Descripción de la traslación vertical de la parábola en el plano

Resumen inicial

La traslación vertical de la parábola transforma la función $y = ax^2$ en $g(x) = ax^2 + k$, desplazando rígidamente toda la gráfica $k$ unidades a lo largo del eje $Y$, situando el vértice en $(0, k)$ y modificando el recorrido.

Explicación en palabras simples

La traslación vertical de la parábola transforma la función $y = ax^2$ en $g(x) = ax^2 + k$, desplazando rígidamente toda la gráfica $k$ unidades a lo largo del eje $Y$, situando el vértice en $(0, k)$ y modificando el recorrido

La traslación vertical es el movimiento más directo e intuitivo: es como subir o bajar en un ascensor:

¿Cómo se escribe? Sumando o restando un número suelto al final de la función:
$$g(x) = ax^2 + k$$
¿Hacia dónde se mueve? (¡Sigue exactamente el signo que ves!)
Si tienes $g(x) = x^2 + 5 \implies$ la parábola sube 5 unidades hacia ARRIBA (vértice en $(0, 5)$).
Si tienes $g(x) = x^2 - 8 \implies$ la parábola baja 8 unidades hacia ABAJO (vértice en $(0, -8)$).
El recorrido cambia de inmediato: Si subes la parábola a $+5$, el nuevo recorrido es $[5, +\infty[$.

Explicación formal

Sea $f(x) = ax^2$ ($a \neq 0$) y sea el vector de traslación vertical $\vec{w} = (0, k) \in \mathbb{R}^2$. La acción del operador aditivo vertical $\mathcal{A}_k$ define:
$$g(x) = f(x) + k = ax^2 + k$$

Propiedades analíticas:
1. Invarianza del eje de simetría: Como la traslación es puramente ortogonal al eje $X$, el eje de simetría sigue siendo la recta $x = 0$ (el eje $Y$).
2. Traslación del extremo: $g(0) = a(0)^2 + k = k \implies V(0, k)$.
3. Corte directo con el eje Y: El punto de corte es idénticamente $(0, k)$.
4. Modificación del conjunto imagen:
$$\text{Rec}(g) = \begin{cases} [k, +\infty[ & \text{si } a > 0 \\ ]-\infty, k] & \text{si } a < 0 \end{cases}$$

Definiciones clave

Traslación vertical: Desplazamiento paralelo al eje de ordenadas mediante la adición de una constante $f(x) \mapsto f(x) + k$.
Cota vertical trasladada: Nuevo extremo global $y_v = k$.

Propiedades y relaciones importantes

Signo directo: $+k$ desplaza hacia arriba; $-k$ desplaza hacia abajo (sin inversión de signos).
Efecto sobre las intersecciones con el eje X: Si $a > 0$ y $k > 0$, la parábola no corta al eje $X$ ($\Delta < 0$); si $a > 0$ y $k < 0$, corta en dos puntos simétricos $x = \pm \sqrt{-k/a}$.

Ejemplo guiado

Ejemplo La traslación vertical de la parábola transforma la función $y = ax^2$ en $g(x) = ax^2 + k$, desplazando rígidamente toda la gráfica $k$ unidades a lo largo del eje $Y$, situando el vértice en $(0, k)$ y modificando el recorrido

Analiza la transformación de $y = -2x^2$ al convertirse en $g(x) = -2x^2 + 8$, determinando su vértice, eje de simetría, recorrido y cortes con el eje X.

Paso 1: Identificar la transformación: La función $y = -2x^2$ tiene una constante exterior sumada $k = 8$. - La parábola se traslada **8 unidades hacia arriba**.
Paso 2: Vértice y eje de simetría: - Vértice: $V(0, 8)$. - Eje de simetría: $x = 0$ (eje $Y$).
Paso 3: Recorrido: - Como $a = -2 < 0$, abre hacia abajo $\implies \text{Rec}(g) = ]-\infty, 8]$.
Paso 4: Cortes con el eje X: $-2x^2 + 8 = 0 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. - Cortes en $(-2, 0)$ y $(2, 0)$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar la constante exterior $k$ en $g(x) = ax^2 + k$.
Paso 2: Si $k > 0$, desplazar la curva hacia arriba; si $k < 0$, desplazarla hacia abajo.
Paso 3: Fijar el vértice en $(0, k)$.
Paso 4: Formular el recorrido según la concavidad: $[k, +\infty[$ si $a > 0$ o $]-\infty, k]$ si $a < 0$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Invertir el signo de $k$ pensando que funciona como la traslación horizontal.
Cómo corregirlo: La traslación vertical conserva su signo idéntico: $+k$ sube y $-k$ baja.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La función g(x) = ax² + k tiene su vértice en el punto (0, k)."

"Cambiar el signo de k al determinar las coordenadas del vértice."

"Olvidar que el eje de simetría permanece en x = 0."

"Confundir la traslación vertical con una traslación horizontal."

"La traslación vertical no altera la ecuación del eje de simetría x = 0."

Al terminar debes poder

Resumen La traslación vertical de la parábola transforma la función $y = ax^2$ en $g(x) = ax^2 + k$, desplazando rígidamente toda la gráfica $k$ unidades a lo largo del eje $Y$, situando el vértice en $(0, k)$ y modificando el recorrido

Describir y formular la traslación vertical de una parábola.

Identificando el término independiente k en g(x) = ax² + k para trasladar el vértice a (0, k) y delimitar el recorrido.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

El signo de $k$ se interpreta directamente, sin reescribir nada.
La traslación vertical afecta:
La coordenada x permanece igual.

Respuesta: A) Solo la coordenada $y$ del vértice
La función $g(x)=x^2+k$ es la parábola $f(x)=x^2$:
El parámetro k sumado fuera del binomio produce traslación vertical.

Respuesta: A) Trasladada verticalmente $k$ unidades

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$g(x)=x^2+6$ tiene su vértice en $(0,6)$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Describe la traslación vertical de $g(x)=x^2-8$ respecto a $f(x)=x^2$.
k=-8<0, traslación hacia abajo.

Respuesta: A) 8 unidades hacia abajo
¿Cuál es el vértice de $g(x)=x^2-11$?
k=-11, vértice en (0,-11).

Respuesta: A) $(0,-11)$
Aplicar a $k$ la misma lógica de reescritura usada para $h$ es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

$g(x)=x^2+0$ es idéntica a $f(x)=x^2$, sin traslación vertical.
El vértice de $g(x)=x^2+15$ está en:
k=15, vértice en (0,15).

Respuesta: A) $(0,15)$
¿Cuál es el error frecuente al describir traslaciones verticales?
Es un error común invertir arriba y abajo.

Respuesta: A) Confundir la dirección invirtiendo el signo de $k$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación