Lectura del signo de la función cuadrática a partir de su gráfica
Leer, a partir de la gráfica de una función cuadrática, los intervalos donde es positiva, negativa o cero.
Introducción
Observando simplemente si la parábola está por encima o por debajo del eje $x$ en cada tramo, se puede leer directamente el signo de la función sin hacer ningún cálculo adicional.
Explicación
Definición formal
Dada la gráfica de $f(x)=ax^2+bx+c$, se tiene $f(x)>0$ en los intervalos donde la parábola está por encima del eje $x$; $f(x)<0$ donde está por debajo; y $f(x)=0$ exactamente en los ceros de la función (si existen).
Desarrollo didáctico
Los ceros de la función dividen el eje $x$ en intervalos donde el signo de la función se mantiene constante; basta con observar en qué intervalo la curva está arriba o abajo del eje.
Para $f(x)=x^2-4$, con ceros en $x=-2$ y $x=2$: la parábola está por debajo del eje $x$ entre $-2$ y $2$ (donde $f(x)<0$), y por encima fuera de ese intervalo (donde $f(x)>0$).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los ceros de la función, que dividen el eje $x$ en intervalos.
- Paso 2: Para cada intervalo, observa si la parábola está por encima o por debajo del eje $x$.
- Paso 3: Concluye el signo de la función en cada intervalo correspondiente.
Ejemplos
1 Para $f(x)=x^2-9$, con ceros en $x=-3$ y $x=3$, ¿dónde es $f(x)<0$?
- Entre los ceros, la parábola (cóncava hacia arriba) está por debajo del eje $x$.
- $f(x)<0$ para $x \in ]-3,3[$.
2 Para $f(x)=-x^2+9$, con ceros en $x=-3$ y $x=3$, ¿dónde es $f(x)>0$?
- Entre los ceros, la parábola (cóncava hacia abajo) está por encima del eje $x$.
- $f(x)>0$ para $x \in ]-3,3[$.
3 ¿El signo de la función cambia siempre exactamente en sus ceros?
- Los ceros son los únicos puntos donde la gráfica cruza el eje $x$, marcando el límite entre los intervalos de signo constante.
4 ¿Una función sin ceros reales puede cambiar de signo?
- Sin ceros, la gráfica nunca cruza el eje $x$, por lo que el signo de la función es el mismo en todo su dominio.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Invertir los intervalos de signo positivo y negativo al no considerar la concavidad de la parábola."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Incluir o excluir incorrectamente los ceros en los intervalos de signo (los ceros son donde $f(x)=0$, no positivo ni negativo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que toda función cuadrática cambia de signo, sin verificar si tiene ceros reales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el signo de la función con el signo del coeficiente $a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **signo de una función cuadrática** en un intervalo se determina observando si su gráfica está por encima del eje $x$ (positiva), por debajo (negativa), o exactamente sobre él (cero, en los ceros de la función).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Una función sin ceros reales puede cambiar de signo.
Sin ceros, la gráfica nunca cruza el eje x, así que el signo es constante.
Respuesta: Falso
-
$f(x)>0$ corresponde a los intervalos donde la gráfica está:
Un valor positivo de f(x) corresponde a un punto arriba del eje x.
Respuesta: A) Por encima del eje $x$
-
Los ceros de la función dividen el eje $x$ en:
Dentro de cada intervalo, la función mantiene el mismo signo.
Respuesta: A) Intervalos de signo constante
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para $f(x)=x^2-9$, con ceros en $-3$ y $3$, $f(x)<0$ para $x\in]-3,3[$.
Entre los ceros, la parábola cóncava hacia arriba está por debajo del eje x.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Para $f(x)=x^2-9$, con ceros en $-3$ y $3$, ¿dónde es $f(x)>0$?
Fuera del intervalo entre los ceros, la parábola cóncava hacia arriba está por encima del eje x.
Respuesta: A) $x<-3$ o $x>3$
-
Invertir los intervalos de signo positivo y negativo al no considerar la concavidad es un error frecuente.
La concavidad determina si el intervalo entre ceros es positivo o negativo.
Respuesta: Verdadero
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Para $f(x)=-x^2+9$, con ceros en $-3$ y $3$, ¿dónde es $f(x)>0$?
Entre los ceros, la parábola cóncava hacia abajo está por encima del eje x.
Respuesta: A) $x\in]-3,3[$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al leer el signo de la función?
En los ceros, f(x)=0, ni positivo ni negativo.
Respuesta: A) Incluir los ceros en un intervalo de signo positivo o negativo
-
El signo de la función se confunde a veces con el signo del coeficiente $a$.
Son conceptos distintos: el signo de a determina concavidad, no el signo de f(x) en un punto.
Respuesta: Verdadero
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Para $f(x)=x^2-1$, con ceros en $-1$ y $1$, ¿dónde es $f(x)<0$?
Entre los ceros, la parábola cóncava hacia arriba está por debajo del eje x.
Respuesta: A) $x\in]-1,1[$