Análisis de la dilatación o contracción vertical de la parábola según el valor absoluto de a

Resumen inicial

El análisis de la dilatación o contracción vertical de la parábola según $|a|$ establece que si $|a| > 1$ la gráfica sufre una dilatación vertical (se vuelve más estrecha y alargada), mientras que si $0 < |a| < 1$ sufre una contracción vertical (se vuelve más ancha y aplanada).

Explicación en palabras simples

El análisis de la dilatación o contracción vertical de la parábola según $|a|$ establece que si $|a| > 1$ la gráfica sufre una dilatación vertical (se vuelve más estrecha y alargada), mientras que si $0 < |a| < 1$ sufre una contracción vertical (se vuelve más ancha y aplanada)

El número $|a|$ (sin importar si es positivo o negativo) controla el grosor o apertura de la parábola:

Si $|a| > 1$ (ej: $y = 5x^2$ o $y = -4x^2$):
Se llama dilatación vertical.
La parábola sube (o baja) muy rápido: las ramas se juntan y la curva queda MUY ESTRECHA (flaca).
Si $0 < |a| < 1$ (ej: $y = \frac{1}{3}x^2$ o $y = -0,2x^2$):
Se llama contracción vertical.
La parábola crece lentamente: las ramas se abren hacia los lados y la curva queda MUY ANCHA (gorda).
Referencia: Todas se comparan con la parábola matriz $y = x^2$ (donde $|a| = 1$).

Explicación formal

Sea $f(x) = x^2$ y sea el operador de escalamiento vertical $\mathcal{S}_a$ tal que $g(x) = a x^2$ ($a \neq 0$). La tasa de divergencia métrica respecto al eje de simetría está regulada por $|a|$:

$$\forall x \neq 0: \quad \frac{|g(x)|}{|f(x)|} = |a|$$

Clasificación topológica de apertura:
1. Dilatación vertical estricta ($|a| > 1$):
$$\forall y > 0: \quad |x_g(y)| = \sqrt{\frac{y}{|a|}} < \sqrt{y} = |x_f(y)|$$
El ancho transversal de la parábola a una misma altura $y$ es menor, generando un estrechamiento geométrico.
2. Contracción vertical estricta ($0 < |a| < 1$):
$$\forall y > 0: \quad |x_g(y)| = \sqrt{\frac{y}{|a|}} > |x_f(y)|$$
El ancho transversal es mayor, generando un ensanchamiento geométrico.

Definiciones clave

Dilatación vertical: Transformación que alarga verticalmente la curva alejándola del eje horizontal por un factor $|a| > 1$.
Contracción vertical: Transformación que comprime verticalmente la curva acercándola al eje horizontal por un factor $0 < |a| < 1$.

Propiedades y relaciones importantes

Independencia del signo: El ensanchamiento o estrechamiento depende estrictamente del valor absoluto $|a|$, sin importar si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.
Invarianza del vértice en el origen: Si no hay traslación, el vértice $(0, 0)$ permanece como punto fijo invariante.

Ejemplo guiado

Ejemplo El análisis de la dilatación o contracción vertical de la parábola según $|a|$ establece que si $|a| > 1$ la gráfica sufre una dilatación vertical (se vuelve más estrecha y alargada), mientras que si $0 < |a| < 1$ sufre una contracción vertical (se vuelve más ancha y aplanada)

Ordena las siguientes funciones de la más estrecha a la más ancha justificando según $|a|$:
$f_1(x) = -5x^2, \quad f_2(x) = \frac{1}{4}x^2, \quad f_3(x) = 2x^2, \quad f_4(x) = -0,8x^2$.

Paso 1: Calcular el valor absoluto de cada coeficiente principal: - $|a_1| = |-5| = 5$. - $|a_2| = |1/4| = 0,25$. - $|a_3| = |2| = 2$. - $|a_4| = |-0,8| = 0,8$.
Paso 2: Ordenar los valores absolutos de mayor a menor: $$5 > 2 > 0,8 > 0,25 \implies |a_1| > |a_3| > |a_4| > |a_2|$$
Paso 3: Concluir el orden de estrechez: - Más estrecha: $f_1(x) = -5x^2$. - Segunda: $f_3(x) = 2x^2$. - Tercera: $f_4(x) = -0,8x^2$. - Más ancha: $f_2(x) = \frac{1}{4}x^2$.

Procedimiento

Paso 1: Extraer el coeficiente principal $a$ de cada función cuadrática.
Paso 2: Calcular su valor absoluto $|a|$.
Paso 3: Si $|a| > 1$, clasificar como dilatación vertical (parábola estrecha).
Paso 4: Si $0 < |a| < 1$, clasificar como contracción vertical (parábola ancha).
Paso 5: Jerarquizar las curvas: a mayor $|a|$, mayor estrechez.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Pensar que $y = -5x^2$ es más ancha que $y = x^2$ porque $-5 < 1$.
Cómo corregirlo: La apertura depende del VALOR ABSOLUTO $|a|$: $|-5| = 5 > 1$, por lo que es mucho más estrecha.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Confundir dilatación vertical con traslación vertical."

"Comparar coeficientes con su signo en lugar de usar el valor absoluto."

"Dos parábolas con el mismo valor absoluto |a| tienen exactamente la misma apertura geométrica."

"El valor absoluto |a| determina unívocamente la apertura y estrechez de la parábola."

"Afirmar que un número fraccionario siempre ensancha (ej: 5/2 > 1 estrecha la curva)."

Al terminar debes poder

Resumen El análisis de la dilatación o contracción vertical de la parábola según $|a|$ establece que si $|a| > 1$ la gráfica sufre una dilatación vertical (se vuelve más estrecha y alargada), mientras que si $0 < |a| < 1$ sufre una contracción vertical (se vuelve más ancha y aplanada)

Analizar y clasificar la dilatación y contracción vertical de una parábola.

Evaluando si |a| > 1 (dilatación vertical/estrecha) o 0 < |a| < 1 (contracción vertical/ancha).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Si $|a|>1$, la parábola comparada con $x^2$ se ve:
Un valor absoluto mayor a 1 produce contracción vertical.

Respuesta: A) Más angosta (contraída)
El valor absoluto de $a$ afecta la posición del vértice.
Si $0<|a|<1$, la parábola comparada con $x^2$ se ve:
Un valor absoluto entre 0 y 1 produce dilatación vertical.

Respuesta: A) Más ancha (dilatada)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$g(x)=5x^2$ es más angosta que $f(x)=x^2$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Compara la abertura de $g(x)=0{,}8x^2$ con $f(x)=x^2$.
|a|=0,8<1.

Respuesta: A) g es más ancha (dilatada)
Invertir la relación, pensando que $|a|>1$ produce una parábola más ancha, es un error frecuente.
Compara la abertura de $g(x)=\dfrac{1}{4}x^2$ con $f(x)=x^2$.
|a|=1/4<1.

Respuesta: A) g es más ancha (dilatada)

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

$g(x)=x^2$ (con $|a|=1$) tiene la misma abertura que $f(x)=x^2$.
Compara la abertura de $g(x)=-7x^2$ con $f(x)=x^2$.
|a|=7>1, independientemente del signo negativo.

Respuesta: A) g es más angosta (contraída)
¿Cuál es el error frecuente al analizar la escala vertical?
Son dos efectos distintos: abertura y concavidad.

Respuesta: A) Confundir el efecto del valor absoluto con el efecto del signo de $a$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación