Determinación de las coordenadas del vértice mediante fórmulas algebraicas
Determinar ambas coordenadas del vértice de una función cuadrática dada en forma general, usando fórmulas algebraicas.
Introducción
Cuando la función está dada en forma general (no canónica), existen fórmulas directas que permiten calcular el vértice sin necesidad de completar el cuadrado.
Explicación
Definición formal
Dada $f(x)=ax^2+bx+c$, la coordenada $x$ del vértice es $x_v=-\dfrac{b}{2a}$, y la coordenada $y$ es $y_v=f(x_v)$, obtenida sustituyendo $x_v$ en la función original. El vértice completo es el par ordenado $(x_v,y_v)$.
Desarrollo didáctico
El procedimiento tiene dos etapas claramente diferenciadas: primero calcular $x_v$ con la fórmula, y luego sustituir ese valor en la función para obtener $y_v$; ambos pasos son indispensables.
Para $f(x)=x^2-6x+8$: $x_v=-\dfrac{-6}{2(1)}=3$; sustituyendo, $y_v=f(3)=9-18+8=-1$. El vértice es $(3,-1)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los coeficientes $a$ y $b$ de la función.
- Paso 2: Calcula $x_v=-\dfrac{b}{2a}$.
- Paso 3: Sustituye $x_v$ en la función original para obtener $y_v=f(x_v)$.
- Paso 4: El vértice es el par ordenado $(x_v,y_v)$.
Ejemplos
1 Determina el vértice de $f(x)=x^2+2x-3$.
- $x_v=-\dfrac{2}{2(1)}=-1$.
- $y_v=f(-1)=1-2-3=-4$.
- El vértice es $(-1,-4)$.
2 Determina el vértice de $f(x)=2x^2-8x+3$.
- $x_v=-\dfrac{-8}{2(2)}=2$.
- $y_v=f(2)=8-16+3=-5$.
- El vértice es $(2,-5)$.
3 ¿Es posible calcular la coordenada $y$ del vértice sin calcular primero la coordenada $x$?
- Se necesita el valor de $x_v$ para sustituirlo en la función y obtener $y_v$.
4 ¿El vértice obtenido con esta fórmula coincide con el punto $(h,k)$ de la forma canónica?
- Ambos métodos (fórmula algebraica o forma canónica) dan exactamente el mismo vértice para la misma función.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Calcular solo la coordenada $x$ del vértice y omitir la coordenada $y$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sustituir $x_v$ incorrectamente en la función original, cometiendo errores de cálculo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al calcular $-b/(2a)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el orden de las coordenadas, reportando $(y_v,x_v)$ en vez de $(x_v,y_v)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para $f(x)=ax^2+bx+c$, las coordenadas del vértice son $\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$, calculando primero la coordenada $x$ y luego evaluando la función en ese valor.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La coordenada $y$ del vértice se calcula como:
Se sustituye la coordenada x del vértice en la función original.
Respuesta: A) $f(x_v)$, sustituyendo $x_v$ en la función
-
Es posible calcular la coordenada y del vértice sin calcular primero la coordenada x.
Se necesita x_v para sustituirlo en la función.
Respuesta: Falso
-
El vértice calculado con la fórmula algebraica coincide con:
Ambos métodos dan el mismo vértice para la misma función.
Respuesta: A) El punto $(h,k)$ de la forma canónica
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El vértice de $f(x)=x^2-6x+8$ es $(3,-1)$.
x_v=3; y_v=f(3)=9-18+8=-1.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el vértice de $f(x)=2x^2-8x+3$.
x_v=2; y_v=f(2)=8-16+3=-5.
Respuesta: A) $(2,-5)$
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Calcular solo la coordenada x del vértice y omitir la coordenada y es un error frecuente.
Se debe reportar el vértice completo, con ambas coordenadas.
Respuesta: Verdadero
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Determina el vértice de $f(x)=x^2+2x-3$.
x_v=-1; y_v=f(-1)=1-2-3=-4.
Respuesta: A) $(-1,-4)$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El vértice de $f(x)=-x^2+4x-1$ es $(2,3)$.
x_v=2; y_v=f(2)=-4+8-1=3.
Respuesta: Verdadero
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Determina el vértice de $f(x)=3x^2-6x+4$.
x_v=1; y_v=f(1)=3-6+4=1.
Respuesta: A) $(1,1)$
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular el vértice?
El orden correcto es (x_v, y_v).
Respuesta: A) Confundir el orden de las coordenadas, reportando $(y_v,x_v)$