y a > 0

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

El conjunto recorrido de una función potencia de exponente entero par positivo con coeficiente positivo ($a > 0$) son los reales no negativos $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$.

Explicación en palabras simples

En una función potencia con exponente par (como $x^2, x^4, x^6$) y coeficiente positivo (como $a = 3$), cualquier número real al elevarse a una potencia par se convierte en cero o en un número positivo. Al multiplicarlo luego por el coeficiente positivo $a$, el resultado jamás podrá ser negativo. La menor altura posible en la gráfica es cero (en el origen $(0, 0)$), y desde ahí la curva sube ilimitadamente hacia arriba. Por ende, su recorrido son los números reales mayores o iguales a cero: $[0, +\infty[$.

Explicación formal

Definición formal

Para toda función potencia $f(x) = a x^n$ definida en $\mathbb{R}$ con exponente par positivo $n = 2k (k \in \mathbb{Z}^+)$ y coeficiente estrictamente positivo $a > 0$, el conjunto recorrido o conjunto imagen está acotado inferiormente por cero:
$$\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[ = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 0\}$$

Demostración analítica

  1. Acotación inferior: Dado que $x^{2k} \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ y $a > 0$, el producto $a x^{2k} \ge 0$ para todo $x$. El valor mínimo absoluto es $f(0) = a(0)^{2k} = 0$.
  2. Divergencia superior: Cuando $x \to \pm\infty$, $f(x) \to +\infty$.
  3. Continuidad e Invarianza por el Teorema del Valor Intermedio: Al ser $f$ continua en $\mathbb{R}$ con mínimo en 0 y límite en $+\infty$, la función adopta todos los valores del intervalo cerrado $[0, +\infty[$.

Síntesis didáctica

Relación de cota: El vértice $(0, 0)$ actúa como el mínimo absoluto global de la función, fijando la cota inferior cerrada $[0$ del intervalo recorrido.

Comprueba tu avance ¿Cuál es el conjunto recorrido de la función potencia $f(x) = 6x^4$ con exponente par positivo y coeficiente positivo $a = 6 > 0$?

Definiciones clave

  • Recorrido $[0, +\infty[$: Conjunto de valores de salida $y$ mayores o iguales a cero.
  • Mínimo absoluto global: Punto $(0, 0)$ donde la función alcanza su menor ordenada posible $y = 0$.
  • Acotación inferior: Propiedad por la cual la función no adopta valores reales estrictamente negativos ($y < 0$).

Propiedades y relaciones importantes

  • Independencia del grado par: El conjunto recorrido $[0, +\infty[$ es exactamente idéntico para $f(x) = x^2$, $g(x) = 5x^4$ o $h(x) = 0.1x^6$, siempre que $a > 0$.
  • Efecto de traslaciones verticales: Si se suma una constante $k$ ($f(x) = a x^{2m} + k$), el recorrido se desplaza al intervalo $[k, +\infty[$.

Ejemplo guiado

Determina el conjunto recorrido de las funciones potencia $f(x) = 4x^2$ y $g(x) = \frac{1}{2}x^6$, justificando a partir del valor de su mínimo absoluto.

  • Paso 1: Para $f(x) = 4x^2$, $n = 2$ es par y $a = 4 > 0$. Evaluando en $x = 0$: $f(0) = 4(0)^2 = 0$. Para todo $x \neq 0$, $f(x) > 0$. Recorrido: $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$.
  • Paso 2: Para $g(x) = \frac{1}{2}x^6$, $n = 6$ es par y $a = 0.5 > 0$. Evaluando en $x = 0$: $g(0) = 0$. Para todo $x \neq 0$, $g(x) > 0$. Recorrido: $\operatorname{Rec}(g) = [0, +\infty[$.
  • Paso 3: Conclusión: En ambas funciones, el mínimo absoluto se ubica en $y = 0$, determinando el intervalo recorrido de los reales no negativos $[0, +\infty[$.
Comprueba tu avance ¿Por qué la función $f(x) = 3x^2$ jamás puede arrojar como resultado un valor negativo como $y = -5$?

Procedimiento

  • Paso 1: Verificar que el exponente $n$ sea un número entero positivo par ($n = 2, 4, 6\dots$).
  • Paso 2: Comprobar que el coeficiente multiplicativo sea estrictamente positivo ($a > 0$).
  • Paso 3: Identificar el mínimo absoluto en el punto cartesiano $(0, 0)$ donde $f(0) = 0$.
  • Paso 4: Declarar que el conjunto recorrido es el intervalo cerrado por la izquierda $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Escribir el recorrido con intervalo abierto en cero $]0, +\infty[$. Cómo corregirlo: El valor cero sí se alcanza en el origen $f(0) = 0$. El corchete en el cero debe ser cerrado: $[0, +\infty[$.
  • Error 2: Confundir el recorrido con todos los números reales $\mathbb{R}$. Cómo corregirlo: Las funciones de exponente par con $a > 0$ no adoptan valores de salida negativos. Su recorrido son únicamente los reales no negativos $[0, +\infty[$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿El recorrido de $f(x) = x^4$ es $[0, +\infty[$?
2 ¿La función $g(x) = 0.5 x^2$ tiene recorrido $[0, +\infty[$?
3 ¿Existe algún $x \in \mathbb{R}$ tal que $f(x) = 2x^6 = -10$?
4 ¿El punto $(0, 0)$ marca el valor mínimo del recorrido de $f(x) = 8x^4$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El conjunto recorrido de la función potencia $f(x) = 3x^2$ es todo el conjunto $\mathbb{R}$."
"El origen $(0, 0)$ representa el mínimo absoluto global de la función, fijando la cota inferior cerrada del recorrido en $y = 0$."
"El coeficiente $a = 5$ cambia el valor mínimo del recorrido a $y = 5$."
"Una función potencia de exponente par con $a > 0$ puede arrojar resultados negativos si la entrada $x$ es negativa."
"El conjunto recorrido de toda función potencia de exponente entero par positivo con $a > 0$ es el conjunto de los reales no negativos $\operatorname{Rec}(f) = [0, +\infty[$."
"El recorrido de $f(x) = x^4$ es el intervalo abierto $]0, +\infty[$ excluyendo al cero."
"El recorrido de $f(x) = 2x^6$ depende del valor asignado a la variable $x$."

Al terminar debes poder

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular el recorrido de una función potencia de exponente par positivo con $a > 0$.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Identificar el valor mínimo absoluto $y = 0$ en el origen declarando $\text{Rec} = [0, +\infty[$.

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. ¿Cuál es el recorrido de $f(x)=x^2$?

  2. $f(x)=3x^4$ tiene recorrido $[0,+\infty)$.

  3. ¿Cuál es el valor mínimo del recorrido de $f(x)=5x^6$?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. El valor $-3$ pertenece al recorrido de $f(x)=x^2$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Determina el recorrido de $f(x)=2x^8$.

  2. El recorrido $[0,+\infty)$ incluye exactamente el valor $0$.

  3. ¿El valor $10$ pertenece al recorrido de $f(x)=x^2$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. El recorrido de $f(x)=100x^2$ es el mismo conjunto que el de $f(x)=0{,}01x^2$.

  2. ¿Cuál es el recorrido de $f(x)=7x^{10}$?

  3. ¿Cuál es el error frecuente al determinar este recorrido?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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