Optimización de una función cuadrática para hallar valores máximos o mínimos
Aplicar el concepto de vértice para optimizar una función cuadrática, hallando el valor máximo o mínimo que puede alcanzar.
Introducción
Cuando un problema pregunta por el "mejor" resultado posible (el área máxima, el costo mínimo, la ganancia máxima), la respuesta siempre está en el vértice de la función cuadrática que modela la situación.
Explicación
Definición formal
Dada $f(x)=ax^2+bx+c$, el valor óptimo (máximo o mínimo) de la función es su valor en el vértice, $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$. Si $a>0$, ese valor es el mínimo global; si $a<0$, es el máximo global de la función.
Desarrollo didáctico
El procedimiento de optimización consiste en plantear la función, identificar el signo de $a$ para saber si se busca máximo o mínimo, calcular la coordenada $x$ del vértice, y evaluar la función en ese punto.
Para $A(x)=-x^2+20x$ (área de un corral con perímetro fijo), el vértice está en $x=-\dfrac{20}{-2}=10$, y $A(10)=-100+200=100$; el área máxima posible es $100 \text{ m}^2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Plantea la función que modela la cantidad a optimizar.
- Paso 2: Identifica si se busca un máximo ($a<0$) o un mínimo ($a>0$).
- Paso 3: Calcula la coordenada $x$ del vértice mediante $x=-b/(2a)$.
- Paso 4: Evalúa la función en ese valor para obtener el valor óptimo.
Ejemplos
1 Con $A(x)=-2x^2+40x$, determina el área máxima posible.
- $x=-\dfrac{40}{2(-2)}=10$.
- $A(10)=-200+400=200$.
- El área máxima es $200$ unidades cuadradas.
2 Con $C(x)=3x^2-24x+100$, determina el costo mínimo posible.
- $x=-\dfrac{-24}{2(3)}=4$.
- $C(4)=48-96+100=52$.
- El costo mínimo es $52$.
3 ¿Se necesita calcular el vértice completo (ambas coordenadas) para hallar el valor óptimo?
- Se necesita la coordenada $x$ para saber dónde ocurre, y la coordenada $y$ (el valor de la función) para saber cuánto vale ese óptimo.
4 ¿El signo de $a$ determina si se busca un máximo o un mínimo?
- Si $a<0$ el vértice es un máximo; si $a>0$, es un mínimo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Reportar solo la coordenada $x$ del vértice como respuesta, sin calcular el valor óptimo de la función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir si se busca un máximo o un mínimo según el signo de $a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores algebraicos al calcular $-b/(2a)$, especialmente con signos negativos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar que el valor de $x$ obtenido esté dentro del dominio válido según el contexto del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
**Optimizar** una función cuadrática consiste en calcular su vértice: si $a>0$, el vértice da el valor mínimo; si $a<0$, da el valor máximo que la función puede alcanzar.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El valor óptimo de una función cuadrática se obtiene en:
El vértice es el punto extremo de la parábola.
Respuesta: A) Su vértice
-
El signo de $a$ determina si se busca un máximo o un mínimo.
Si a<0 es máximo; si a>0 es mínimo.
Respuesta: Verdadero
-
Para hallar el valor óptimo de una función, se necesita:
Se necesita x para saber dónde ocurre, y para saber cuánto vale.
Respuesta: A) Calcular ambas coordenadas del vértice
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Con $A(x)=-2x^2+40x$, el vértice está en $x=10$.
x=-40/(2·(-2))=10.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Con $A(x)=-2x^2+40x$, determina el área máxima posible.
x=10; A(10)=-200+400=200.
Respuesta: A) $200$ unidades cuadradas
-
Con $C(x)=3x^2-24x+100$, determina el costo mínimo posible.
x=4; C(4)=48-96+100=52.
Respuesta: A) $52$
-
Reportar solo la coordenada $x$ del vértice sin calcular el valor óptimo es un error frecuente.
Se debe reportar también el valor de la función en ese punto.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al optimizar una función cuadrática?
Es fácil invertir la interpretación del signo de a.
Respuesta: A) Confundir si se busca un máximo o un mínimo según el signo de $a$
-
Con $B(x)=-x^2+8x-7$, la ganancia máxima es $9$.
x=4; B(4)=-16+32-7=9.
Respuesta: Verdadero
-
Con $I(x)=-x^2+10x+200$, determina el ingreso máximo posible.
x=5; I(5)=-25+50+200=225.
Respuesta: A) $225$