Conversión de la forma factorizada a la forma general
Convertir una función cuadrática desde su forma factorizada a la forma general, desarrollando el producto de binomios.
Introducción
Al igual que con la forma canónica, a veces es necesario volver a la forma general desde la forma factorizada, por ejemplo para comparar dos funciones o identificar sus coeficientes.
Explicación
Definición formal
Dada $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$, desarrollando el producto: $(x-r_1)(x-r_2)=x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2$. Multiplicando por $a$: $f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+a(r_1r_2)$, que es la forma general.
Desarrollo didáctico
El procedimiento consiste en multiplicar los dos binomios término a término (usando distribución), y luego multiplicar todo el resultado por el coeficiente $a$.
Para $f(x)=3(x-2)(x+4)$: desarrollando, $(x-2)(x+4)=x^2+2x-8$; multiplicando por $3$: $f(x)=3x^2+6x-24$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Desarrolla el producto de los dos binomios $(x-r_1)(x-r_2)$ mediante distribución.
- Paso 2: Reduce los términos semejantes del desarrollo.
- Paso 3: Distribuye el coeficiente $a$ en cada término.
Ejemplos
1 Convierte a forma general $f(x)=(x-3)(x-7)$.
- Desarrollando: $x^2-7x-3x+21=x^2-10x+21$.
- $f(x)=x^2-10x+21$.
2 Convierte a forma general $f(x)=2(x+1)(x-5)$.
- Desarrollando: $(x+1)(x-5)=x^2-5x+x-5=x^2-4x-5$.
- Multiplicando por $2$: $f(x)=2x^2-8x-10$.
3 ¿Convertir de forma factorizada a forma general cambia los ceros de la función?
- Son la misma función expresada de dos maneras equivalentes; los ceros siguen siendo exactamente los mismos.
4 ¿El término independiente $c$ de la forma general es igual al producto $a \cdot r_1 \cdot r_2$?
- Al desarrollar $a(x-r_1)(x-r_2)$, el término constante resultante es exactamente $a \cdot r_1 \cdot r_2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Cometer errores de signo al desarrollar el producto de binomios con raíces negativas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar distribuir el coeficiente $a$ en todos los términos del desarrollo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No reducir correctamente los términos semejantes al multiplicar los binomios."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el desarrollo del producto de binomios con el cuadrado de un binomio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para convertir $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$ a la forma general, se desarrolla el producto de los dos binomios, se distribuye $a$, y se reducen los términos semejantes hasta llegar a $ax^2+bx+c$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para convertir de forma factorizada a general, se debe:
Es el procedimiento algebraico para esta conversión.
Respuesta: A) Desarrollar el producto de binomios y distribuir $a$
-
Convertir de forma factorizada a general cambia los ceros de la función.
Son la misma función; los ceros siguen siendo los mismos.
Respuesta: Falso
-
El término independiente $c$ de la forma general es igual a:
Al desarrollar a(x-r1)(x-r2), el término constante resultante es a·r1·r2.
Respuesta: A) $a \cdot r_1 \cdot r_2$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=(x-3)(x-7)$ en forma general es $f(x)=x^2-10x+21$.
x^2-7x-3x+21=x^2-10x+21.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Convierte a forma general $f(x)=(x-3)(x-7)$.
x^2-7x-3x+21=x^2-10x+21.
Respuesta: A) $f(x)=x^2-10x+21$
-
Convierte a forma general $f(x)=2(x+1)(x-5)$.
(x+1)(x-5)=x^2-4x-5; ×2: 2x^2-8x-10.
Respuesta: A) $f(x)=2x^2-8x-10$
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Cometer errores de signo al desarrollar el producto de binomios con raíces negativas es un error frecuente.
Es un error común al aplicar la distribución con signos negativos.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al convertir de factorizada a general?
Es un error común no multiplicar todos los términos por a.
Respuesta: A) Olvidar distribuir el coeficiente $a$ en todos los términos
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$f(x)=3(x-2)(x+4)$ en forma general es $f(x)=3x^2+6x-24$.
(x-2)(x+4)=x^2+2x-8; ×3: 3x^2+6x-24.
Respuesta: Verdadero
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Convierte a forma general $f(x)=-(x-6)(x+2)$.
(x-6)(x+2)=x^2-4x-12; con signo negativo: -x^2+4x+12.
Respuesta: A) $f(x)=-x^2+4x+12$