Determinación del recorrido de la función cuadrática a partir del vértice y la concavidad
Determinar el recorrido de una función cuadrática combinando la información del vértice y la concavidad.
Introducción
A diferencia del dominio (siempre $\mathbb{R}$), el recorrido de una función cuadrática sí depende de sus coeficientes, y se determina fácilmente combinando el vértice con la dirección de apertura.
Explicación
Definición formal
Dada $f(x)=ax^2+bx+c$ con vértice $(x_v,y_v)$: si $a>0$, $\text{Rec}(f)=[y_v,+\infty[$; si $a<0$, $\text{Rec}(f)=]-\infty,y_v]$. En ambos casos, el intervalo incluye el valor $y_v$ mismo, ya que es alcanzado exactamente en $x=x_v$.
Desarrollo didáctico
El procedimiento combina dos datos ya conocidos: primero se calcula el vértice (específicamente $y_v$), y luego se usa el signo de $a$ para decidir si el intervalo va "hacia arriba" o "hacia abajo" desde ese valor.
Para $f(x)=2x^2-4x+5$, con vértice $(1,3)$ y $a=2>0$: el recorrido es $[3,+\infty[$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula la coordenada $y_v$ del vértice de la función.
- Paso 2: Identifica el signo de $a$.
- Paso 3: Si $a>0$, el recorrido es $[y_v,+\infty[$; si $a<0$, el recorrido es $]-\infty,y_v]$.
Ejemplos
1 Determina el recorrido de $f(x)=x^2-6x+8$.
- Vértice: $(3,-1)$; $a=1>0$.
- Recorrido: $[-1,+\infty[$.
2 Determina el recorrido de $f(x)=-3x^2+12x-7$.
- Vértice: $(2,5)$; $a=-3<0$.
- Recorrido: $]-\infty,5]$.
3 ¿El recorrido de una función cuadrática incluye siempre el valor $y_v$?
- El valor $y_v$ se alcanza exactamente en $x=x_v$, por lo que siempre pertenece al recorrido.
4 ¿El recorrido de una función cuadrática puede ser todo $\mathbb{R}$?
- Siempre está acotado por un lado (superior o inferior) debido a la existencia del vértice.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el recorrido con el dominio, que siempre es $\mathbb{R}$ en una función cuadrática."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir la dirección del intervalo del recorrido según el signo de $a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar paréntesis en vez de corchetes en el extremo donde se alcanza $y_v$, excluyéndolo incorrectamente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No calcular primero el vértice antes de intentar determinar el recorrido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **recorrido** de $f(x)=ax^2+bx+c$ es $[y_v,+\infty[$ si $a>0$ (la función crece indefinidamente hacia arriba desde el mínimo), o $]-\infty,y_v]$ si $a<0$ (decrece indefinidamente hacia abajo desde el máximo).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si $a>0$, el recorrido de la función es:
La función crece indefinidamente hacia arriba desde el mínimo.
Respuesta: A) $[y_v,+\infty[$
-
El recorrido de una función cuadrática puede ser todo $\mathbb{R}$.
Siempre está acotado por un lado debido a la existencia del vértice.
Respuesta: Falso
-
Si $a<0$, el recorrido de la función es:
La función decrece indefinidamente hacia abajo desde el máximo.
Respuesta: A) $]-\infty,y_v]$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El recorrido de $f(x)=x^2-6x+8$, con vértice $(3,-1)$, es $[-1,+\infty[$.
a=1>0, recorrido [-1,+infinito[.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el recorrido de $f(x)=x^2-6x+8$.
Vértice (3,-1); a=1>0.
Respuesta: A) $[-1,+\infty[$
-
Determina el recorrido de $f(x)=-3x^2+12x-7$.
Vértice (2,5); a=-3<0.
Respuesta: A) $]-\infty,5]$
-
Confundir el recorrido con el dominio es un error frecuente.
El dominio siempre es R; el recorrido depende de los coeficientes.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al determinar el recorrido?
y_v pertenece al recorrido, por lo que debe usarse corchete, no paréntesis.
Respuesta: A) Usar paréntesis en vez de corchetes en el extremo donde se alcanza $y_v$
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El recorrido de una función cuadrática incluye siempre el valor $y_v$.
y_v se alcanza exactamente en x=x_v.
Respuesta: Verdadero
-
Determina el recorrido de $f(x)=2x^2-4x+5$, con vértice $(1,3)$.
a=2>0, recorrido [3,+infinito[.
Respuesta: A) $[3,+\infty[$