Reconocimiento de la forma canónica f(x) = a(x - h)² + k

Resumen inicial

La forma canónica o de vértice $f(x) = a(x - h)^2 + k$ es la representación de la función cuadrática que explicita directamente las coordenadas del vértice $V(h, k)$ y el factor de dilatación/concavidad $a$ ($a \neq 0$).

Explicación en palabras simples

$La forma canónica o de vértice $f(x) = a(x - h)^2 + k$ es la representación de la función cuadrática que explicita directamente las coordenadas del vértice $V(h, k)$ y el factor de dilatación/concavidad $a$ ($a \neq 0$)$

La forma canónica (o forma de vértice) es la manera más cómoda de escribir una parábola si quieres saber dónde está su vértice de inmediato:
$$f(x) = a(x - h)^2 + k$$

El vértice se lee a simple vista: Es el punto $(h, k)$.
¡Cuidado con la trampa del signo!
El número dentro del paréntesis tiene un signo menos por defecto $(x - h)$.
Si ves $f(x) = 2(x - 3)^2 + 5 \implies$ el vértice es $(3, 5)$.
Si ves $f(x) = 2(x + 4)^2 - 7 \implies$ el vértice es $(-4, -7)$ (porque $+4 = -(-4)$).

Explicación formal

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función cuadrática. Su forma canónica traslacional es:
$$f(x) = a(x - h)^2 + k, \quad a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \; h, k \in \mathbb{R}$$

Propiedades algebraicas y geométricas:
1. Invarianza de vértice: La función alcanza su único extremo en $x = h$ con valor $f(h) = a(0)^2 + k = k$, fijando $V(h, k)$.
2. Eje de simetría inmediato: La recta vertical es $\mathcal{L}: x = h$.
3. Generación por transformaciones rígidas: $f(x)$ resulta de trasladar la parábola base $y = ax^2$ en $h$ unidades horizontalmente y $k$ unidades verticalmente.

Definiciones clave

Forma canónica de vértice: Expresión $a(x - h)^2 + k$ que parametriza la parábola por su punto extremo $(h, k)$.
Vector de traslación: Vector $\vec{v} = (h, k)$ que desplaza el vértice desde el origen $(0, 0)$.

Propiedades y relaciones importantes

Equivalencia canónica: $ax^2 + bx + c \equiv a(x - h)^2 + k$ con $h = -\frac{b}{2a}$ y $k = c - \frac{b^2}{4a}$.
Recorrido inmediato: Si $a > 0 \implies \text{Rec}(f) = [k, +\infty[$; si $a < 0 \implies \text{Rec}(f) = ]-\infty, k]$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La forma canónica o de vértice $f(x) = a(x - h)^2 + k$ es la representación de la función cuadrática que explicita directamente las coordenadas del vértice $V(h, k)$ y el factor de dilatación/concavidad $a$ ($a \neq 0$)$

Reconoce la forma canónica, identifica los parámetros $(a, h, k)$ y enuncia el vértice de la función $f(x) = -3(x - 4)^2 + 10$.

Paso 1: Comparar con el modelo general $a(x - h)^2 + k$: - Coeficiente principal fuera del binomio: $a = -3$. - Término dentro del binomio $(x - 4) \implies h = 4$. - Constante exterior sumada: $k = 10$.
Paso 2: Formular el vértice: $V(h, k) = V(4, 10)$.
Paso 3: Analizar la concavidad: Como $a = -3 < 0$, la parábola abre hacia abajo y $V(4, 10)$ es un **máximo absoluto**.

Procedimiento

Paso 1: Verificar que la función esté estructurada en la forma $f(x) = a(x - h)^2 + k$.
Paso 2: Extraer el coeficiente exterior $a$.
Paso 3: Extraer la abscisa $h$ cambiando el signo del término dentro del paréntesis.
Paso 4: Extraer la ordenada $k$ conservando su signo exacto.
Paso 5: Escribir el vértice $V(h, k)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir $h = 3$ para la función $(x + 3)^2$.
Cómo corregirlo: La fórmula es $(x - h)$, por lo que $(x + 3)$ corresponde a $h = -3$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La forma canónica f(x) = a(x - h)² + k revela directamente el vértice V(h, k)."

"Confundir la forma canónica con la factorizada."

"El eje de simetría de la función en forma canónica es la recta vertical x = h."

"No invertir el signo de h al extraer la abscisa."

"Invertir innecesariamente el signo de k."

Al terminar debes poder

$Resumen La forma canónica o de vértice $f(x) = a(x - h)^2 + k$ es la representación de la función cuadrática que explicita directamente las coordenadas del vértice $V(h, k)$ y el factor de dilatación/concavidad $a$ ($a \neq 0$)$

Reconocer e interpretar la forma canónica de vértice f(x) = a(x - h)² + k.

Identificando los parámetros a, h y k para deducir el vértice V(h, k) y el eje de simetría x = h.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

La forma canónica de una función cuadrática es:
Es la forma que expone directamente el vértice de la parábola.

Respuesta: A) $f(x)=a(x-h)^2+k$
La forma canónica y la forma general representan siempre la misma función.
En $f(x)=a(x-h)^2+k$, el vértice de la parábola es:
El par (h,k) corresponde directamente al vértice.

Respuesta: A) $(h,k)$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=-3(x+2)^2-1$ está en forma canónica.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

¿Está $f(x)=x^2+4x+3$ en forma canónica?
No tiene la estructura de un binomio al cuadrado más una constante.

Respuesta: A) No, está en forma general
En $f(x)=5(x-1)^2+4$, ¿cuál es el valor de $h$?
El binomio ya está en la forma x-h, con h=1.

Respuesta: A) $1$
El valor de $h$ en la forma canónica aparece con el mismo signo dentro del paréntesis.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al leer $h$ en la forma canónica?
Se debe reescribir el binomio para leer h con el signo correcto.

Respuesta: A) Confundir el signo al leerlo directamente de $(x+2)^2$
$f(x)=4(x-0)^2+9$ es equivalente a $f(x)=4x^2+9$.
En $f(x)=-6(x+7)^2+2$, ¿cuál es el valor correcto de $h$?
Reescribiendo (x+7) como (x-(-7)), h=-7.

Respuesta: A) $-7$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación