Lectura del signo de la función cuadrática a partir de su gráfica

Resumen inicial

La lectura del signo de una función cuadrática a partir de su gráfica consiste en identificar los intervalos del dominio donde la parábola se sitúa por encima del eje $X$ ($f(x) > 0$, positiva) o por debajo del eje $X$ ($f(x) < 0$, negativa), utilizando los ceros reales como puntos de cambio de signo.

Explicación en palabras simples

La lectura del signo de una función cuadrática a partir de su gráfica consiste en identificar los intervalos del dominio donde la parábola se sitúa por encima del eje $X$ ($f(x) > 0$, positiva) o por debajo del eje $X$ ($f(x) < 0$, negativa), utilizando los ceros reales como puntos de cambio de signo

Mirar el signo de una función en su gráfico es muy visual:

$f(x) > 0$ (Positiva): Son todos los tramos de la curva que están arriba del eje $X$ (las $y$ son positivas).
$f(x) < 0$ (Negativa): Son todos los tramos de la curva que están abajo del eje $X$ (las $y$ son negativas).
$f(x) = 0$ (Cero): Son los puntos exactos donde la curva toca el eje $X$ (las raíces).

Ejemplo: Una parábola que abre hacia arriba con raíces en $x = 1$ y $x = 5$:
- Es positiva ($> 0$) en los extremos: $]-\infty, 1[ \cup ]5, +\infty[$.
- Es negativa ($< 0$) en la cubeta central: $]1, 5[$.

Explicación formal

Sea $f(x) = ax^2 + bx + c$ con ceros reales ordenados $x_1 < x_2$. El análisis de signo por descomposición de Jordan del dominio divide a $\mathbb{R}$ en intervalos abiertos disjuntos:
$$\mathbb{R} \setminus \{x_1, x_2\} = ]-\infty, x_1[ \; \cup \; ]x_1, x_2[ \; \cup \; ]x_2, +\infty[$$

Regla de Signos Topológica:
1. Si $a > 0$ (Cóncava hacia arriba):
$$f(x) > 0 \iff x \in ]-\infty, x_1[ \cup ]x_2, +\infty[, \quad f(x) < 0 \iff x \in ]x_1, x_2[$$
2. Si $a < 0$ (Cóncava hacia abajo):
$$f(x) > 0 \iff x \in ]x_1, x_2[, \quad f(x) < 0 \iff x \in ]-\infty, x_1[ \cup ]x_2, +\infty[$$
3. Si $\Delta < 0$ (Sin ceros reales):
- Si $a > 0 \implies f(x) > 0, \; \forall x \in \mathbb{R}$ (estrictamente positiva).
- Si $a < 0 \implies f(x) < 0, \; \forall x \in \mathbb{R}$ (estrictamente negativa).

Definiciones clave

Conjunto de positividad $\mathcal{P}^+$: Intervalos donde la ordenada es estrictamente mayor que cero: $\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) > 0\}$.
Conjunto de negatividad $\mathcal{P}^-$: Intervalos donde la ordenada es estrictamente menor que cero: $\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) < 0\}$.

Propiedades y relaciones importantes

Exclusión de los ceros: Los ceros $x_1, x_2$ no pertenecen a la positividad ni a la negatividad ($f(x_i) = 0$ es nulo).
Resolución de inecuaciones cuadráticas: Resolver $ax^2 + bx + c > 0$ es equivalente a hallar el conjunto de positividad de la función cuadrática.

Ejemplo guiado

Ejemplo La lectura del signo de una función cuadrática a partir de su gráfica consiste en identificar los intervalos del dominio donde la parábola se sitúa por encima del eje $X$ ($f(x) > 0$, positiva) o por debajo del eje $X$ ($f(x) < 0$, negativa), utilizando los ceros reales como puntos de cambio de signo

A partir de la función $f(x) = -x^2 + 4x - 3$, determina los intervalos donde $f(x) > 0$ y donde $f(x) < 0$.

Paso 1: Identificar concavidad: $a = -1 < 0 \implies$ parábola cóncava hacia abajo ($\cap$).
Paso 2: Calcular ceros: $-x^2 + 4x - 3 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x_1 = 1, \; x_2 = 3$.
Paso 3: Analizar la posición gráfica: - La cumbre de la parábola queda por encima del eje $X$ entre las raíces. - Las ramas caen por debajo del eje $X$ hacia los extremos.
Paso 4: Concluir los intervalos de signo: - **Positiva ($f(x) > 0$):** $x \in ]1, 3[$. - **Negativa ($f(x) < 0$):** $x \in ]-\infty, 1[ \cup ]3, +\infty[$. - **Cero ($f(x) = 0$):** $x \in \{1, 3\}$.

Procedimiento

Paso 1: Determinar la concavidad de la parábola mediante el signo de $a$.
Paso 2: Calcular los ceros reales $x_1$ y $x_2$ resolviendo $f(x) = 0$.
Paso 3: Identificar visual o algebraicamente qué porciones de la curva quedan sobre el eje $X$ ($y > 0$) y bajo el eje $X$ ($y < 0$).
Paso 4: Expresar los intervalos de positividad y negatividad en notación de intervalos abiertos.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Usar corchetes cerrados $[x_1, x_2]$ al escribir los intervalos donde $f(x) > 0$.
Cómo corregirlo: En los extremos $x_1$ y $x_2$, la función vale exactamente cero ($f(x)=0$), por lo que deben usarse intervalos abiertos $]x_1, x_2[$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Confundir el signo de x con el signo de la imagen f(x)."

"Incluir los ceros dentro de los intervalos estrictos > 0 o < 0."

"Si una parábola no corta al eje X (Δ < 0), conserva el mismo signo estrictamente en todo su dominio ℝ."

"Invertir los intervalos de positividad y negatividad al olvidar considerar el signo de a."

"Los intervalos de signo de una función cuadrática quedan delimitados por sus ceros reales."

Al terminar debes poder

Resumen La lectura del signo de una función cuadrática a partir de su gráfica consiste en identificar los intervalos del dominio donde la parábola se sitúa por encima del eje $X$ ($f(x) > 0$, positiva) o por debajo del eje $X$ ($f(x) < 0$, negativa), utilizando los ceros reales como puntos de cambio de signo

Leer y determinar los intervalos de signo de una función cuadrática a partir de su gráfica.

Identificando los tramos por encima del eje X (f(x) > 0) y por debajo del eje X (f(x) < 0) delimitados por los ceros.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Una función sin ceros reales puede cambiar de signo.
$f(x)>0$ corresponde a los intervalos donde la gráfica está:
Un valor positivo de f(x) corresponde a un punto arriba del eje x.

Respuesta: A) Por encima del eje $x$
Los ceros de la función dividen el eje $x$ en:
Dentro de cada intervalo, la función mantiene el mismo signo.

Respuesta: A) Intervalos de signo constante

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Para $f(x)=x^2-9$, con ceros en $-3$ y $3$, $f(x)<0$ para $x\in]-3,3[$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para $f(x)=x^2-9$, con ceros en $-3$ y $3$, ¿dónde es $f(x)>0$?
Fuera del intervalo entre los ceros, la parábola cóncava hacia arriba está por encima del eje x.

Respuesta: A) $x<-3$ o $x>3$
Invertir los intervalos de signo positivo y negativo al no considerar la concavidad es un error frecuente.
Para $f(x)=-x^2+9$, con ceros en $-3$ y $3$, ¿dónde es $f(x)>0$?
Entre los ceros, la parábola cóncava hacia abajo está por encima del eje x.

Respuesta: A) $x\in]-3,3[$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al leer el signo de la función?
En los ceros, f(x)=0, ni positivo ni negativo.

Respuesta: A) Incluir los ceros en un intervalo de signo positivo o negativo
El signo de la función se confunde a veces con el signo del coeficiente $a$.
Para $f(x)=x^2-1$, con ceros en $-1$ y $1$, ¿dónde es $f(x)<0$?
Entre los ceros, la parábola cóncava hacia arriba está por debajo del eje x.

Respuesta: A) $x\in]-1,1[$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación