Determinación de las coordenadas del vértice mediante fórmulas algebraicas

Resumen inicial

La determinación de las coordenadas del vértice $V(x_v, y_v)$ se realiza calculando la abscisa $x_v = -\frac{b}{2a}$ y evaluando la función $y_v = f(x_v) = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$, fijando el par ordenado exacto en el plano cartesiano.

Explicación en palabras simples

$La determinación de las coordenadas del vértice $V(x_v, y_v)$ se realiza calculando la abscisa $x_v = -\frac{b}{2a}$ y evaluando la función $y_v = f(x_v) = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$, fijando el par ordenado exacto en el plano cartesiano$

Para encontrar las dos coordenadas $(x_v, y_v)$ del vértice:

Paso 1 (Calcular $x_v$):
$$x_v = -\frac{b}{2a}$$
Paso 2 (Calcular $y_v$):
Toma el número que te dio en el Paso 1 y mételo dentro de la función $f(x)$ (cambia todas las $x$ por ese número):
$$y_v = f(x_v)$$
Paso 3 (Escribir el par ordenado):
Junta ambos valores: $V(x_v, y_v)$.
Ejemplo: Para $f(x) = x^2 - 6x + 5$:
$x_v = -\frac{-6}{2(1)} = 3$.
$y_v = f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
El vértice es el punto $V(3, -4)$.

Explicación formal

Dada $f(x) = ax^2 + bx + c$ con $a \neq 0$, las coordenadas canónicas del vértice $V(x_v, y_v) \in \mathbb{R}^2$ se deducen completando cuadrados sobre el polinomio canónico:
$$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) = a(x - x_v)^2 + y_v$$

Fórmulas algebraicas equivalentes:
$$\begin{cases} x_v = -\frac{b}{2a} \\ y_v = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} \end{cases}$$

Estructura métrica:
- Si $a > 0 \implies y_v = -\frac{\Delta}{4a}$ es el ínfimo global de la imagen.
- Si $a < 0 \implies y_v = -\frac{\Delta}{4a}$ es el supremo global de la imagen.

Definiciones clave

Coordenadas del vértice: Par ordenado $V(x_v, y_v)$ que ubica el extremo absoluto de la parábola.
Evaluación funcional de vértice: Procedimiento $y_v = f(x_v)$ para calcular la cota vertical.

Propiedades y relaciones importantes

Interacción con el discriminante: $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$. Si $\Delta = 0 \implies y_v = 0$ (vértice apoyado sobre el eje $X$).
Invarianza por traslación: La traslación de $f(x)$ a $f(x - h) + k$ desplaza el vértice a $(x_v + h, y_v + k)$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La determinación de las coordenadas del vértice $V(x_v, y_v)$ se realiza calculando la abscisa $x_v = -\frac{b}{2a}$ y evaluando la función $y_v = f(x_v) = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$, fijando el par ordenado exacto en el plano cartesiano$

Determina las coordenadas del vértice de la función $f(x) = -2x^2 + 12x - 10$ utilizando tanto la evaluación funcional como la fórmula de discriminante.

Paso 1: Identificar coeficientes: $a = -2, b = 12, c = -10$.
Paso 2: Calcular la abscisa $x_v$: $x_v = -\frac{12}{2(-2)} = -\frac{12}{-4} = 3$.
Paso 3: Método 1 (Evaluación funcional $f(3)$): $y_v = -2(3)^2 + 12(3) - 10 = -2(9) + 36 - 10 = -18 + 36 - 10 = 8$.
Paso 4: Método 2 (Fórmula de discriminante $-\Delta/(4a)$): $\Delta = 12^2 - 4(-2)(-10) = 144 - 80 = 64$. $y_v = -\frac{64}{4(-2)} = -\frac{64}{-8} = 8$.
Paso 5: Conclusión: Las coordenadas del vértice son $V(3, 8)$ (vértice máximo).

Procedimiento

Paso 1: Identificar los coeficientes $a, b, c$ de la función cuadrática.
Paso 2: Calcular la abscisa del vértice mediante $x_v = -\frac{b}{2a}$.
Paso 3: Calcular la ordenada evaluando $y_v = f(x_v)$ o aplicando $y_v = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$.
Paso 4: Escribir el par ordenado resultante $V(x_v, y_v)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Calcular $y_v$ usando $-\Delta/(2a)$ en vez de $-\Delta/(4a)$.
Cómo corregirlo: La fórmula del discriminante lleva un $4a$ en el denominador: $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$, o más simplemente evaluando $f(x_v)$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Confundir la abscisa x_v con la ordenada y_v."

"Dividir por 2 en vez de 4a al aplicar la fórmula de discriminante."

"La ordenada del vértice es idéntica a -Δ/(4a)."

"Las coordenadas del vértice son siempre V(-b/(2a), f(-b/(2a)))."

"Cometer errores de signos al evaluar números negativos en x_v²."

Al terminar debes poder

$Resumen La determinación de las coordenadas del vértice $V(x_v, y_v)$ se realiza calculando la abscisa $x_v = -\frac{b}{2a}$ y evaluando la función $y_v = f(x_v) = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$, fijando el par ordenado exacto en el plano cartesiano$

Determinar analíticamente las coordenadas del vértice V(x_v, y_v) de una función cuadrática.

Calculando x_v = -b/(2a) y evaluando y_v = f(x_v) para formular el par ordenado V(x_v, y_v).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

La coordenada $y$ del vértice se calcula como:
Se sustituye la coordenada x del vértice en la función original.

Respuesta: A) $f(x_v)$, sustituyendo $x_v$ en la función
Es posible calcular la coordenada y del vértice sin calcular primero la coordenada x.
El vértice calculado con la fórmula algebraica coincide con:
Ambos métodos dan el mismo vértice para la misma función.

Respuesta: A) El punto $(h,k)$ de la forma canónica

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

El vértice de $f(x)=x^2-6x+8$ es $(3,-1)$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Determina el vértice de $f(x)=2x^2-8x+3$.
x_v=2; y_v=f(2)=8-16+3=-5.

Respuesta: A) $(2,-5)$
Calcular solo la coordenada x del vértice y omitir la coordenada y es un error frecuente.
Determina el vértice de $f(x)=x^2+2x-3$.
x_v=-1; y_v=f(-1)=1-2-3=-4.

Respuesta: A) $(-1,-4)$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

El vértice de $f(x)=-x^2+4x-1$ es $(2,3)$.
Determina el vértice de $f(x)=3x^2-6x+4$.
x_v=1; y_v=f(1)=3-6+4=1.

Respuesta: A) $(1,1)$
¿Cuál es el error frecuente al calcular el vértice?
El orden correcto es (x_v, y_v).

Respuesta: A) Confundir el orden de las coordenadas, reportando $(y_v,x_v)$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación