Lectura del signo de la función cuadrática a partir de su gráfica

Resumen inicial

La lectura del signo de una función cuadrática a partir de su gráfica consiste en identificar los intervalos del dominio donde la parábola se sitúa por encima del eje $X$ ($f(x) > 0$, positiva) o por debajo del eje $X$ ($f(x) < 0$, negativa), utilizando los ceros reales como puntos de cambio de signo.

Explicación en palabras simples

La lectura del signo de una función cuadrática a partir de su gráfica consiste en identificar los intervalos del dominio donde la parábola se sitúa por encima del eje $X$ ($f(x) > 0$, positiva) o por debajo del eje $X$ ($f(x) < 0$, negativa), utilizando los ceros reales como puntos de cambio de signo

Mirar el signo de una función en su gráfico es muy visual:

$f(x) > 0$ (Positiva): Son todos los tramos de la curva que están arriba del eje $X$ (las $y$ son positivas).
$f(x) < 0$ (Negativa): Son todos los tramos de la curva que están abajo del eje $X$ (las $y$ son negativas).
$f(x) = 0$ (Cero): Son los puntos exactos donde la curva toca el eje $X$ (las raíces).

Ejemplo: Una parábola que abre hacia arriba con raíces en $x = 1$ y $x = 5$:
- Es positiva ($> 0$) en los extremos: $]-\infty, 1[ \cup ]5, +\infty[$.
- Es negativa ($< 0$) en la cubeta central: $]1, 5[$.

Explicación formal

Sea $f(x) = ax^2 + bx + c$ con ceros reales ordenados $x_1 < x_2$. El análisis de signo por descomposición de Jordan del dominio divide a $\mathbb{R}$ en intervalos abiertos disjuntos:
$$\mathbb{R} \setminus \{x_1, x_2\} = ]-\infty, x_1[ \; \cup \; ]x_1, x_2[ \; \cup \; ]x_2, +\infty[$$

Regla de Signos Topológica:
1. Si $a > 0$ (Cóncava hacia arriba):
$$f(x) > 0 \iff x \in ]-\infty, x_1[ \cup ]x_2, +\infty[, \quad f(x) < 0 \iff x \in ]x_1, x_2[$$
2. Si $a < 0$ (Cóncava hacia abajo):
$$f(x) > 0 \iff x \in ]x_1, x_2[, \quad f(x) < 0 \iff x \in ]-\infty, x_1[ \cup ]x_2, +\infty[$$
3. Si $\Delta < 0$ (Sin ceros reales):
- Si $a > 0 \implies f(x) > 0, \; \forall x \in \mathbb{R}$ (estrictamente positiva).
- Si $a < 0 \implies f(x) < 0, \; \forall x \in \mathbb{R}$ (estrictamente negativa).

Definiciones clave

Conjunto de positividad $\mathcal{P}^+$: Intervalos donde la ordenada es estrictamente mayor que cero: $\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) > 0\}$.
Conjunto de negatividad $\mathcal{P}^-$: Intervalos donde la ordenada es estrictamente menor que cero: $\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) < 0\}$.

Propiedades y relaciones importantes

Exclusión de los ceros: Los ceros $x_1, x_2$ no pertenecen a la positividad ni a la negatividad ($f(x_i) = 0$ es nulo).
Resolución de inecuaciones cuadráticas: Resolver $ax^2 + bx + c > 0$ es equivalente a hallar el conjunto de positividad de la función cuadrática.

Ejemplo guiado

Ejemplo La lectura del signo de una función cuadrática a partir de su gráfica consiste en identificar los intervalos del dominio donde la parábola se sitúa por encima del eje $X$ ($f(x) > 0$, positiva) o por debajo del eje $X$ ($f(x) < 0$, negativa), utilizando los ceros reales como puntos de cambio de signo

A partir de la función $f(x) = -x^2 + 4x - 3$, determina los intervalos donde $f(x) > 0$ y donde $f(x) < 0$.

Paso 1: Identificar concavidad: $a = -1 < 0 \implies$ parábola cóncava hacia abajo ($\cap$).
Paso 2: Calcular ceros: $-x^2 + 4x - 3 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x_1 = 1, \; x_2 = 3$.
Paso 3: Analizar la posición gráfica: - La cumbre de la parábola queda por encima del eje $X$ entre las raíces. - Las ramas caen por debajo del eje $X$ hacia los extremos.
Paso 4: Concluir los intervalos de signo: - **Positiva ($f(x) > 0$):** $x \in ]1, 3[$. - **Negativa ($f(x) < 0$):** $x \in ]-\infty, 1[ \cup ]3, +\infty[$. - **Cero ($f(x) = 0$):** $x \in \{1, 3\}$.

Procedimiento

Paso 1: Determinar la concavidad de la parábola mediante el signo de $a$.
Paso 2: Calcular los ceros reales $x_1$ y $x_2$ resolviendo $f(x) = 0$.
Paso 3: Identificar visual o algebraicamente qué porciones de la curva quedan sobre el eje $X$ ($y > 0$) y bajo el eje $X$ ($y < 0$).
Paso 4: Expresar los intervalos de positividad y negatividad en notación de intervalos abiertos.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Usar corchetes cerrados $[x_1, x_2]$ al escribir los intervalos donde $f(x) > 0$.
Cómo corregirlo: En los extremos $x_1$ y $x_2$, la función vale exactamente cero ($f(x)=0$), por lo que deben usarse intervalos abiertos $]x_1, x_2[$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Invertir los intervalos de positividad y negatividad al olvidar considerar el signo de a."

"Confundir el signo de x con el signo de la imagen f(x)."

"Si una parábola no corta al eje X (Δ < 0), conserva el mismo signo estrictamente en todo su dominio ℝ."

"Incluir los ceros dentro de los intervalos estrictos > 0 o < 0."

"Los intervalos de signo de una función cuadrática quedan delimitados por sus ceros reales."

Al terminar debes poder

Resumen La lectura del signo de una función cuadrática a partir de su gráfica consiste en identificar los intervalos del dominio donde la parábola se sitúa por encima del eje $X$ ($f(x) > 0$, positiva) o por debajo del eje $X$ ($f(x) < 0$, negativa), utilizando los ceros reales como puntos de cambio de signo

Leer y determinar los intervalos de signo de una función cuadrática a partir de su gráfica.

Identificando los tramos por encima del eje X (f(x) > 0) y por debajo del eje X (f(x) < 0) delimitados por los ceros.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Una función sin ceros reales puede cambiar de signo.
$f(x)>0$ corresponde a los intervalos donde la gráfica está:
Un valor positivo de f(x) corresponde a un punto arriba del eje x.

Respuesta: A) Por encima del eje $x$
Los ceros de la función dividen el eje $x$ en:
Dentro de cada intervalo, la función mantiene el mismo signo.

Respuesta: A) Intervalos de signo constante

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Para $f(x)=x^2-9$, con ceros en $-3$ y $3$, $f(x)<0$ para $x\in]-3,3[$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para $f(x)=x^2-9$, con ceros en $-3$ y $3$, ¿dónde es $f(x)>0$?
Fuera del intervalo entre los ceros, la parábola cóncava hacia arriba está por encima del eje x.

Respuesta: A) $x<-3$ o $x>3$
Invertir los intervalos de signo positivo y negativo al no considerar la concavidad es un error frecuente.
Para $f(x)=-x^2+9$, con ceros en $-3$ y $3$, ¿dónde es $f(x)>0$?
Entre los ceros, la parábola cóncava hacia abajo está por encima del eje x.

Respuesta: A) $x\in]-3,3[$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al leer el signo de la función?
En los ceros, f(x)=0, ni positivo ni negativo.

Respuesta: A) Incluir los ceros en un intervalo de signo positivo o negativo
El signo de la función se confunde a veces con el signo del coeficiente $a$.
Para $f(x)=x^2-1$, con ceros en $-1$ y $1$, ¿dónde es $f(x)<0$?
Entre los ceros, la parábola cóncava hacia arriba está por debajo del eje x.

Respuesta: A) $x\in]-1,1[$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación