Determinación del recorrido de la función cuadrática a partir del vértice y la concavidad
Resumen inicial
La determinación del recorrido (rango) de una función cuadrática se deduce a partir de la ordenada del vértice $y_v$ y del signo de $a$: si $a > 0$, $\text{Rec}(f) = [y_v, +\infty[$, y si $a < 0$, $\text{Rec}(f) = ]-\infty, y_v]$.
Explicación en palabras simples
![La determinación del recorrido (rango) de una función cuadrática se deduce a partir de la ordenada del vértice $y_v$ y del signo de $a$: si $a > 0$, $\text{Rec}(f) = [y_v, +\infty[$, y si $a < 0$, $\text{Rec}(f) = ]-\infty, y_v]$](/static/img/nodos/determinacion-del-recorrido-de-la-funcion-cuadratica-a-partir-del-vertice-y-la-concavidad-intro.svg)
El recorrido o rango son todas las alturas posibles ($y$) que alcanza la parábola en el plano:
- Si abre hacia arriba ($a > 0$):
- El vértice es el piso más bajo ($y_v$).
- Desde ahí la parábola sube sin límite hasta el infinito.
- Recorrido: $[y_v, +\infty[$.
- Si abre hacia abajo ($a < 0$):
- La parábola viene desde el fondo del infinito negativo y sube hasta el techo del vértice ($y_v$).
- Recorrido: $]-\infty, y_v]$.
- ¡Ojo con los corchetes! El vértice $y_v$ SIEMPRE lleva corchete cerrado ($[$ o $]$) porque la parábola sí toca ese punto exacto.
Explicación formal
Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) y vértice $V(x_v, y_v)$ con $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$. El conjunto imagen o recorrido $\text{Rec}(f) = f(\mathbb{R})$ se define como:
$$\text{Rec}(f) = \{y \in \mathbb{R} \mid \exists x \in \mathbb{R} \text{ tal que } f(x) = y\}$$
Teorema del Recorrido Cuadrático:
1. Caso $a > 0$ (Función Convexa Acotada Inferiormente):
$$\text{Rec}(f) = [y_v, +\infty[ = \left[ -\frac{\Delta}{4a}, \; +\infty \right[$$
2. Caso $a < 0$ (Función Cóncava Acotada Superiormente):
$$\text{Rec}(f) = ]-\infty, y_v] = \left] -\infty, \; -\frac{\Delta}{4a} \right]$$
Justificación topológica: Por el Teorema del Valor Intermedio (TVI) aplicado a funciones continuas en $\mathbb{R}$, la imagen es un intervalo conexo cerrado en el extremo $y_v$ y no acotado hacia el infinito.
La alternativa correcta es ']-∞, 12]'. Con $a = -3 < 0$, el vértice está en $(0, 12)$ y las ramas abren hacia abajo, dando $\text{Rec}(f) = ]-\infty, 12]$.
Definiciones clave
- Recorrido / Rango: Subconjunto de números reales que son imagen de al menos un elemento del dominio.
- Cota del recorrido: Valor $y_v$ que delimita superior o inferiormente el intervalo de imágenes.
Propiedades y relaciones importantes
- Dominio vs Recorrido: El dominio es siempre $\mathbb{R}$ en toda función cuadrática; el recorrido es siempre un intervalo propio semi-infinito acotado por $y_v$.
- Existencia de preimágenes: La ecuación $f(x) = k$ tiene solución real si y solo si $k \in \text{Rec}(f)$.
Ejemplo guiado
![Ejemplo La determinación del recorrido (rango) de una función cuadrática se deduce a partir de la ordenada del vértice $y_v$ y del signo de $a$: si $a > 0$, $\text{Rec}(f) = [y_v, +\infty[$, y si $a < 0$, $\text{Rec}(f) = ]-\infty, y_v]$](/static/img/nodos/determinacion-del-recorrido-de-la-funcion-cuadratica-a-partir-del-vertice-y-la-concavidad-ejemplos.svg)
Determina el recorrido de las siguientes funciones cuadráticas:
1) $f(x) = 2x^2 - 8x + 11$
2) $g(x) = -x^2 + 6x - 4$
- Paso 1: Para $f(x) = 2x^2 - 8x + 11$: - $a = 2 > 0 \implies$ parábola cóncava hacia arriba ($\cup$). - $x_v = -\frac{-8}{2(2)} = 2$. - $y_v = f(2) = 2(4) - 8(2) + 11 = 8 - 16 + 11 = 3$. - Como $a > 0$, el recorrido va desde $y_v$ hacia $+\infty$: $\text{Rec}(f) = [3, +\infty[$.
- Paso 2: Para $g(x) = -x^2 + 6x - 4$: - $a = -1 < 0 \implies$ parábola cóncava hacia abajo ($\cap$). - $x_v = -\frac{6}{2(-1)} = 3$. - $y_v = g(3) = -(9) + 6(3) - 4 = -9 + 18 - 4 = 5$. - Como $a < 0$, el recorrido va desde $-\infty$ hasta $y_v$: $\text{Rec}(g) = ]-\infty, 5]$.
La alternativa correcta es 'Porque el valor y_v es alcanzado efectivamente por la función cuando x = x_v.'. Como $f(x_v) = y_v$, el punto pertenece a la imagen.
Procedimiento
- Paso 1: Calcular la abscisa del vértice $x_v = -\frac{b}{2a}$.
- Paso 2: Calcular la ordenada del vértice $y_v = f(x_v)$.
- Paso 3: Determinar el signo del coeficiente principal $a$.
- Paso 4: Si $a > 0$, escribir $\text{Rec}(f) = [y_v, +\infty[$.
- Paso 5: Si $a < 0$, escribir $\text{Rec}(f) = ]-\infty, y_v]$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Escribir el recorrido con corchete abierto $]y_v, +\infty[$ o usar la abscisa $x_v$ en vez de la ordenada $y_v$.
- Cómo corregirlo: El recorrido usa siempre la cota vertical $y_v$ con corchete cerrado: $[y_v, +\infty[$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $V(3, 1)$ con $a = 1 > 0 \implies \text{Rec}(f) = [1, +\infty[$.
- Paso 1: $x_v = 1, y_v = 3$ con $a = -2 < 0 \implies \text{Rec}(g) = ]-\infty, 3]$.
- Paso 1: $V(0, 0)$ y $a > 0 \implies [0, +\infty[$.
- Paso 1: $-5 < -4$, por lo que no pertenece al intervalo $[-4, +\infty[$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
![Resumen La determinación del recorrido (rango) de una función cuadrática se deduce a partir de la ordenada del vértice $y_v$ y del signo de $a$: si $a > 0$, $\text{Rec}(f) = [y_v, +\infty[$, y si $a < 0$, $\text{Rec}(f) = ]-\infty, y_v]$](/static/img/nodos/determinacion-del-recorrido-de-la-funcion-cuadratica-a-partir-del-vertice-y-la-concavidad-resumen.svg)
Determinar el recorrido de una función cuadrática a partir de su vértice y concavidad.
Calculando y_v = f(-b/(2a)) y formulando el intervalo [y_v, +∞[ si a > 0 o ]-∞, y_v] si a < 0.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si $a>0$, el recorrido de la función es:
La función crece indefinidamente hacia arriba desde el mínimo.
Respuesta: A) $[y_v,+\infty[$
-
El recorrido de una función cuadrática puede ser todo $\mathbb{R}$.
Siempre está acotado por un lado debido a la existencia del vértice.
Respuesta: Falso
-
Si $a<0$, el recorrido de la función es:
La función decrece indefinidamente hacia abajo desde el máximo.
Respuesta: A) $]-\infty,y_v]$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El recorrido de $f(x)=x^2-6x+8$, con vértice $(3,-1)$, es $[-1,+\infty[$.
a=1>0, recorrido [-1,+infinito[.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el recorrido de $f(x)=x^2-6x+8$.
Vértice (3,-1); a=1>0.
Respuesta: A) $[-1,+\infty[$
-
Determina el recorrido de $f(x)=-3x^2+12x-7$.
Vértice (2,5); a=-3<0.
Respuesta: A) $]-\infty,5]$
-
Confundir el recorrido con el dominio es un error frecuente.
El dominio siempre es R; el recorrido depende de los coeficientes.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar el recorrido?
y_v pertenece al recorrido, por lo que debe usarse corchete, no paréntesis.
Respuesta: A) Usar paréntesis en vez de corchetes en el extremo donde se alcanza $y_v$
-
El recorrido de una función cuadrática incluye siempre el valor $y_v$.
y_v se alcanza exactamente en x=x_v.
Respuesta: Verdadero
-
Determina el recorrido de $f(x)=2x^2-4x+5$, con vértice $(1,3)$.
a=2>0, recorrido [3,+infinito[.
Respuesta: A) $[3,+\infty[$