Análisis de la dilatación o contracción vertical de la parábola según el valor absoluto de a

Resumen inicial

El análisis de la dilatación o contracción vertical de la parábola según $|a|$ establece que si $|a| > 1$ la gráfica sufre una dilatación vertical (se vuelve más estrecha y alargada), mientras que si $0 < |a| < 1$ sufre una contracción vertical (se vuelve más ancha y aplanada).

Explicación en palabras simples

El análisis de la dilatación o contracción vertical de la parábola según $|a|$ establece que si $|a| > 1$ la gráfica sufre una dilatación vertical (se vuelve más estrecha y alargada), mientras que si $0 < |a| < 1$ sufre una contracción vertical (se vuelve más ancha y aplanada)

El número $|a|$ (sin importar si es positivo o negativo) controla el grosor o apertura de la parábola:

Si $|a| > 1$ (ej: $y = 5x^2$ o $y = -4x^2$):
Se llama dilatación vertical.
La parábola sube (o baja) muy rápido: las ramas se juntan y la curva queda MUY ESTRECHA (flaca).
Si $0 < |a| < 1$ (ej: $y = \frac{1}{3}x^2$ o $y = -0,2x^2$):
Se llama contracción vertical.
La parábola crece lentamente: las ramas se abren hacia los lados y la curva queda MUY ANCHA (gorda).
Referencia: Todas se comparan con la parábola matriz $y = x^2$ (donde $|a| = 1$).

Explicación formal

Sea $f(x) = x^2$ y sea el operador de escalamiento vertical $\mathcal{S}_a$ tal que $g(x) = a x^2$ ($a \neq 0$). La tasa de divergencia métrica respecto al eje de simetría está regulada por $|a|$:

$$\forall x \neq 0: \quad \frac{|g(x)|}{|f(x)|} = |a|$$

Clasificación topológica de apertura:
1. Dilatación vertical estricta ($|a| > 1$):
$$\forall y > 0: \quad |x_g(y)| = \sqrt{\frac{y}{|a|}} < \sqrt{y} = |x_f(y)|$$
El ancho transversal de la parábola a una misma altura $y$ es menor, generando un estrechamiento geométrico.
2. Contracción vertical estricta ($0 < |a| < 1$):
$$\forall y > 0: \quad |x_g(y)| = \sqrt{\frac{y}{|a|}} > |x_f(y)|$$
El ancho transversal es mayor, generando un ensanchamiento geométrico.

Definiciones clave

Dilatación vertical: Transformación que alarga verticalmente la curva alejándola del eje horizontal por un factor $|a| > 1$.
Contracción vertical: Transformación que comprime verticalmente la curva acercándola al eje horizontal por un factor $0 < |a| < 1$.

Propiedades y relaciones importantes

Independencia del signo: El ensanchamiento o estrechamiento depende estrictamente del valor absoluto $|a|$, sin importar si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.
Invarianza del vértice en el origen: Si no hay traslación, el vértice $(0, 0)$ permanece como punto fijo invariante.

Ejemplo guiado

Ejemplo El análisis de la dilatación o contracción vertical de la parábola según $|a|$ establece que si $|a| > 1$ la gráfica sufre una dilatación vertical (se vuelve más estrecha y alargada), mientras que si $0 < |a| < 1$ sufre una contracción vertical (se vuelve más ancha y aplanada)

Ordena las siguientes funciones de la más estrecha a la más ancha justificando según $|a|$:
$f_1(x) = -5x^2, \quad f_2(x) = \frac{1}{4}x^2, \quad f_3(x) = 2x^2, \quad f_4(x) = -0,8x^2$.

Paso 1: Calcular el valor absoluto de cada coeficiente principal: - $|a_1| = |-5| = 5$. - $|a_2| = |1/4| = 0,25$. - $|a_3| = |2| = 2$. - $|a_4| = |-0,8| = 0,8$.
Paso 2: Ordenar los valores absolutos de mayor a menor: $$5 > 2 > 0,8 > 0,25 \implies |a_1| > |a_3| > |a_4| > |a_2|$$
Paso 3: Concluir el orden de estrechez: - Más estrecha: $f_1(x) = -5x^2$. - Segunda: $f_3(x) = 2x^2$. - Tercera: $f_4(x) = -0,8x^2$. - Más ancha: $f_2(x) = \frac{1}{4}x^2$.

Procedimiento

Paso 1: Extraer el coeficiente principal $a$ de cada función cuadrática.
Paso 2: Calcular su valor absoluto $|a|$.
Paso 3: Si $|a| > 1$, clasificar como dilatación vertical (parábola estrecha).
Paso 4: Si $0 < |a| < 1$, clasificar como contracción vertical (parábola ancha).
Paso 5: Jerarquizar las curvas: a mayor $|a|$, mayor estrechez.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Pensar que $y = -5x^2$ es más ancha que $y = x^2$ porque $-5 < 1$.
Cómo corregirlo: La apertura depende del VALOR ABSOLUTO $|a|$: $|-5| = 5 > 1$, por lo que es mucho más estrecha.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Afirmar que un número fraccionario siempre ensancha (ej: 5/2 > 1 estrecha la curva)."

"Comparar coeficientes con su signo en lugar de usar el valor absoluto."

"Dos parábolas con el mismo valor absoluto |a| tienen exactamente la misma apertura geométrica."

"El valor absoluto |a| determina unívocamente la apertura y estrechez de la parábola."

"Confundir dilatación vertical con traslación vertical."

Al terminar debes poder

Resumen El análisis de la dilatación o contracción vertical de la parábola según $|a|$ establece que si $|a| > 1$ la gráfica sufre una dilatación vertical (se vuelve más estrecha y alargada), mientras que si $0 < |a| < 1$ sufre una contracción vertical (se vuelve más ancha y aplanada)

Analizar y clasificar la dilatación y contracción vertical de una parábola.

Evaluando si |a| > 1 (dilatación vertical/estrecha) o 0 < |a| < 1 (contracción vertical/ancha).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Si $|a|>1$, la parábola comparada con $x^2$ se ve:
Un valor absoluto mayor a 1 produce contracción vertical.

Respuesta: A) Más angosta (contraída)
El valor absoluto de $a$ afecta la posición del vértice.
Si $0<|a|<1$, la parábola comparada con $x^2$ se ve:
Un valor absoluto entre 0 y 1 produce dilatación vertical.

Respuesta: A) Más ancha (dilatada)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$g(x)=5x^2$ es más angosta que $f(x)=x^2$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Compara la abertura de $g(x)=\dfrac{1}{4}x^2$ con $f(x)=x^2$.
|a|=1/4<1.

Respuesta: A) g es más ancha (dilatada)
Compara la abertura de $g(x)=0{,}8x^2$ con $f(x)=x^2$.
|a|=0,8<1.

Respuesta: A) g es más ancha (dilatada)
Invertir la relación, pensando que $|a|>1$ produce una parábola más ancha, es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

$g(x)=x^2$ (con $|a|=1$) tiene la misma abertura que $f(x)=x^2$.
Compara la abertura de $g(x)=-7x^2$ con $f(x)=x^2$.
|a|=7>1, independientemente del signo negativo.

Respuesta: A) g es más angosta (contraída)
¿Cuál es el error frecuente al analizar la escala vertical?
Son dos efectos distintos: abertura y concavidad.

Respuesta: A) Confundir el efecto del valor absoluto con el efecto del signo de $a$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación