Determinación del recorrido para exponente par positivo y a < 0
Determinar el recorrido de $f(x)=a\cdot x^n$ cuando $n$ es par y $a<0$.
Introducción
Cuando el coeficiente es negativo, la gráfica se refleja respecto al eje $x$, invirtiendo también el recorrido de la función.
Explicación
Definición formal
Para $n$ par y $a<0$, $x^n\geq0$ para todo $x$, pero al multiplicar por $a<0$ se invierte el signo: $f(x)=a\cdot x^n\leq0$. El máximo se alcanza en $f(0)=0$, y como $f(x)\to-\infty$ cuando $|x|\to\infty$, el recorrido es $(-\infty,0]$.
Desarrollo didáctico
$f(x)=-2x^2$ tiene valores $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(-1)=-2$, $f(2)=-8$: nunca aparece un resultado positivo, y el valor $0$ sí se alcanza exactamente en $x=0$, siendo ahora el máximo de la función.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que $n$ sea par y $a<0$.
- Paso 2: Identifica que el máximo de la función es $f(0)=0$.
- Paso 3: Concluye que el recorrido es $(-\infty,0]$.
Ejemplos
1 Determina el recorrido de $f(x)=-3x^2$.
- El exponente $2$ es par y el coeficiente $-3$ es negativo.
- El recorrido es $(-\infty,0]$.
2 Determina el recorrido de $f(x)=-0{,}5x^4$.
- El exponente $4$ es par y el coeficiente $-0{,}5$ es negativo.
- El recorrido es $(-\infty,0]$.
3 ¿El valor $f(x)=0$ pertenece al recorrido de $f(x)=-x^4$?
- Se alcanza exactamente en $x=0$, siendo ahora el máximo de la función.
4 ¿Puede $f(x)=-5x^2$ tomar algún valor positivo para algún $x$ real?
- Con exponente par y coeficiente negativo, el resultado nunca es positivo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir este caso con el de coeficiente positivo, invirtiendo el signo del recorrido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que el punto $(0,0)$ es un mínimo en vez de un máximo cuando $a<0$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Excluir incorrectamente el valor $0$ del recorrido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar el signo del coeficiente antes de determinar el recorrido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si $n$ es par y $a<0$, el recorrido de $f(x)=a\cdot x^n$ es $(-\infty,0]$, ya que el máximo valor posible es $f(0)=0$ y la función decrece sin límite.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=-x^2$?
El exponente es par y el coeficiente es negativo.
Respuesta: A) $(-\infty,0]$
-
$f(x)=-3x^4$ tiene recorrido $(-\infty,0]$.
Exponente par y coeficiente negativo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor máximo del recorrido de $f(x)=-5x^6$?
Se alcanza en $x=0$, como máximo de la función.
Respuesta: A) 0
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El valor $3$ pertenece al recorrido de $f(x)=-x^2$.
El recorrido solo incluye valores menores o iguales a $0$.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el recorrido de $f(x)=-2x^8$.
Exponente par ($8$) y coeficiente negativo ($-2$).
Respuesta: A) $(-\infty,0]$
-
¿El valor $-10$ pertenece al recorrido de $f(x)=-x^2$?
Cualquier valor no positivo pertenece al recorrido.
Respuesta: A) Sí, existe $x=\sqrt{10}$ tal que $f(x)=-10$
-
El recorrido $(-\infty,0]$ incluye exactamente el valor $0$.
El corchete indica que el $0$ sí está incluido, siendo el máximo.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el recorrido de $f(x)=-7x^{10}$?
Exponente par ($10$) y coeficiente negativo ($-7$).
Respuesta: A) $(-\infty,0]$
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar este recorrido?
Son casos opuestos que suelen confundirse.
Respuesta: A) Confundirlo con el recorrido de coeficiente positivo
-
El recorrido de $f(x)=-100x^2$ es el mismo conjunto que el de $f(x)=-0{,}01x^2$.
Ambos tienen recorrido $(-\infty,0]$, aunque decrezcan a distinta velocidad.
Respuesta: Verdadero