Interpretación del valor extremo de la función cuadrática

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

La interpretación del valor extremo distingue rigurosamente entre el valor de la variable independiente $x_v$ (dónde o cuándo se alcanza la optimización) y el valor extremo de la función $y_v = f(x_v)$ (cuánto vale la magnitud óptima máxima o mínima).

Explicación en palabras simples

La interpretación del valor extremo distingue rigurosamente entre el valor de la variable independiente $x_v$ (dónde o cuándo se alcanza la optimización) y el valor extremo de la función $y_v = f(x_v)$ (cuánto vale la magnitud óptima máxima o mínima)

En los problemas de la vida real (física, economía, geometría), el vértice te da dos respuestas distintas:

  1. La coordenada $x_v$ (¿DÓNDE / CUÁNDO?):
  2. El tiempo $t$ en segundos para alcanzar la altura máxima.
  3. La cantidad de productos $x$ que debes fabricar para tener el costo más bajo.
  4. La medida del ancho de un terreno para tener la mayor área.
  5. La coordenada $y_v$ (¿CUÁNTO?):
  6. La altura máxima en metros ($h_{ ext{máx}}$).
  7. El costo mínimo en pesos ($\_ ext{mín}$).
  8. El área máxima en metros cuadrados ($\mathcal{A}_{ ext{máx}}$).
  9. Regla de oro: ¡Lee con atención qué te preguntan para no responder $x$ cuando pedían $y$!

Explicación formal

Sea un modelo cuadrático de optimización $f: \mathcal{D} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = ax^2 + bx + c$. El par óptimo $(x^*, y^*) \in \mathbb{R}^2$ satisface:
$$x^* = x_v = -\frac{b}{2a} = \arg\max_{x \in \mathcal{D}} f(x) \quad (\text{o } \arg\min), \qquad y^* = y_v = f(x^*) = \max_{x \in \mathcal{D}} f(x) \quad (\text{o } \min)$$

Diccionario de variables en modelación aplicada:
1. Cinemática vertical: $h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0 \implies t_v = \frac{v_0}{g}$ (tiempo a altura máx [s]), $h_{\text{máx}} = h(t_v)$ (altura máxima [m]).
2. Economía de ingresos: $I(p) = -k p^2 + m p \implies p_v$ (precio óptimo [\$]), $I_{\text{máx}} = I(p_v)$ (ingreso máximo [\$]).
3. Geometría perimetral: $\mathcal{A}(x) = x(S - x) \implies x_v$ (dimensión óptima [m]), $\mathcal{A}_{\text{máx}}$ (área máxima [m²]).

Comprueba tu avance En un problema de ganancias $G(x) = -2x^2 + 120x - 1000$, si preguntan "¿cuántos artículos x se deben vender para obtener la ganancia máxima?", ¿qué coordenada se debe calcular?

Definiciones clave

  • Argumento óptimo ($x_v$ / argmax / argmin): Valor de entrada que optimiza el sistema.
  • Magnitud óptima ($y_v$): Valor numérico extremo resultante tras la evaluación.

Propiedades y relaciones importantes

  • Dualidad contextual: Toda optimización cuadrática aplicada vincula inseparablemente la causa ($x_v$) con el efecto ($y_v$).
  • Consistencia dimensional: $x_v$ tiene las unidades de la variable independiente; $y_v$ tiene las unidades de la función objetivo.

Ejemplo guiado

Ejemplo La interpretación del valor extremo distingue rigurosamente entre el valor de la variable independiente $x_v$ (dónde o cuándo se alcanza la optimización) y el valor extremo de la función $y_v = f(x_v)$ (cuánto vale la magnitud óptima máxima o mínima)

La altura de un proyectil lanzado verticalmente viene dada por $h(t) = 40t - 5t^2$, donde $t$ se mide en segundos y $h$ en metros.
1) ¿A los cuántos segundos alcanza su altura máxima?
2) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?

  • Paso 1: Reordenar la función: $h(t) = -5t^2 + 40t$ ($a = -5, b = 40, c = 0$).
  • Paso 2: Responder la pregunta 1 ("¿A los cuántos segundos?" $\implies t_v$): $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2(-5)} = \frac{40}{10} = 4\text{ segundos}$.
  • Paso 3: Responder la pregunta 2 ("¿Cuál es la altura máxima?" $\implies h_v$): $h(4) = 40(4) - 5(4)^2 = 160 - 5(16) = 160 - 80 = 80\text{ metros}$.
  • Paso 4: Concluir formalmente: El proyectil alcanza su altura máxima a los **4 segundos**, y dicha altura es de **80 metros**.
Comprueba tu avance Si una función de costo es $C(x) = x^2 - 10x + 60$ y se halla $x_v = 5$ y $y_v = 35$, ¿cuál es el costo mínimo?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar qué magnitud representa $x$ (tiempo, unidades, longitud) y qué magnitud representa $y = f(x)$ (altura, ganancia, costo).
  • Paso 2: Calcular la abscisa del vértice $x_v = -\frac{b}{2a}$.
  • Paso 3: Calcular la ordenada del vértice $y_v = f(x_v)$.
  • Paso 4: Responder con precisión la interrogante del problema adjuntando las unidades físicas correctas.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Responder con el valor de $x$ (ej: $4\text{ s}$) cuando la pregunta pide "la altura máxima" ($80\text{ m}$).
  • Cómo corregirlo: Si piden el valor extremo, debes entregar la ordenada $y_v$ calculada.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 En $h(t) = 50t - 5t^2$, ¿en qué segundo alcanza la mayor altura?
2 En $h(t) = 50t - 5t^2$, ¿cuál es la altura máxima?
3 Si $C(x) = 3x^2 - 18x + 100$, ¿cuántas unidades minimizan el costo?
4 El área de un jardín con 40 m de cerca es $\mathcal{A}(x) = x(20 - x)$. ¿Cuál es el área máxima?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"No verificar si el extremo calculado corresponde a un máximo o a un mínimo."
"La ordenada del vértice cuantifica la magnitud máxima o mínima alcanzada."
"Omitir las unidades de medida en el contexto del problema."
"La abscisa del vértice indica el punto o instante donde ocurre la optimización."
"Confundir la variable independiente con la dependiente en la respuesta."

Al terminar debes poder

Resumen La interpretación del valor extremo distingue rigurosamente entre el valor de la variable independiente $x_v$ (dónde o cuándo se alcanza la optimización) y el valor extremo de la función $y_v = f(x_v)$ (cuánto vale la magnitud óptima máxima o mínima)

🎯 QUÉ Objetivo

Interpretar contextualmente los valores extremos de una función cuadrática.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Distinguiendo entre el punto de optimización x_v y el valor extremo y_v en problemas aplicados.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra y Funciones / El Vértice, Eje de Simetría y Recorrido

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. La función puede tomar un valor menor que su mínimo (si a>0).

  2. Si $a<0$, el valor extremo $y_v$ representa:

  3. El valor extremo de una función cuadrática corresponde a:

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Con vértice $(2,3)$ y $a>0$, se cumple $f(x)\geq3$ para todo $x$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Con vértice $(3,-2)$ y $a>0$, ¿qué se puede afirmar?

  2. Con vértice $(1,9)$ y $a<0$, ¿qué se puede afirmar?

  3. Confundir el valor extremo (coordenada y) con la posición donde ocurre (coordenada x) es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al interpretar el valor extremo?

  2. Con vértice $(4,-7)$ y $a>0$, no existe ningún $x$ tal que $f(x)<-7$.

  3. Con vértice $(-2,10)$ y $a<0$, ¿cuál es el valor extremo de la función?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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