Descripción de la traslación vertical de la parábola en el plano
Describir cómo el parámetro $k$ de la forma canónica traslada verticalmente la gráfica de la función cuadrática básica.
Introducción
Además de deslizarse horizontalmente, la parábola puede subir o bajar en el plano, y este movimiento se controla con un parámetro distinto, sumado fuera del binomio al cuadrado.
Explicación
Definición formal
Dada $f(x)=x^2$, la función $g(x)=f(x)+k=x^2+k$ representa una traslación vertical de la gráfica de $f$ en $k$ unidades. Cada punto $(x,y)$ de la gráfica original se traslada a $(x,y+k)$ en la nueva gráfica.
Desarrollo didáctico
A diferencia de la traslación horizontal, el signo de $k$ se interpreta directamente: positivo sube la gráfica, negativo la baja, sin necesidad de reescribir nada.
La gráfica de $g(x)=x^2-4$ es idéntica a la de $f(x)=x^2$, pero desplazada $4$ unidades hacia abajo, con vértice en $(0,-4)$ en vez de $(0,0)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la función base $f(x)=x^2$ y la función transformada $g(x)=x^2+k$.
- Paso 2: Si $k>0$, concluye que la traslación es hacia arriba.
- Paso 3: Si $k<0$, concluye que la traslación es hacia abajo.
Ejemplos
1 Describe la traslación vertical de $g(x)=x^2+6$ respecto a $f(x)=x^2$.
- $k=6>0$.
- Se traslada $6$ unidades hacia arriba, con vértice en $(0,6)$.
2 Describe la traslación vertical de $g(x)=x^2-8$ respecto a $f(x)=x^2$.
- $k=-8<0$.
- Se traslada $8$ unidades hacia abajo, con vértice en $(0,-8)$.
3 ¿El signo de $k$ se interpreta directamente, sin reescribir nada?
- A diferencia de $h$, el signo de $k$ se lee tal cual aparece en la expresión.
4 ¿La traslación vertical afecta la coordenada $x$ del vértice?
- Solo afecta la coordenada $y$ del vértice; la coordenada $x$ permanece igual a la de la función original.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la dirección de la traslación vertical (arriba/abajo) invirtiendo el signo de $k$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar a $k$ la misma lógica de reescritura usada para $h$ en la traslación horizontal."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la traslación vertical con la traslación horizontal."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la traslación vertical a la coordenada $x$ del vértice en vez de a la coordenada $y$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La función $g(x)=x^2+k$ es la parábola $f(x)=x^2$ **trasladada verticalmente** $k$ unidades, hacia arriba si $k>0$ y hacia abajo si $k<0$, sin cambiar su forma.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El signo de $k$ se interpreta directamente, sin reescribir nada.
A diferencia de h, el signo de k se lee tal cual aparece.
Respuesta: Verdadero
-
La traslación vertical afecta:
La coordenada x permanece igual.
Respuesta: A) Solo la coordenada $y$ del vértice
-
La función $g(x)=x^2+k$ es la parábola $f(x)=x^2$:
El parámetro k sumado fuera del binomio produce traslación vertical.
Respuesta: A) Trasladada verticalmente $k$ unidades
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$g(x)=x^2+6$ tiene su vértice en $(0,6)$.
k=6, vértice en (0,6).
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Describe la traslación vertical de $g(x)=x^2-8$ respecto a $f(x)=x^2$.
k=-8<0, traslación hacia abajo.
Respuesta: A) 8 unidades hacia abajo
-
¿Cuál es el vértice de $g(x)=x^2-11$?
k=-11, vértice en (0,-11).
Respuesta: A) $(0,-11)$
-
Aplicar a $k$ la misma lógica de reescritura usada para $h$ es un error frecuente.
k se lee directamente, sin necesidad de reescritura.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
$g(x)=x^2+0$ es idéntica a $f(x)=x^2$, sin traslación vertical.
Con k=0, no hay desplazamiento.
Respuesta: Verdadero
-
El vértice de $g(x)=x^2+15$ está en:
k=15, vértice en (0,15).
Respuesta: A) $(0,15)$
-
¿Cuál es el error frecuente al describir traslaciones verticales?
Es un error común invertir arriba y abajo.
Respuesta: A) Confundir la dirección invirtiendo el signo de $k$