Interpretación del valor extremo de la función cuadrática

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

La interpretación del valor extremo distingue rigurosamente entre el valor de la variable independiente $x_v$ (dónde o cuándo se alcanza la optimización) y el valor extremo de la función $y_v = f(x_v)$ (cuánto vale la magnitud óptima máxima o mínima).

Explicación en palabras simples

La interpretación del valor extremo distingue rigurosamente entre el valor de la variable independiente $x_v$ (dónde o cuándo se alcanza la optimización) y el valor extremo de la función $y_v = f(x_v)$ (cuánto vale la magnitud óptima máxima o mínima)

En los problemas de la vida real (física, economía, geometría), el vértice te da dos respuestas distintas:

  1. La coordenada $x_v$ (¿DÓNDE / CUÁNDO?):
  2. El tiempo $t$ en segundos para alcanzar la altura máxima.
  3. La cantidad de productos $x$ que debes fabricar para tener el costo más bajo.
  4. La medida del ancho de un terreno para tener la mayor área.
  5. La coordenada $y_v$ (¿CUÁNTO?):
  6. La altura máxima en metros ($h_{\text{máx}}$).
  7. El costo mínimo en pesos ($\_\text{mín}$).
  8. El área máxima en metros cuadrados ($\mathcal{A}_{\text{máx}}$).
  9. Regla de oro: ¡Lee con atención qué te preguntan para no responder $x$ cuando pedían $y$!

Explicación formal

Sea un modelo cuadrático de optimización $f: \mathcal{D} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = ax^2 + bx + c$. El par óptimo $(x^*, y^*) \in \mathbb{R}^2$ satisface:
$$x^* = x_v = -\frac{b}{2a} = \arg\max_{x \in \mathcal{D}} f(x) \quad (\text{o } \arg\min), \qquad y^* = y_v = f(x^*) = \max_{x \in \mathcal{D}} f(x) \quad (\text{o } \min)$$

Diccionario de variables en modelación aplicada:
1. Cinemática vertical: $h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0 \implies t_v = \frac{v_0}{g}$ (tiempo a altura máx [s]), $h_{\text{máx}} = h(t_v)$ (altura máxima [m]).
2. Economía de ingresos: $I(p) = -k p^2 + m p \implies p_v$ (precio óptimo [\$]), $I_{\text{máx}} = I(p_v)$ (ingreso máximo [\$]).
3. Geometría perimetral: $\mathcal{A}(x) = x(S - x) \implies x_v$ (dimensión óptima [m]), $\mathcal{A}_{\text{máx}}$ (área máxima [m²]).

Comprueba tu avance En un problema de ganancias $G(x) = -2x^2 + 120x - 1000$, si preguntan "¿cuántos artículos x se deben vender para obtener la ganancia máxima?", ¿qué coordenada se debe calcular?

Definiciones clave

  • Argumento óptimo ($x_v$ / argmax / argmin): Valor de entrada que optimiza el sistema.
  • Magnitud óptima ($y_v$): Valor numérico extremo resultante tras la evaluación.

Propiedades y relaciones importantes

  • Dualidad contextual: Toda optimización cuadrática aplicada vincula inseparablemente la causa ($x_v$) con el efecto ($y_v$).
  • Consistencia dimensional: $x_v$ tiene las unidades de la variable independiente; $y_v$ tiene las unidades de la función objetivo.

Ejemplo guiado

Ejemplo La interpretación del valor extremo distingue rigurosamente entre el valor de la variable independiente $x_v$ (dónde o cuándo se alcanza la optimización) y el valor extremo de la función $y_v = f(x_v)$ (cuánto vale la magnitud óptima máxima o mínima)

La altura de un proyectil lanzado verticalmente viene dada por $h(t) = 40t - 5t^2$, donde $t$ se mide en segundos y $h$ en metros.
1) ¿A los cuántos segundos alcanza su altura máxima?
2) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?

  • Paso 1: Reordenar la función: $h(t) = -5t^2 + 40t$ ($a = -5, b = 40, c = 0$).
  • Paso 2: Responder la pregunta 1 ("¿A los cuántos segundos?" $\implies t_v$): $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2(-5)} = \frac{40}{10} = 4\text{ segundos}$.
  • Paso 3: Responder la pregunta 2 ("¿Cuál es la altura máxima?" $\implies h_v$): $h(4) = 40(4) - 5(4)^2 = 160 - 5(16) = 160 - 80 = 80\text{ metros}$.
  • Paso 4: Concluir formalmente: El proyectil alcanza su altura máxima a los **4 segundos**, y dicha altura es de **80 metros**.
Comprueba tu avance Si una función de costo es $C(x) = x^2 - 10x + 60$ y se halla $x_v = 5$ y $y_v = 35$, ¿cuál es el costo mínimo?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar qué magnitud representa $x$ (tiempo, unidades, longitud) y qué magnitud representa $y = f(x)$ (altura, ganancia, costo).
  • Paso 2: Calcular la abscisa del vértice $x_v = -\frac{b}{2a}$.
  • Paso 3: Calcular la ordenada del vértice $y_v = f(x_v)$.
  • Paso 4: Responder con precisión la interrogante del problema adjuntando las unidades físicas correctas.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Responder con el valor de $x$ (ej: $4\text{ s}$) cuando la pregunta pide "la altura máxima" ($80\text{ m}$).
  • Cómo corregirlo: Si piden el valor extremo, debes entregar la ordenada $y_v$ calculada.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 En $h(t) = 50t - 5t^2$, ¿en qué segundo alcanza la mayor altura?
2 En $h(t) = 50t - 5t^2$, ¿cuál es la altura máxima?
3 Si $C(x) = 3x^2 - 18x + 100$, ¿cuántas unidades minimizan el costo?
4 El área de un jardín con 40 m de cerca es $\mathcal{A}(x) = x(20 - x)$. ¿Cuál es el área máxima?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La ordenada del vértice cuantifica la magnitud máxima o mínima alcanzada."
"La abscisa del vértice indica el punto o instante donde ocurre la optimización."
"Confundir la variable independiente con la dependiente en la respuesta."
"No verificar si el extremo calculado corresponde a un máximo o a un mínimo."
"Omitir las unidades de medida en el contexto del problema."

Al terminar debes poder

Resumen La interpretación del valor extremo distingue rigurosamente entre el valor de la variable independiente $x_v$ (dónde o cuándo se alcanza la optimización) y el valor extremo de la función $y_v = f(x_v)$ (cuánto vale la magnitud óptima máxima o mínima)

🎯 QUÉ Objetivo

Interpretar contextualmente los valores extremos de una función cuadrática.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Distinguiendo entre el punto de optimización x_v y el valor extremo y_v en problemas aplicados.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra y Funciones / El Vértice, Eje de Simetría y Recorrido

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. La función puede tomar un valor menor que su mínimo (si a>0).

  2. Si $a<0$, el valor extremo $y_v$ representa:

  3. El valor extremo de una función cuadrática corresponde a:

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Con vértice $(2,3)$ y $a>0$, se cumple $f(x)\geq3$ para todo $x$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Con vértice $(3,-2)$ y $a>0$, ¿qué se puede afirmar?

  2. Con vértice $(1,9)$ y $a<0$, ¿qué se puede afirmar?

  3. Confundir el valor extremo (coordenada y) con la posición donde ocurre (coordenada x) es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al interpretar el valor extremo?

  2. Con vértice $(4,-7)$ y $a>0$, no existe ningún $x$ tal que $f(x)<-7$.

  3. Con vértice $(-2,10)$ y $a<0$, ¿cuál es el valor extremo de la función?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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