Obtención de la forma canónica completando el cuadrado
Transformar una función cuadrática de la forma general a la forma canónica completando el cuadrado.
Introducción
Para aprovechar las ventajas de la forma canónica cuando la función viene dada en forma general, es necesario transformarla mediante el mismo método usado para ecuaciones cuadráticas.
Explicación
Definición formal
Dada $f(x)=ax^2+bx+c$, se factoriza $a$ de los primeros dos términos: $f(x)=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c$. Sumando y restando $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ dentro del paréntesis y reorganizando, se obtiene la forma canónica $f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\dfrac{b^2}{4a}\right)$.
Desarrollo didáctico
El procedimiento es análogo a completar el cuadrado en una ecuación, con la diferencia de que aquí se trabaja con una función y el resultado final conserva la constante $k$ en vez de igualarse a cero.
Para $f(x)=x^2-6x+11$: factorizando (con $a=1$), se completa el cuadrado sumando y restando $9$: $f(x)=(x^2-6x+9)-9+11=(x-3)^2+2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Si $a\neq1$, factoriza $a$ de los términos con $x^2$ y $x$.
- Paso 2: Dentro del paréntesis, suma y resta el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$.
- Paso 3: Reescribe el trinomio cuadrado perfecto como un binomio al cuadrado.
- Paso 4: Simplifica los términos constantes fuera del paréntesis para obtener $k$.
Ejemplos
1 Escribe en forma canónica $f(x)=x^2+8x+10$.
- Completando el cuadrado: $f(x)=(x^2+8x+16)-16+10$.
- $f(x)=(x+4)^2-6$.
2 Escribe en forma canónica $f(x)=2x^2-8x+5$.
- Factorizando $2$: $f(x)=2(x^2-4x)+5$.
- Completando el cuadrado dentro del paréntesis: $f(x)=2(x^2-4x+4)-8+5$.
- $f(x)=2(x-2)^2-3$.
3 ¿Completar el cuadrado en una función cambia su gráfica?
- Las operaciones usadas son equivalencias algebraicas que preservan exactamente la misma función y su gráfica.
4 ¿Es necesario factorizar $a$ antes de completar el cuadrado cuando $a\neq1$?
- Sin factorizar $a$ primero, el término que completa el cuadrado no se calcula correctamente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar multiplicar por $a$ el término que se resta al completar el cuadrado, cuando $a\neq1$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar el término que completa el cuadrado sin restarlo, rompiendo la equivalencia con la función original."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores al calcular el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No simplificar completamente los términos constantes fuera del paréntesis."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para obtener la forma canónica desde $f(x)=ax^2+bx+c$, se factoriza $a$ de los términos con $x$ y se completa el cuadrado dentro del paréntesis, reordenando hasta llegar a $a(x-h)^2+k$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para obtener la forma canónica desde la forma general, se debe:
Es el método algebraico usado para esta conversión.
Respuesta: A) Completar el cuadrado
-
Completar el cuadrado en una función cambia su gráfica.
Las operaciones usadas preservan la misma función y gráfica.
Respuesta: Falso
-
Si $a\neq1$, antes de completar el cuadrado se debe:
Sin factorizar a, el término que completa el cuadrado no se calcula bien.
Respuesta: A) Factorizar $a$ de los términos con $x^2$ y $x$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=x^2-6x+11$ en forma canónica es $f(x)=(x-3)^2+2$.
Completando el cuadrado: (x^2-6x+9)-9+11=(x-3)^2+2.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Escribe en forma canónica $f(x)=x^2+8x+10$.
(x^2+8x+16)-16+10=(x+4)^2-6.
Respuesta: A) $f(x)=(x+4)^2-6$
-
Escribe en forma canónica $f(x)=2x^2-8x+5$.
2(x^2-4x)+5=2(x^2-4x+4)-8+5=2(x-2)^2-3.
Respuesta: A) $f(x)=2(x-2)^2-3$
-
Olvidar multiplicar por $a$ el término que se resta al completar el cuadrado es un error frecuente.
Cuando a≠1, ese término debe multiplicarse por a.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al completar el cuadrado en una función?
Se debe sumar y restar el mismo término para no alterar la función.
Respuesta: A) Sumar el término sin restarlo, rompiendo la equivalencia
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$f(x)=x^2-10x+30$ en forma canónica es $f(x)=(x-5)^2+5$.
(x^2-10x+25)-25+30=(x-5)^2+5.
Respuesta: Verdadero
-
Escribe en forma canónica $f(x)=3x^2+12x+7$.
3(x^2+4x)+7=3(x^2+4x+4)-12+7=3(x+2)^2-5.
Respuesta: A) $f(x)=3(x+2)^2-5$