Planteamiento de una función cuadrática a partir de un problema contextualizado

M1 — PAES obligatoria Avanzada
Objetivo

Plantear la regla de una función cuadrática que represente correctamente un problema dado en lenguaje natural.

Introducción

Una vez identificado que un problema se modela con una función cuadrática, el siguiente paso es traducir el enunciado completo en una regla algebraica precisa.

Explicación

Definición formal

Plantear una función cuadrática a partir de un problema consiste en asignar una variable $x$ a la cantidad desconocida, expresar las demás cantidades relevantes del problema en términos de $x$, y combinar esas expresiones (generalmente mediante un producto) en una única regla $f(x)=ax^2+bx+c$.

Desarrollo didáctico

Conviene identificar primero qué cantidad conviene llamar $x$ (usualmente la que tiene menos restricciones), y luego expresar el resto en función de ella antes de combinar todo en la regla final.

"El ancho de un terreno rectangular es $x$ metros y el largo es $6$ metros más que el ancho. Plantea el área en función de $x$": el largo es $x+6$, por lo que $A(x)=x(x+6)=x^2+6x$.

Cómo hacerlo paso a paso

  • Paso 1: Define una variable $x$ para la cantidad que varía en el problema.
  • Paso 2: Expresa las demás cantidades relevantes del problema en función de $x$.
  • Paso 3: Combina las expresiones (generalmente mediante un producto) para obtener la regla completa $f(x)$.

Ejemplos

1 El largo de un rectángulo es el triple de su ancho $x$. Plantea el área en función de $x$.
2 Un producto se vende a $p(x)=20-x$ pesos, donde $x$ es la cantidad de descuentos aplicados. Plantea el ingreso si se venden $x+10$ unidades.
3 ¿Es necesario definir primero una variable antes de plantear la función?
4 ¿La función planteada debe simplificarse a su forma general?

Ejemplos Verdadero/Falso

"Definir la variable de forma ambigua, sin precisar exactamente qué representa."

¿Es correcta esta afirmación?

"Expresar incorrectamente una de las cantidades en función de la variable elegida."

¿Es correcta esta afirmación?

"Olvidar desarrollar y simplificar el producto planteado hasta la forma general."

¿Es correcta esta afirmación?

"Confundir el planteamiento del área con el del perímetro u otra cantidad distinta."

¿Es correcta esta afirmación?

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.
Resumen

Plantear una función cuadrática implica definir una variable para la cantidad que varía, expresar las demás cantidades en función de ella, y combinar todo en una única regla $f(x)$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. El primer paso para plantear una función cuadrática de un problema es:

  2. La función planteada debe simplificarse a su forma general.

  3. Después de definir la variable, se debe:

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Si el largo de un rectángulo es el triple del ancho $x$, el área es $A(x)=3x^2$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. El ancho de un terreno es $x$ y el largo es $6$ metros más. Plantea el área en función de $x$.

  2. Un producto se vende a $p(x)=20-x$ pesos, con $x+10$ unidades vendidas. Plantea el ingreso.

  3. Definir la variable de forma ambigua es un error frecuente al plantear una función.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Si el ancho es $x$ y el largo es $2x-1$, el área es $A(x)=2x^2-x$.

  2. ¿Cuál es el error frecuente al plantear una función a partir de un problema?

  3. Un rectángulo tiene perímetro fijo de $60$ m. Si $x$ es un lado, plantea el área.

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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