Análisis de la reflexión de la gráfica respecto del eje X

Resumen inicial

El análisis de la reflexión respecto del eje $X$ transforma la función $f(x)$ en $g(x) = -f(x)$, invirtiendo la orientación de todas las ordenadas $(x, y) \mapsto (x, -y)$, cambiando la concavidad e intercambiando la naturaleza del vértice entre máximo y mínimo.

Explicación en palabras simples

$El análisis de la reflexión respecto del eje $X$ transforma la función $f(x)$ en $g(x) = -f(x)$, invirtiendo la orientación de todas las ordenadas $(x, y) \mapsto (x, -y)$, cambiando la concavidad e intercambiando la naturaleza del vértice entre máximo y mínimo$

La reflexión respecto al eje $X$ es como colocar un espejo plano justo sobre la línea horizontal del suelo:

¿Qué le pasa a la fórmula? Se le pone un signo negativo a toda la función:
$$g(x) = -f(x)$$
Efectos visuales inmediatos:
Si las ramas apuntaban hacia arriba ($\cup$), ahora apuntan hacia abajo ($\cap$).
Si el vértice era un punto mínimo en $(3, 4)$, ahora es un punto máximo en $(3, -4)$.
Los cortes con el eje $X$ no se mueven: Como están en el espejo (altura $y = 0$), se quedan exactamente en el mismo lugar.

Explicación formal

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = ax^2 + bx + c$. La isometría de reflexión axial especular respecto a la recta $Y = 0$ se define mediante el operador $\mathcal{R}_X$:
$$g(x) = (\mathcal{R}_X f)(x) = -f(x) = -ax^2 - bx - c$$

Propiedades espectrales de la reflexión:
1. Inversión de curvatura: $g''(x) = -f''(x) = -2a$. Si $f$ es convexa ($a > 0$), $-f$ es estrictamente cóncava ($-a < 0$).
2. Transformación del vértice: $V_f(x_v, y_v) \mapsto V_g(x_v, -y_v)$. La abscisa se conserva ($x_v' = x_v$) y la ordenada se refleja ($y_v' = -y_v$).
3. Invarianza del conjunto de ceros: $\mathcal{Z}(g) = \mathcal{Z}(f)$ porque $-f(x) = 0 \iff f(x) = 0$.

Definiciones clave

Reflexión respecto al eje X: Simetría axial que envía cada par $(x, y)$ a $(x, -y)$.
Inversión de concavidad: Cambio de signo del coeficiente principal $a \mapsto -a$.

Propiedades y relaciones importantes

Involución: Reflejar dos veces consecutivas devuelve la función original: $-(-f(x)) = f(x)$.
Reflexión en forma canónica: $-[a(x - h)^2 + k] = -a(x - h)^2 - k$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo El análisis de la reflexión respecto del eje $X$ transforma la función $f(x)$ en $g(x) = -f(x)$, invirtiendo la orientación de todas las ordenadas $(x, y) \mapsto (x, -y)$, cambiando la concavidad e intercambiando la naturaleza del vértice entre máximo y mínimo$

Dada la función $f(x) = 2(x - 4)^2 + 3$, encuentra la ecuación de su reflexión respecto al eje X y compara los vértices y concavidades de ambas.

Paso 1: Aplicar la definición de reflexión: $g(x) = -f(x)$.
Paso 2: Multiplicar toda la expresión por $-1$: $g(x) = -[2(x - 4)^2 + 3] = -2(x - 4)^2 - 3$.
Paso 3: Analizar la función original $f(x)$: - Concavidad: $a = 2 > 0$ (hacia arriba, $\cup$). - Vértice: $V_f(4, 3)$, punto mínimo.
Paso 4: Analizar la función reflejada $g(x)$: - Concavidad: $a = -2 < 0$ (hacia abajo, $\cap$). - Vértice: $V_g(4, -3)$, punto máximo.
Paso 5: Conclusión: La abscisa $x = 4$ se mantiene igual, la ordenada cambió de $+3$ a $-3$, y el mínimo se convirtió en máximo.

Procedimiento

Paso 1: Multiplicar la expresión funcional completa por $-1$: $g(x) = -f(x)$.
Paso 2: Distribuir el signo negativo tanto al coeficiente cuadrático como a la constante exterior.
Paso 3: Identificar el nuevo vértice $V(x_v, -y_v)$.
Paso 4: Invertir la concavidad (si era hacia arriba pasa a ser hacia abajo y viceversa).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Cambiar también el signo de $x$ dentro del binomio: $-(x + h)^2$.
Cómo corregirlo: La reflexión respecto al eje X solo afecta a la salida $y$; el binomio $(x - h)$ conserva su término horizontal intacto.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La reflexión respecto al eje X transforma la función f(x) en -f(x)."

"La reflexión respecto al eje X invierte la concavidad y el signo de la ordenada del vértice."

"Creer que los ceros de la función cambian de lugar tras la reflexión."

"Cambiar el signo de h al reflejar respecto al eje X."

"Olvidar distribuir el signo negativo al término independiente k."

Al terminar debes poder

$Resumen El análisis de la reflexión respecto del eje $X$ transforma la función $f(x)$ en $g(x) = -f(x)$, invirtiendo la orientación de todas las ordenadas $(x, y) \mapsto (x, -y)$, cambiando la concavidad e intercambiando la naturaleza del vértice entre máximo y mínimo$

Analizar y formular la reflexión de una parábola respecto al eje X.

Multiplicando la función por -1 para invertir la concavidad y reflejar la ordenada del vértice (x_v, -y_v).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

La función $g(x)=-f(x)$ es la reflexión de $f(x)$ respecto:
Cada punto (x,y) se convierte en (x,-y).

Respuesta: A) Al eje $x$
La reflexión respecto al eje $x$ afecta el ancho o abertura de la parábola.
La reflexión respecto al eje $x$ cambia:
La coordenada x permanece igual, pero y cambia de signo.

Respuesta: A) La coordenada $y$ del vértice

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$g(x)=-x^2$ es la reflexión de $f(x)=x^2$ respecto al eje $x$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Describe la relación entre $f(x)=x^2$ y $g(x)=-x^2$.
f abre hacia arriba, g hacia abajo, con el mismo vértice.

Respuesta: A) g es la reflexión de f respecto al eje x
Si $f(x)=(x-2)^2+3$ y $g(x)=-(x-2)^2-3$, ¿qué relación tienen?
g(x)=-f(x).

Respuesta: A) g es la reflexión de f respecto al eje x
Confundir la reflexión respecto al eje x con una traslación vertical es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

$f(x)=x^2$ tiene un mínimo en $(0,0)$; su reflexión $g(x)=-x^2$ tiene un máximo en $(0,0)$.
¿Cuál es el error frecuente al analizar la reflexión respecto al eje x?
Solo la coordenada y cambia de signo, no la x.

Respuesta: A) Asumir que cambia la coordenada $x$ del vértice
Si $f(x)=3x^2-6$ tiene vértice $(0,-6)$, ¿cuál es el vértice de $g(x)=-3x^2+6$?
g(x)=-f(x); la coordenada y del vértice cambia de signo.

Respuesta: A) $(0,6)$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación