Determinación del recorrido para exponente par positivo y a < 0
Resumen inicial
El conjunto recorrido de una función potencia de exponente entero par positivo con coeficiente negativo ($a < 0$) son los reales no positivos $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$.
Explicación en palabras simples
En una función potencia con exponente par (como $x^2, x^4, x^6$) y coeficiente negativo (como $a = -2$), la potencia $x^n$ produce siempre un número no negativo ($y \ge 0$). Sin embargo, al multiplicarlo por el número negativo $a$, el resultado final invierte su signo haciéndose siempre cero o negativo. La mayor altura posible en la gráfica es cero (en el origen $(0, 0)$), y desde ahí la curva cae hacia abajo. Por ende, su recorrido son los números reales menores o iguales a cero: $]-\infty, 0]$.
Explicación formal
Definición formal
Para toda función potencia $f(x) = a x^n$ definida en $\mathbb{R}$ con exponente par positivo $n = 2k (k \in \mathbb{Z}^+)$ y coeficiente estrictamente negativo $a < 0$, el conjunto recorrido o conjunto imagen está acotado superiormente por cero:
$$\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0] = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 0\}$$
Demostración analítica
- Acotación superior: Dado que $x^{2k} \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ y $a < 0$, el producto $a x^{2k} \le 0$ para todo $x$. El valor máximo absoluto es $f(0) = a(0)^{2k} = 0$.
- Divergencia inferior: Cuando $x \to \pm\infty$, $f(x) \to -\infty$.
- Continuidad e Invarianza por el Teorema del Valor Intermedio: Al ser $f$ continua en $\mathbb{R}$ con máximo en 0 y límite en $-\infty$, la función adopta todos los valores del intervalo semicerrado $]-\infty, 0]$.
Síntesis didáctica
Relación de cota: El vértice $(0, 0)$ actúa como el máximo absoluto global de la función, fijando la cota superior cerrada $0]$ del intervalo recorrido.
La alternativa correcta es 'El intervalo de reales no positivos $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$'. Con exponente par y $a < 0$, las ordenadas $y$ son siempre menores o iguales a cero.
Definiciones clave
- Recorrido $]-\infty, 0]$: Conjunto de valores de salida $y$ menores o iguales a cero.
- Máximo absoluto global: Punto $(0, 0)$ donde la función alcanza su mayor ordenada posible $y = 0$.
- Acotación superior: Propiedad por la cual la función no adopta valores reales estrictamente positivos ($y > 0$).
Propiedades y relaciones importantes
- Inversión por el signo de $a$: El conjunto recorrido $]-\infty, 0]$ (para $a < 0$) es la reflexión exacta del conjunto $[0, +\infty[$ (para $a > 0$) a través del punto cero.
- Efecto de traslaciones verticales: Si se suma una constante $k$ ($f(x) = a x^{2m} + k$ con $a < 0$), el recorrido se transforma al intervalo $]-\infty, k]$.
Ejemplo guiado
Determina el conjunto recorrido de las funciones potencia $f(x) = -3x^2$ y $g(x) = -0.1x^4$, justificando a partir del valor de su máximo absoluto.
- Paso 1: Para $f(x) = -3x^2$, $n = 2$ es par y $a = -3 < 0$. Evaluando en $x = 0$: $f(0) = -3(0)^2 = 0$. Para todo $x \neq 0$, $f(x) < 0$. Recorrido: $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$.
- Paso 2: Para $g(x) = -0.1x^4$, $n = 4$ es par y $a = -0.1 < 0$. Evaluando en $x = 0$: $g(0) = 0$. Para todo $x \neq 0$, $g(x) < 0$. Recorrido: $\operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, 0]$.
- Paso 3: Conclusión: En ambas funciones, el máximo absoluto se ubica en $y = 0$, determinando el intervalo recorrido de los reales no positivos $]-\infty, 0]$.
La alternativa correcta es 'Porque para todo $x \in \mathbb{R}$, $x^4 \ge 0$, y al multiplicarlo por $a = -2 < 0$, la salida es siempre $y \le 0$'. La multiplicación por un coeficiente negativo invierte el signo de todas las salidas no negativas.
Procedimiento
- Paso 1: Verificar que el exponente $n$ sea un número entero positivo par ($n = 2, 4, 6\dots$).
- Paso 2: Comprobar que el coeficiente multiplicativo sea estrictamente negativo ($a < 0$).
- Paso 3: Identificar el máximo absoluto en el punto cartesiano $(0, 0)$ donde $f(0) = 0$.
- Paso 4: Declarar que el conjunto recorrido es el intervalo cerrado por la derecha $\operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Afirmar que el recorrido son los reales positivos $[0, +\infty[$ por tener exponente par. Cómo corregirlo: El exponente par hace que $x^n \ge 0$, pero multiplicar por $a < 0$ invierte las salidas a negativas ($y \le 0$). El recorrido es $]-\infty, 0]$.
- Error 2: Escribir el recorrido con intervalo abierto en cero $]-\infty, 0[$. Cómo corregirlo: El valor cero sí se alcanza en el origen $f(0) = 0$. El corchete en el cero debe ser cerrado: $]-\infty, 0]$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Exponente par $n = 2$ y $a = -1 < 0$.
- El máximo es $y = 0 \implies \operatorname{Rec}(f) = ]-\infty, 0]$.
- Sí. Como $a = -0.25 < 0$ y $n=4$ par, $\operatorname{Rec}(g) = ]-\infty, 0]$.
- No. Puesto que el recorrido es $]-\infty, 0]$, el valor $+12$ no posee preimagen real.
- Sí. $f(0) = 0$ es la mayor altura alcanzada en la función.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Calcular el recorrido de una función potencia de exponente par positivo con $a < 0$.
Identificar el valor máximo absoluto $y = 0$ en el origen declarando $\text{Rec} = ]-\infty, 0]$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=-x^2$?
El exponente es par y el coeficiente es negativo.
Respuesta: A) $(-\infty,0]$
-
$f(x)=-3x^4$ tiene recorrido $(-\infty,0]$.
Exponente par y coeficiente negativo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el valor máximo del recorrido de $f(x)=-5x^6$?
Se alcanza en $x=0$, como máximo de la función.
Respuesta: A) 0
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El valor $3$ pertenece al recorrido de $f(x)=-x^2$.
El recorrido solo incluye valores menores o iguales a $0$.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el recorrido de $f(x)=-2x^8$.
Exponente par ($8$) y coeficiente negativo ($-2$).
Respuesta: A) $(-\infty,0]$
-
¿El valor $-10$ pertenece al recorrido de $f(x)=-x^2$?
Cualquier valor no positivo pertenece al recorrido.
Respuesta: A) Sí, existe $x=\sqrt{10}$ tal que $f(x)=-10$
-
El recorrido $(-\infty,0]$ incluye exactamente el valor $0$.
El corchete indica que el $0$ sí está incluido, siendo el máximo.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el recorrido de $f(x)=-7x^{10}$?
Exponente par ($10$) y coeficiente negativo ($-7$).
Respuesta: A) $(-\infty,0]$
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar este recorrido?
Son casos opuestos que suelen confundirse.
Respuesta: A) Confundirlo con el recorrido de coeficiente positivo
-
El recorrido de $f(x)=-100x^2$ es el mismo conjunto que el de $f(x)=-0{,}01x^2$.
Ambos tienen recorrido $(-\infty,0]$, aunque decrezcan a distinta velocidad.
Respuesta: Verdadero