Análisis de la dilatación o contracción vertical de la parábola según el valor absoluto de a
Analizar cómo el valor absoluto del coeficiente $a$ dilata o contrae verticalmente la parábola, afectando su abertura.
Introducción
Además de determinar hacia dónde abre la parábola, el coeficiente $a$ también controla qué tan "cerrada" o "abierta" se ve la curva, independientemente de su signo.
Explicación
Definición formal
Dada $f(x)=x^2$ y $g(x)=af(x)=ax^2$: si $|a|>1$, la gráfica de $g$ se contrae verticalmente respecto a la de $f$ (parece más angosta); si $0<|a|<1$, la gráfica se dilata (parece más ancha o abierta).
Desarrollo didáctico
Este efecto se aprecia comparando la altura de los puntos con igual coordenada $x$: para un mismo valor de $x$, mientras mayor sea $|a|$, más rápido crece (o decrece) el valor de $g(x)$ respecto a $f(x)$.
Comparando $f(x)=x^2$ con $g(x)=4x^2$: en $x=1$, $f(1)=1$ pero $g(1)=4$, mostrando que $g$ crece más rápido y se ve más "cerrada" o angosta.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el valor absoluto del coeficiente $|a|$ de la función.
- Paso 2: Si $|a|>1$, concluye que la parábola es más angosta (contraída) que $f(x)=x^2$.
- Paso 3: Si $0<|a|<1$, concluye que la parábola es más ancha (dilatada) que $f(x)=x^2$.
Ejemplos
1 Compara la abertura de $g(x)=5x^2$ con $f(x)=x^2$.
- $|a|=5>1$.
- La gráfica de $g$ es más angosta (contraída) que la de $f$.
2 Compara la abertura de $g(x)=\dfrac{1}{4}x^2$ con $f(x)=x^2$.
- $|a|=1/4$, con $0<1/4<1$.
- La gráfica de $g$ es más ancha (dilatada) que la de $f$.
3 ¿El valor absoluto de $a$ afecta la posición del vértice?
- El valor absoluto de $a$ solo afecta la abertura de la parábola, no la posición de su vértice.
4 ¿Una parábola con $|a|=1$ tiene la misma abertura que $f(x)=x^2$?
- Con $|a|=1$, no hay contracción ni dilatación respecto a la parábola base.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el efecto del valor absoluto de $a$ con el efecto de su signo (concavidad)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir la relación, pensando que $|a|>1$ produce una parábola más ancha en vez de más angosta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No distinguir entre el efecto de dilatación/contracción y el de traslación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Comparar incorrectamente dos funciones sin fijar la misma coordenada $x$ como referencia."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si $|a|>1$, la parábola se **contrae** (se ve más angosta y cerrada); si $0<|a|<1$, la parábola se **dilata** (se ve más abierta y ancha), comparada con $f(x)=x^2$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si $|a|>1$, la parábola comparada con $x^2$ se ve:
Un valor absoluto mayor a 1 produce contracción vertical.
Respuesta: A) Más angosta (contraída)
-
El valor absoluto de $a$ afecta la posición del vértice.
Solo afecta la abertura, no la posición del vértice.
Respuesta: Falso
-
Si $0<|a|<1$, la parábola comparada con $x^2$ se ve:
Un valor absoluto entre 0 y 1 produce dilatación vertical.
Respuesta: A) Más ancha (dilatada)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$g(x)=5x^2$ es más angosta que $f(x)=x^2$.
|a|=5>1.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Compara la abertura de $g(x)=\dfrac{1}{4}x^2$ con $f(x)=x^2$.
|a|=1/4<1.
Respuesta: A) g es más ancha (dilatada)
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Compara la abertura de $g(x)=0{,}8x^2$ con $f(x)=x^2$.
|a|=0,8<1.
Respuesta: A) g es más ancha (dilatada)
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Invertir la relación, pensando que $|a|>1$ produce una parábola más ancha, es un error frecuente.
En realidad |a|>1 produce una parábola más angosta.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
$g(x)=x^2$ (con $|a|=1$) tiene la misma abertura que $f(x)=x^2$.
Con |a|=1, no hay contracción ni dilatación.
Respuesta: Verdadero
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Compara la abertura de $g(x)=-7x^2$ con $f(x)=x^2$.
|a|=7>1, independientemente del signo negativo.
Respuesta: A) g es más angosta (contraída)
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¿Cuál es el error frecuente al analizar la escala vertical?
Son dos efectos distintos: abertura y concavidad.
Respuesta: A) Confundir el efecto del valor absoluto con el efecto del signo de $a$