Cálculo de la ecuación del eje de simetría de la parábola
Calcular la ecuación de la recta vertical que corresponde al eje de simetría de una función cuadrática.
Introducción
Toda parábola es simétrica respecto a una recta vertical imaginaria que pasa exactamente por su vértice, dividiéndola en dos mitades que son reflejo exacto una de la otra.
Explicación
Definición formal
El eje de simetría de la parábola $f(x)=ax^2+bx+c$ es la recta vertical $x=-\dfrac{b}{2a}$. Esta recta divide la parábola en dos mitades simétricas: para cualquier punto $(x_0,y_0)$ de la gráfica, el punto reflejado $(2\cdot(-b/2a)-x_0,y_0)$ también pertenece a la gráfica.
Desarrollo didáctico
Calcular el eje de simetría es idéntico a calcular la coordenada $x$ del vértice; la diferencia es que el eje de simetría se expresa como una ecuación de recta ($x=\ldots$), no como un número aislado.
Para $f(x)=x^2-8x+12$: el eje de simetría es $x=-\dfrac{-8}{2(1)}=4$, es decir, la recta vertical $x=4$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los coeficientes $a$ y $b$ de la función.
- Paso 2: Calcula $-\dfrac{b}{2a}$.
- Paso 3: Expresa el resultado como la ecuación de la recta vertical $x=-\dfrac{b}{2a}$.
Ejemplos
1 Calcula el eje de simetría de $f(x)=x^2-10x+21$.
- $a=1$, $b=-10$.
- $x=-\dfrac{-10}{2(1)}=5$.
- El eje de simetría es la recta $x=5$.
2 Calcula el eje de simetría de $f(x)=3x^2+12x-2$.
- $a=3$, $b=12$.
- $x=-\dfrac{12}{2(3)}=-2$.
- El eje de simetría es la recta $x=-2$.
3 ¿El eje de simetría pasa exactamente por la coordenada $x$ del vértice?
- Ambos se calculan con la misma fórmula, $-b/(2a)$.
4 ¿El eje de simetría es una recta horizontal?
- El eje de simetría de una parábola vertical es siempre una recta vertical, de la forma $x=\text{constante}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Expresar el eje de simetría como un número aislado en vez de como la ecuación de una recta ($x=\ldots$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el eje de simetría con una recta horizontal."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al calcular $-b/(2a)$, especialmente cuando $b$ es negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el eje de simetría con el eje $y$ del plano cartesiano."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **eje de simetría** de $f(x)=ax^2+bx+c$ es la recta vertical $x=-\dfrac{b}{2a}$, que pasa exactamente por la coordenada $x$ del vértice.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El eje de simetría de $f(x)=ax^2+bx+c$ es la recta:
Es la fórmula del eje de simetría.
Respuesta: A) $x=-b/(2a)$
-
El eje de simetría es una recta horizontal.
Es siempre una recta vertical, de la forma x=constante.
Respuesta: Falso
-
El eje de simetría pasa exactamente por:
Ambos se calculan con la misma fórmula -b/(2a).
Respuesta: A) La coordenada $x$ del vértice
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El eje de simetría de $f(x)=x^2-10x+21$ es $x=5$.
x=-(-10)/(2·1)=5.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Calcula el eje de simetría de $f(x)=-2x^2+8x-1$.
x=-8/(2·(-2))=2.
Respuesta: A) $x=2$
-
Calcula el eje de simetría de $f(x)=3x^2+12x-2$.
x=-12/(2·3)=-2.
Respuesta: A) $x=-2$
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Expresar el eje de simetría como un número aislado en vez de una ecuación de recta es un error frecuente.
Se debe expresar como x=valor, no solo el valor.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El eje de simetría de $f(x)=x^2+4x+1$ es $x=-2$.
x=-4/(2·1)=-2.
Respuesta: Verdadero
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Calcula el eje de simetría de $f(x)=5x^2-20x+3$.
x=-(-20)/(2·5)=2.
Respuesta: A) $x=2$
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¿Cuál es el error frecuente al calcular el eje de simetría?
Es común confundir el signo, especialmente cuando b es negativo.
Respuesta: A) Cometer errores de signo al calcular $-b/(2a)$