Obtención de la forma canónica completando el cuadrado

Resumen inicial

La obtención de la forma canónica completando el cuadrado transforma la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$ en la forma canónica $f(x) = a(x - h)^2 + k$ mediante la construcción de un trinomio cuadrado perfecto.

Explicación en palabras simples

La obtención de la forma canónica completando el cuadrado transforma la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$ en la forma canónica $f(x) = a(x - h)^2 + k$ mediante la construcción de un trinomio cuadrado perfecto

Completar el cuadrado es una técnica para transformar una ecuación desordenada en una forma donde el vértice queda a la vista:

Pasos para completar el cuadrado:
1. Si $a = 1$ en $f(x) = x^2 + 6x + 5$:
- Toma el número del medio ($+6$), divídelo por 2 ($+3$) y elévate al cuadrado ($9$).
- Suma y resta ese 9:
$$f(x) = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5$$
- El paréntesis se convierte en un binomio al cuadrado: $(x + 3)^2$.
- Junta los números de afuera: $-9 + 5 = -4$.
- ¡Listo! $f(x) = (x + 3)^2 - 4$, con vértice en $(-3, -4)$.
2. Si $a \neq 1$, primero sacas factor común $a$ de los términos con $x$.

Explicación formal

Sea $f(x) = ax^2 + bx + c$ con $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. El algoritmo algebraico de completación de cuadrados opera formalmente como sigue:

Factorización del coeficiente principal:
$$f(x) = a\left[ x^2 + \frac{b}{a}x \right] + c$$
Construcción del trinomio cuadrado perfecto (sumando y restando $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$):
$$f(x) = a\left[ x^2 + 2\left(\frac{b}{2a}\right)x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right] + c$$
Agrupación y compensación escalar:
$$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a\left(\frac{b^2}{4a^2}\right) + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)$$
Identificación canónica:
$$f(x) = a(x - h)^2 + k, \quad h = -\frac{b}{2a}, \; k = c - \frac{b^2}{4a}$$

Definiciones clave

Completación de cuadrado: Transformación algebraica que reescribe un polinomio cuadrático como un múltiplo de un binomio al cuadrado más una constante.
Trinomio cuadrado perfecto (TCP): Expresión $x^2 + 2mx + m^2 = (x + m)^2$.

Propiedades y relaciones importantes

Identidad algebraica universal: Ambas formas definen exactamente la misma función y la misma curva gráfica.
Derivación de la fórmula cuadrática: El método de completación de cuadrados es la base teórica que demuestra la fórmula general de segundo grado.

Ejemplo guiado

Ejemplo La obtención de la forma canónica completando el cuadrado transforma la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$ en la forma canónica $f(x) = a(x - h)^2 + k$ mediante la construcción de un trinomio cuadrado perfecto

Transforma la función $f(x) = 2x^2 - 12x + 11$ a su forma canónica completando el cuadrado y enuncia las coordenadas del vértice.

Paso 1: Factorizar el coeficiente $a = 2$ de los términos con $x$: $f(x) = 2(x^2 - 6x) + 11$.
Paso 2: Calcular el término cuadrático complementario: La mitad de $-6$ es $-3$; al cuadrado es $(-3)^2 = 9$.
Paso 3: Sumar y restar 9 dentro del paréntesis: $f(x) = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 11$.
Paso 4: Extraer el $-9$ multiplicándolo por el factor 2 exterior: $f(x) = 2(x^2 - 6x + 9) - 2(9) + 11 = 2(x - 3)^2 - 18 + 11$.
Paso 5: Simplificar la constante exterior: $f(x) = 2(x - 3)^2 - 7$.
Paso 6: Conclusión: La forma canónica es $f(x) = 2(x - 3)^2 - 7$, con vértice en $V(3, -7)$.

Procedimiento

Paso 1: Agrupar los términos cuadrático y lineal, factorizando $a$ si $a \neq 1$.
Paso 2: Tomar el coeficiente lineal interno, dividirlo por 2 y elevarlo al cuadrado.
Paso 3: Sumar dicho valor dentro del paréntesis y compensar restando $a \cdot (\text{valor})$ fuera.
Paso 4: Factorizar el trinomio cuadrado perfecto como $(x - h)^2$.
Paso 5: Reducir los términos independientes exteriores para obtener $k$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Olvidar multiplicar por $a$ al restar el término compensatorio afuera en $a(x^2 + bx + m) - m$.
Cómo corregirlo: Lo que agregaste adentro está multiplicado por $a$, por lo que afuera debes restar $a \cdot m$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El término agregado para formar el trinomio cuadrado perfecto es siempre (b/(2a))²."

"La completación de cuadrados permite reescribir cualquier trinomio cuadrático en su forma canónica equivalente."

"Olvidar distribuir el signo negativo cuando a < 0."

"Dividir por 4 en vez de dividir por 2 al calcular el término del binomio."

"No compensar la constante agregada fuera del paréntesis."

Al terminar debes poder

Resumen La obtención de la forma canónica completando el cuadrado transforma la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$ en la forma canónica $f(x) = a(x - h)^2 + k$ mediante la construcción de un trinomio cuadrado perfecto

Obtener la forma canónica de una función cuadrática completando el cuadrado.

Factorizando el coeficiente principal a, construyendo el trinomio cuadrado perfecto y compensando las constantes.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Para obtener la forma canónica desde la forma general, se debe:
Es el método algebraico usado para esta conversión.

Respuesta: A) Completar el cuadrado
Completar el cuadrado en una función cambia su gráfica.
Si $a\neq1$, antes de completar el cuadrado se debe:
Sin factorizar a, el término que completa el cuadrado no se calcula bien.

Respuesta: A) Factorizar $a$ de los términos con $x^2$ y $x$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=x^2-6x+11$ en forma canónica es $f(x)=(x-3)^2+2$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Escribe en forma canónica $f(x)=x^2+8x+10$.
(x^2+8x+16)-16+10=(x+4)^2-6.

Respuesta: A) $f(x)=(x+4)^2-6$
Escribe en forma canónica $f(x)=2x^2-8x+5$.
2(x^2-4x)+5=2(x^2-4x+4)-8+5=2(x-2)^2-3.

Respuesta: A) $f(x)=2(x-2)^2-3$
Olvidar multiplicar por $a$ el término que se resta al completar el cuadrado es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al completar el cuadrado en una función?
Se debe sumar y restar el mismo término para no alterar la función.

Respuesta: A) Sumar el término sin restarlo, rompiendo la equivalencia
$f(x)=x^2-10x+30$ en forma canónica es $f(x)=(x-5)^2+5$.
Escribe en forma canónica $f(x)=3x^2+12x+7$.
3(x^2+4x)+7=3(x^2+4x+4)-12+7=3(x+2)^2-5.

Respuesta: A) $f(x)=3(x+2)^2-5$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación