Determinación del recorrido para exponente par positivo y a < 0
Resumen inicial
La determinación del recorrido para una función potencia con exponente par positivo y coeficiente negativo ($n = 2k, a < 0$) establece que $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$, alcanzando un máximo absoluto global en el vértice $(0, 0)$ debido a la inversión de la desigualdad $a x^{2k} \le 0$.
Explicación en palabras simples
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Cuando el exponente es par positivo ($2, 4, 6...$) pero el número de afuera es negativo ($a < 0$):
$$\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0] \quad (\text{Desde Menos Infinito Hasta Cero})$$
- ¿Por qué nunca da números positivos?
- La potencia $x^{2k}$ siempre es positiva o cero ($x^4 \ge 0$).
- Al multiplicarla por un número negativo ($a = -3$), ¡el signo se da vuelta y da siempre cero o negativo! ($-3 \cdot x^4 \le 0$).
- El punto más alto (máximo absoluto): Está en el vértice $(0, 0)$, donde $y = 0$.
- ¡Atención al orden del intervalo! Siempre se escribe de menor a mayor: $]-\infty, 0]$, con corchete cerrado en $0]$.
Explicación formal
Sea $f(x) = a \cdot x^{2k}$ con $k \in \mathbb{Z}^+$ y $a \in \mathbb{R}^-$ ($a < 0$).
Dado que $x^{2k} \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, al multiplicar ambos miembros por la constante negativa $a < 0$, la ley de tricotomía invierte el sentido estricto de la relación de orden:
$$a \cdot x^{2k} \le a \cdot 0 = 0 \implies f(x) \le 0, \; \forall x \in \mathbb{R}$$
Determinación analítica del recorrido:
1. Cota superior absoluta alcanzable: $f(0) = a \cdot 0^{2k} = 0 \implies \max_{x \in \mathbb{R}} f(x) = 0$.
2. Sobreyectividad en $]-\infty, 0]$: Para cualquier $y_0 \le 0$, el cociente $y_0 / a \ge 0$, permitiendo extraer preimágenes reales simétricas:
$$x_0 = \pm \sqrt[2k]{\frac{y_0}{a}} \in \mathbb{R} \implies f(x_0) = y_0$$
Por consiguiente:
$$\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$$
La alternativa correcta es ']-∞, 0] (cerrado en cero)'. Al ser exponente par y $a = -5 < 0$, los valores son siempre menores o iguales a cero.
Definiciones clave
- Recorrido semiacotado superiormente: Intervalo $]-\infty, 0]$ cerrado en cero.
- Máximo absoluto global: Valor $y = 0$ que constituye el techo superior infranqueable de la gráfica.
Propiedades y relaciones importantes
- Simetría especular de recorridos: El recorrido de $-a x^{2k}$ es la reflexión por $-1$ del recorrido de $a x^{2k}$.
- Preimágenes reales: Para todo $y < 0$, existen dos valores simétricos $\pm x_0$ en el dominio.
Ejemplo guiado
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Dada la función $g(x) = -2x^6$:
1) Determina su recorrido exacto.
2) Encuentra las preimágenes de $y = -128$.
3) Explica por qué la ecuación $-2x^6 = 10$ no tiene solución real.
- Paso 1: Como $n = 6$ (par) y $a = -2 < 0$, la cota superior es $g(0) = 0$. Por lo tanto, **$\operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, 0]$**.
- Paso 2: Resolver $-2x^6 = -128$: - Dividir por $-2$: $x^6 = 64$. - Extraer raíz sexta: $x = \pm \sqrt[6]{64} = \mathbf{\pm 2}$.
- Paso 3: Si $-2x^6 = 10 \implies x^6 = -5 < 0$, lo cual es imposible para potencias de orden par en $\mathbb{R}$, demostrando que **$10 \notin \operatorname{Rec}(g)$**.
La alternativa correcta es 'y = 0 (en x = 0)'. Al abrir hacia abajo, la cúspide de la parábola está en el origen $(0, 0)$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el exponente $n = 2k$ (entero par positivo).
- Paso 2: Constatar que el coeficiente $a$ sea negativo ($a < 0$).
- Paso 3: Evaluar el valor máximo en el vértice $f(0) = 0$.
- Paso 4: Escribir el recorrido en orden creciente como $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Escribir el intervalo al revés como $[0, -\infty[$ o $]-\infty, a]$.
- Cómo corregirlo: Los intervalos en la recta real SIEMPRE van de izquierda a derecha (de menor a mayor): el extremo izquierdo es $-\infty$ y el techo superior es $0$: $]-\infty, 0]$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Par con $a = -1 < 0 \implies \operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$.
- Paso 1: $-2x^4 = -32 \implies x^4 = 16 \implies x = \pm 2$.
- Paso 1: Máximo global en $y = 0 \implies$ cota superior.
- Paso 1: De menor a mayor con 0 incluido $\implies ]-\infty, 0]$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
![Resumen La determinación del recorrido para una función potencia con exponente par positivo y coeficiente negativo ($n = 2k, a < 0$) establece que $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$, alcanzando un máximo absoluto global en el vértice $(0, 0)$ debido a la inversión de la desigualdad $a x^{2k} \le 0$](/static/img/nodos/determinacion-del-recorrido-para-exponente-par-positivo-y-a-0-1-resumen.svg)
Determinar el recorrido de funciones potencia con exponente par positivo y a < 0.
Demostrando la inversión de orden a x²ᵏ ≤ 0 y el máximo global f(0) = 0 para establecer Rec(f) = ]-∞, 0].
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=-x^2$?
El exponente es par y el coeficiente es negativo.
Respuesta: A) $(-\infty,0]$
-
$f(x)=-3x^4$ tiene recorrido $(-\infty,0]$.
Exponente par y coeficiente negativo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor máximo del recorrido de $f(x)=-5x^6$?
Se alcanza en $x=0$, como máximo de la función.
Respuesta: A) 0
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El valor $3$ pertenece al recorrido de $f(x)=-x^2$.
El recorrido solo incluye valores menores o iguales a $0$.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
El recorrido $(-\infty,0]$ incluye exactamente el valor $0$.
El corchete indica que el $0$ sí está incluido, siendo el máximo.
Respuesta: Verdadero
-
Determina el recorrido de $f(x)=-2x^8$.
Exponente par ($8$) y coeficiente negativo ($-2$).
Respuesta: A) $(-\infty,0]$
-
¿El valor $-10$ pertenece al recorrido de $f(x)=-x^2$?
Cualquier valor no positivo pertenece al recorrido.
Respuesta: A) Sí, existe $x=\sqrt{10}$ tal que $f(x)=-10$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=-7x^{10}$?
Exponente par ($10$) y coeficiente negativo ($-7$).
Respuesta: A) $(-\infty,0]$
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar este recorrido?
Son casos opuestos que suelen confundirse.
Respuesta: A) Confundirlo con el recorrido de coeficiente positivo
-
El recorrido de $f(x)=-100x^2$ es el mismo conjunto que el de $f(x)=-0{,}01x^2$.
Ambos tienen recorrido $(-\infty,0]$, aunque decrezcan a distinta velocidad.
Respuesta: Verdadero