Conversión de la forma factorizada a la forma general

Resumen inicial

La conversión de la forma factorizada $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ a la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$ se realiza multiplicando los binomios lineales con término común $(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$ y distribuyendo el coeficiente principal $a$.

Explicación en palabras simples

La conversión de la forma factorizada $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ a la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$ se realiza multiplicando los binomios lineales con término común $(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$ y distribuyendo el coeficiente principal $a$

Para pasar de la forma factorizada a la forma general:

Paso a paso:
1. Multiplica los dos paréntesis entre sí aplicando la propiedad distributiva:
$$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$$
2. Multiplica cada uno de los tres términos resultantes por el número $a$ que está afuera.
3. ¡Listo! Ya tienes la función en su forma estándar $ax^2 + bx + c$.

Ejemplo: $f(x) = 2(x - 3)(x + 4)$
- Multiplicar paréntesis: $(x - 3)(x + 4) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12$.
- Multiplicar por 2: $2(x^2 + x - 12) = \mathbf{2x^2 + 2x - 24}$.

Explicación formal

Sea $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ con $a \neq 0$ y ceros reales $x_1, x_2$. La expansión polinómica de Vieta establece:
$$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$$

Multiplicando por el escalar $a$:
$$f(x) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a(x_1 x_2)$$

Relación con los coeficientes generales:
$$\begin{cases} a = a \\ b = -a(x_1 + x_2) \\ c = a x_1 x_2 \end{cases}$$

Definiciones clave

Producto de binomios con término común: Regla $(x + p)(x + q) = x^2 + (p + q)x + pq$.
Distribución de escala: Multiplicación del coeficiente $a$ sobre todos los monomios resultantes.

Propiedades y relaciones importantes

Cálculo directo de la constante c: $c = a \cdot x_1 \cdot x_2$.
Cálculo directo del coeficiente lineal b: $b = -a(x_1 + x_2) = -2a x_v$.

Ejemplo guiado

Ejemplo La conversión de la forma factorizada $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ a la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$ se realiza multiplicando los binomios lineales con término común $(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$ y distribuyendo el coeficiente principal $a$

Convierte la función factorizada $f(x) = -3(x - 2)(x + 5)$ a su forma general canónica $ax^2 + bx + c$.

Paso 1: Multiplicar los binomios lineales $(x - 2)(x + 5)$: $(x - 2)(x + 5) = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10$.
Paso 2: Distribuir el coeficiente principal $a = -3$ sobre el trinomio: $f(x) = -3(x^2 + 3x - 10) = -3(x^2) - 3(3x) - 3(-10)$.
Paso 3: Realizar los productos numéricos: $f(x) = -3x^2 - 9x + 30$.
Paso 4: Conclusión: La forma general es $f(x) = -3x^2 - 9x + 30$ ($a = -3, b = -9, c = 30$).

Procedimiento

Paso 1: Multiplicar los dos binomios lineales entre sí aplicando término común.
Paso 2: Reducir los términos semejantes de primer grado.
Paso 3: Distribuir el coeficiente principal $a$ sobre el trinomio.
Paso 4: Escribir el polinomio ordenado $ax^2 + bx + c$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Olvidar multiplicar el último término numérico por $a$.
Cómo corregirlo: El coeficiente $a$ multiplica a los TRES términos del trinomio: $ax^2 + bx + c$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Cometer errores de signos al multiplicar números negativos."

"El coeficiente lineal b resultante equivale a -a(x₁ + x₂)."

"Olvidar distribuir el factor a al término constante."

"La forma general resultante de expandir a(x - x₁)(x - x₂) tiene término constante c = a x₁ x₂."

"Sumar en lugar de multiplicar los términos lineales."

Al terminar debes poder

Resumen La conversión de la forma factorizada $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ a la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$ se realiza multiplicando los binomios lineales con término común $(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$ y distribuyendo el coeficiente principal $a$

Convertir una función cuadrática de forma factorizada a forma general.

Multiplicando los binomios lineales y distribuyendo el factor a sobre el trinomio cuadrático resultante.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Para convertir de forma factorizada a general, se debe:
Es el procedimiento algebraico para esta conversión.

Respuesta: A) Desarrollar el producto de binomios y distribuir $a$
Convertir de forma factorizada a general cambia los ceros de la función.
El término independiente $c$ de la forma general es igual a:
Al desarrollar a(x-r1)(x-r2), el término constante resultante es a·r1·r2.

Respuesta: A) $a \cdot r_1 \cdot r_2$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=(x-3)(x-7)$ en forma general es $f(x)=x^2-10x+21$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Convierte a forma general $f(x)=(x-3)(x-7)$.
x^2-7x-3x+21=x^2-10x+21.

Respuesta: A) $f(x)=x^2-10x+21$
Convierte a forma general $f(x)=2(x+1)(x-5)$.
(x+1)(x-5)=x^2-4x-5; ×2: 2x^2-8x-10.

Respuesta: A) $f(x)=2x^2-8x-10$
Cometer errores de signo al desarrollar el producto de binomios con raíces negativas es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al convertir de factorizada a general?
Es un error común no multiplicar todos los términos por a.

Respuesta: A) Olvidar distribuir el coeficiente $a$ en todos los términos
$f(x)=3(x-2)(x+4)$ en forma general es $f(x)=3x^2+6x-24$.
Convierte a forma general $f(x)=-(x-6)(x+2)$.
(x-6)(x+2)=x^2-4x-12; con signo negativo: -x^2+4x+12.

Respuesta: A) $f(x)=-x^2+4x+12$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación