Descripción de la traslación horizontal de la parábola en el plano

Resumen inicial

La traslación horizontal de la parábola transforma la función matriz $y = ax^2$ en $g(x) = a(x - h)^2$, desplazando rígidamente toda la gráfica $h$ unidades a lo largo del eje $X$ y situando el nuevo vértice en $(h, 0)$.

Explicación en palabras simples

La traslación horizontal de la parábola transforma la función matriz $y = ax^2$ en $g(x) = a(x - h)^2$, desplazando rígidamente toda la gráfica $h$ unidades a lo largo del eje $X$ y situando el nuevo vértice en $(h, 0)$

La traslación horizontal consiste en deslizar la parábola hacia la izquierda o hacia la derecha como un riel sin deformarla:

¿Cómo se escribe? Modificando directamente a la variable $x$ dentro de un paréntesis al cuadrado:
$$g(x) = a(x - h)^2$$
¿Hacia dónde se mueve?
Si tienes $g(x) = (x - 4)^2 \implies$ la parábola se mueve 4 unidades a la DERECHA (vértice en $(4, 0)$).
Si tienes $g(x) = (x + 3)^2 \implies$ la parábola se mueve 3 unidades a la IZQUIERDA (vértice en $(-3, 0)$).
El eje de simetría acompaña al vértice: Se convierte en la recta vertical $x = h$.

Explicación formal

Sea $f(x) = ax^2$ ($a \neq 0$) y sea un vector de traslación horizontal $\vec{v} = (h, 0) \in \mathbb{R}^2$. La acción del operador traslacional $\mathcal{T}_h: \mathcal{C}(\mathbb{R}) \to \mathcal{C}(\mathbb{R})$ define la nueva función:
$$g(x) = (\mathcal{T}_h f)(x) = f(x - h) = a(x - h)^2$$

Propiedades invariantes:
1. Isometría rígida: Preserva distancias, apertura y curvatura instantánea ($\kappa(x)$).
2. Traslación del espectro crítico: El punto crítico satisface $g'(x) = 2a(x - h) = 0 \Longleftrightarrow x_v = h$.
3. Cero único tangente: La gráfica es tangente al eje $X$ en el punto $(h, 0)$.

Definiciones clave

Traslación horizontal: Desplazamiento paralelo al eje de abscisas mediante el cambio de argumento $x \mapsto x - h$.
Vértice trasladado horizontalmente: Punto de contacto $(h, 0)$.

Propiedades y relaciones importantes

Eje de simetría trasladado: La recta de simetría pasa de $x = 0$ a $x = h$.
Invarianza de concavidad y recorrido: La concavidad ($a$) y el recorrido ($[0, +\infty[$ ó $]-\infty, 0]$) se mantienen inalterados.

Ejemplo guiado

Ejemplo La traslación horizontal de la parábola transforma la función matriz $y = ax^2$ en $g(x) = a(x - h)^2$, desplazando rígidamente toda la gráfica $h$ unidades a lo largo del eje $X$ y situando el nuevo vértice en $(h, 0)$

Describe la transformación geométrica que experimenta $y = x^2$ para convertirse en $g(x) = (x - 5)^2$, indicando su nuevo vértice y eje de simetría.

Paso 1: Identificar el cambio en el argumento: La función base $f(x) = x^2$ fue sustituida por $f(x - 5) = (x - 5)^2$. - Aquí $h = 5 > 0$.
Paso 2: Determinar el sentido del desplazamiento: Como $h = 5$, la parábola se traslada **5 unidades hacia la derecha** a lo largo del eje $X$.
Paso 3: Calcular el nuevo vértice y eje de simetría: - Vértice: $V(5, 0)$. - Eje de simetría: recta vertical $x = 5$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar la función base $y = ax^2$.
Paso 2: Extraer el valor del desplazamiento $h$ en la expresión $a(x - h)^2$.
Paso 3: Si $h > 0$, desplazar la curva $|h|$ unidades a la derecha; si $h < 0$, desplazar $|h|$ unidades a la izquierda.
Paso 4: Fijar el nuevo vértice en $(h, 0)$ y el eje de simetría en $x = h$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Creer que $(x - 5)^2$ se mueve a la izquierda por el signo menos.
Cómo corregirlo: La fórmula base es $(x - h)$; por tanto, el signo menos indica traslación a la DERECHA ($h = +5$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Confundir el sentido de la traslación horizontal invirtiendo izquierda por derecha."

"El eje de simetría de g(x) = a(x - h)² es siempre la recta vertical x = h."

"La expresión g(x) = a(x - h)² traslada la parábola horizontalmente h unidades."

"Olvidar que el vértice mantiene ordenada y = 0 cuando no hay término vertical k."

"Asumir que la traslación horizontal cambia el ancho de la parábola."

Al terminar debes poder

Resumen La traslación horizontal de la parábola transforma la función matriz $y = ax^2$ en $g(x) = a(x - h)^2$, desplazando rígidamente toda la gráfica $h$ unidades a lo largo del eje $X$ y situando el nuevo vértice en $(h, 0)$

Describir y graficar la traslación horizontal de una parábola.

Identificando el parámetro h en g(x) = a(x - h)² y trasladando el vértice a (h, 0).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

La función $g(x)=(x-h)^2$ es la parábola $f(x)=x^2$:
El parámetro h dentro del binomio produce una traslación horizontal.

Respuesta: A) Trasladada horizontalmente $h$ unidades
La traslación horizontal cambia la forma de la parábola.
La traslación horizontal afecta:
La coordenada y permanece igual a la de la función original.

Respuesta: A) Solo la coordenada $x$ del vértice

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$g(x)=(x-5)^2$ tiene su vértice en $(5,0)$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Describe la traslación horizontal de $g(x)=(x-5)^2$ respecto a $f(x)=x^2$.
El vértice pasa de (0,0) a (5,0).

Respuesta: A) 5 unidades hacia la derecha
Describe la traslación horizontal de $g(x)=(x+4)^2$ respecto a $f(x)=x^2$.
Reescribiendo como (x-(-4)), h=-4.

Respuesta: A) 4 unidades hacia la izquierda
Confundir la traslación horizontal con la vertical es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al describir traslaciones horizontales?
Es un error común invertir izquierda y derecha.

Respuesta: A) Confundir la dirección de la traslación
$g(x)=(x-0)^2$ es idéntica a $f(x)=x^2$, sin traslación horizontal.
El vértice de $g(x)=(x-8)^2$ está en:
h=8, vértice en (8,0).

Respuesta: A) $(8,0)$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación