Resolución de problemas de trayectoria de proyectiles usando funciones cuadráticas
Resolver problemas de altura de un proyectil en función del tiempo, usando la función cuadrática correspondiente.
Introducción
El movimiento vertical de cualquier objeto lanzado (una pelota, un cohete de juguete, una piedra) sigue una trayectoria parabólica descrita por una función cuadrática del tiempo.
Explicación
Definición formal
La función $h(t)=-\dfrac{1}{2}gt^2+v_0t+h_0$ modela la altura de un proyectil en el instante $t$, donde $g$ es la aceleración de gravedad, $v_0$ la velocidad inicial (positiva si es hacia arriba) y $h_0$ la altura desde la que se lanza. Es una función cuadrática en $t$, con coeficiente principal negativo.
Desarrollo didáctico
A partir de la función de altura, se pueden responder distintas preguntas: la altura máxima (vértice), cuándo toca el suelo (cero positivo), o en qué instante alcanza una altura específica (igualando $h(t)$ a ese valor).
Con $h(t)=-5t^2+20t+2$ (en metros), la altura inicial es $h(0)=2$ m, y se puede calcular en qué instante alcanza, por ejemplo, $17$ m resolviendo $-5t^2+20t+2=17$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la función de altura $h(t)$ dada o planteada en el problema.
- Paso 2: Determina qué se pregunta (altura máxima, tiempo en el suelo, instante con altura específica).
- Paso 3: Aplica la herramienta correspondiente (vértice, ceros, o resolución de ecuación) según la pregunta.
Ejemplos
1 Con $h(t)=-4{,}9t^2+15t+1$, ¿cuál es la altura desde la que se lanza el proyectil?
- La altura inicial corresponde a $h(0)$.
- $h(0)=1$ m.
2 Con $h(t)=-5t^2+20t$, ¿en qué instante el proyectil toca el suelo?
- Se resuelve $-5t^2+20t=0$, factorizando: $-5t(t-4)=0$.
- Descartando $t=0$, el proyectil toca el suelo a los $4$ segundos.
3 ¿El coeficiente cuadrático en un modelo de trayectoria de proyectil es siempre negativo?
- Representa el efecto de la gravedad frenando el ascenso, por lo que el término $-\frac{1}{2}g$ siempre es negativo.
4 ¿La velocidad inicial $v_0$ puede ser negativa en este modelo?
- Si el objeto se lanza hacia abajo en vez de hacia arriba, la velocidad inicial se representa con un valor negativo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la altura inicial $h_0$ con la altura máxima alcanzada por el proyectil."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aceptar como válida una solución de tiempo negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar si la pregunta pide el instante en que toca el suelo o cuándo alcanza una altura intermedia (que puede tener dos soluciones)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al identificar el coeficiente cuadrático negativo del modelo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La altura de un proyectil se modela con $h(t)=-\dfrac{1}{2}gt^2+v_0t+h_0$, donde $t$ es el tiempo, $v_0$ la velocidad inicial y $h_0$ la altura inicial; a partir de esta función se responden preguntas sobre su trayectoria.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La altura de un proyectil se modela con:
Es la función cuadrática que modela la altura bajo gravedad constante.
Respuesta: A) $h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+h_0$
-
El coeficiente cuadrático en un modelo de trayectoria de proyectil es siempre negativo.
Representa el efecto de la gravedad frenando el ascenso.
Respuesta: Verdadero
-
La velocidad inicial $v_0$ puede ser negativa cuando:
Un lanzamiento hacia abajo se representa con velocidad inicial negativa.
Respuesta: A) El objeto se lanza hacia abajo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Con $h(t)=-4{,}9t^2+15t+1$, la altura inicial es $1$ m.
h(0)=1.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Confundir la altura inicial con la altura máxima es un error frecuente en problemas de trayectoria.
Son conceptos distintos: h0 es en t=0, la máxima está en el vértice.
Respuesta: Verdadero
-
Con $h(t)=-5t^2+20t$, ¿en qué instante el proyectil toca el suelo?
-5t(t-4)=0; descartando t=0, toca el suelo a los 4 segundos.
Respuesta: A) $t=4$ s
-
Con $h(t)=-5t^2+10t+3$, ¿cuál es la altura inicial?
h(0)=3.
Respuesta: A) $3$ m
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un problema puede pedir el instante en que se alcanza una altura intermedia, con dos soluciones posibles.
El objeto pasa por la misma altura al subir y al bajar.
Respuesta: Verdadero
-
Con $h(t)=-5t^2+15t+2$, ¿en qué instante toca el suelo (redondeando)?
Resolviendo -5t^2+15t+2=0 se obtiene t≈3,13 (descartando la solución negativa).
Respuesta: A) $t\approx3{,}13$ s
-
¿Cuál es el error frecuente al resolver problemas de trayectoria de proyectiles?
El tiempo no puede ser negativo en este tipo de problemas.
Respuesta: A) Aceptar como válida una solución de tiempo negativo