Resolución de problemas de trayectoria de proyectiles usando funciones cuadráticas

Resumen inicial

La resolución de problemas de trayectoria de proyectiles modela el movimiento bajo aceleración gravitatoria constante mediante la función cuadrática $h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0$, calculando la altura máxima en el vértice y el tiempo de vuelo en las raíces.

Explicación en palabras simples

$La resolución de problemas de trayectoria de proyectiles modela el movimiento bajo aceleración gravitatoria constante mediante la función cuadrática $h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0$, calculando la altura máxima en el vértice y el tiempo de vuelo en las raíces$

Cuando lanzas un proyectil (una pelota, un cohete o una piedra) al aire, su altura sigue una parábola invertida perfecta:
$$h(t) = -5t^2 + v_0 t + h_0$$

¿Qué significa cada número?
El $-5t^2$ es la gravedad terrestre frenando y haciendo caer al proyectil.
El $v_0$ es la velocidad con la que salió disparado hacia arriba.
El $h_0$ es la altura inicial desde donde se lanzó (un acantilado, un edificio o el suelo).
Las 2 preguntas clásicas:
¿Altura máxima? Se calcula con el vértice: $t_v = -\frac{b}{2a}$ y luego evalúas $h(t_v)$.
¿Cuándo choca contra el suelo? Se resuelve igualando la función a cero: $h(t) = 0$.

Explicación formal

Por las ecuaciones diferenciales de Newton para un campo gravitacional uniforme unidimensional $\ddot{h}(t) = -g$, la altura balística instantánea $h: [0, t_{\text{impacto}}] \to \mathbb{R}^+$ es:
$$h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0, \quad (g > 0, \; a = -\frac{g}{2} < 0)$$

Resolución de parámetros críticos:
1. Tiempo a la cúspide (velocidad vertical nula):
$$\dot{h}(t_v) = -gt_v + v_0 = 0 \Longleftrightarrow t_v = \frac{v_0}{g} = -\frac{b}{2a}$$
2. Altura máxima absoluta:
$$h_{\text{máx}} = h(t_v) = h_0 + \frac{v_0^2}{2g}$$
3. Tiempo total de permanencia en el aire ($h(t) = 0$):
$$t_{\text{vuelo}} = \frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2gh_0}}{g}$$

Definiciones clave

Trayectoria parabólica temporal: Modelo $h(t)$ que asocia a cada instante de tiempo $t$ la elevación vertical del objeto.
Instante de culminación: Abscisa del vértice $t_v$ donde la velocidad instantánea se anula.

Propiedades y relaciones importantes

Simetría temporal: Si $h_0 = 0$, el tiempo de subida es idéntico al tiempo de bajada: $t_{\text{impacto}} = 2 t_v$.
Aceleración constante negativa: El término cuadrático siempre es negativo ($a = -\frac{1}{2}g < 0$).

Ejemplo guiado

$Ejemplo La resolución de problemas de trayectoria de proyectiles modela el movimiento bajo aceleración gravitatoria constante mediante la función cuadrática $h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0$, calculando la altura máxima en el vértice y el tiempo de vuelo en las raíces$

Un proyectil es lanzado verticalmente desde un edificio de 20 metros con una velocidad inicial de 30 m/s. Su altura en metros tras $t$ segundos es $h(t) = -5t^2 + 30t + 20$.
1) ¿En qué segundo alcanza su altura máxima y cuánto mide?
2) ¿A los cuántos segundos impacta contra el suelo?

Paso 1: Identificar coeficientes: $a = -5, b = 30, c = 20$.
Paso 2: Calcular el tiempo a la altura máxima ($t_v$): $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2(-5)} = \frac{30}{10} = 3\text{ segundos}$.
Paso 3: Calcular la altura máxima evaluando $h(3)$: $h_{\text{máx}} = -5(3)^2 + 30(3) + 20 = -45 + 90 + 20 = 65\text{ metros}$.
Paso 4: Calcular el impacto en el suelo ($h(t) = 0$): $-5t^2 + 30t + 20 = 0 \implies t^2 - 6t - 4 = 0$. Aplicar fórmula general: $t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2} = 3 \pm \sqrt{13}$. - Como el tiempo debe ser positivo ($t > 0$): $t = 3 + \sqrt{13} \approx 3 + 3{,}61 = 6{,}61\text{ segundos}$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar la función de altura $h(t) = at^2 + bt + c$.
Paso 2: Para la altura máxima, calcular $t_v = -\frac{b}{2a}$ y evaluar $h(t_v)$.
Paso 3: Para el impacto en el suelo, resolver la ecuación cuadrática $h(t) = 0$.
Paso 4: Descartar soluciones de tiempo negativas y enunciar la respuesta contextual con unidades.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Dar la respuesta en segundos cuando la pregunta pide "la altura máxima" en metros.
Cómo corregirlo: El tiempo son los segundos ($t_v$); la altura máxima es la evaluación en metros ($h(t_v)$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La altura máxima de un proyectil corresponde a la ordenada del vértice de h(t)."

"Confundir la velocidad inicial con el tiempo de vuelo."

"Olvidar sumar la altura inicial h₀ al evaluar el vértice."

"Aceptar raíces negativas de tiempo en problemas balísticos."

"El tiempo en que el proyectil toca el suelo es la raíz positiva de la ecuación h(t) = 0."

Al terminar debes poder

$Resumen La resolución de problemas de trayectoria de proyectiles modela el movimiento bajo aceleración gravitatoria constante mediante la función cuadrática $h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0$, calculando la altura máxima en el vértice y el tiempo de vuelo en las raíces$

Resolver problemas de balística y cinemática de proyectiles mediante funciones cuadráticas.

Calculando el vértice para la altura máxima h(t_v) y resolviendo h(t) = 0 para el tiempo total de vuelo.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

La altura de un proyectil se modela con:
Es la función cuadrática que modela la altura bajo gravedad constante.

Respuesta: A) $h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+h_0$
El coeficiente cuadrático en un modelo de trayectoria de proyectil es siempre negativo.
La velocidad inicial $v_0$ puede ser negativa cuando:
Un lanzamiento hacia abajo se representa con velocidad inicial negativa.

Respuesta: A) El objeto se lanza hacia abajo

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Con $h(t)=-4{,}9t^2+15t+1$, la altura inicial es $1$ m.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Confundir la altura inicial con la altura máxima es un error frecuente en problemas de trayectoria.
Con $h(t)=-5t^2+20t$, ¿en qué instante el proyectil toca el suelo?
-5t(t-4)=0; descartando t=0, toca el suelo a los 4 segundos.

Respuesta: A) $t=4$ s
Con $h(t)=-5t^2+10t+3$, ¿cuál es la altura inicial?
h(0)=3.

Respuesta: A) $3$ m

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Un problema puede pedir el instante en que se alcanza una altura intermedia, con dos soluciones posibles.
Con $h(t)=-5t^2+15t+2$, ¿en qué instante toca el suelo (redondeando)?
Resolviendo -5t^2+15t+2=0 se obtiene t≈3,13 (descartando la solución negativa).

Respuesta: A) $t\approx3{,}13$ s
¿Cuál es el error frecuente al resolver problemas de trayectoria de proyectiles?
El tiempo no puede ser negativo en este tipo de problemas.

Respuesta: A) Aceptar como válida una solución de tiempo negativo

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación