Construcción de una tabla de valores para graficar una función cuadrática

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

La construcción de una tabla de valores organiza sistemáticamente preimágenes $x$ e imágenes calculadas $y = f(x)$ alrededor del vértice $x_v = -\frac{b}{2a}$, aprovechando la simetría de la función cuadrática.

Explicación en palabras simples

La construcción de una tabla de valores organiza sistemáticamente preimágenes $x$ e imágenes calculadas $y = f(x)$ alrededor del vértice $x_v = -\frac{b}{2a}$, aprovechando la simetría de la función cuadrática

Para graficar una parábola construyendo una tabla de valores de forma rápida e inteligente:

  1. Calcula primero el centro (la $x$ del vértice):
    $$x_v = -\frac{b}{2a}$$
  2. Coloca ese valor en el centro de tu tabla.
  3. Elige valores simétricos a la izquierda y a la derecha:
  4. Por ejemplo, si el centro es $x = 2$, toma a la izquierda $x = 1, 0$ y a la derecha $x = 3, 4$.
  5. ¡Magia de la simetría! Las imágenes a la misma distancia del centro darán exactamente el mismo resultado ($f(1) = f(3)$ y $f(0) = f(4)$), ¡ahorrándote la mitad de los cálculos!

Explicación formal

Dada $f(x) = ax^2 + bx + c$, la tabla de tabulación simétrica se construye evaluando el operador $f$ sobre una partición uniforme centrada en $x_v$:
$$\mathcal{P} = \{x_v - 2h, \; x_v - h, \; x_v, \; x_v + h, \; x_v + 2h\}, \quad h > 0$$

Propiedad de invarianza par centrada:
$$f(x_v + k) = f(x_v - k) = a k^2 + f(x_v)$$
Esta propiedad demuestra formalmente que las ordenadas calculadas a distancia $k$ del vértice coinciden idénticamente, optimizando el cálculo de pares ordenados $(x_i, y_i)$.

Comprueba tu avance ¿Por qué es altamente recomendable centrar la tabla de valores en el vértice x_v = -b/(2a)?

Definiciones clave

  • Tabla de valores: Disposición tabular de pares ordenados $(x, y)$ generados mediante la regla de correspondencia de la función.
  • Partición centrada en el vértice: Selección equilibrada de puntos que asegura graficar ambas ramas de la parábola.

Propiedades y relaciones importantes

  • Reducción de complejidad: Solo se requiere evaluar formalmente $(n+1)/2$ valores debido a la simetría especular.
  • Detección del vértice en la tabla: El valor de $y$ que no se repite y representa el extremo de la columna corresponde al vértice.

Ejemplo guiado

Ejemplo La construcción de una tabla de valores organiza sistemáticamente preimágenes $x$ e imágenes calculadas $y = f(x)$ alrededor del vértice $x_v = -\frac{b}{2a}$, aprovechando la simetría de la función cuadrática

Construye una tabla de valores centrada en el vértice para la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$ usando 5 puntos clave.

  • Paso 1: Calcular la abscisa del vértice: $x_v = -\frac{-4}{2(1)} = 2$.
  • Paso 2: Seleccionar las preimágenes alrededor de $x = 2$: $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
  • Paso 3: Evaluar el vértice: $f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \implies (2, -1)$.
  • Paso 4: Evaluar los puntos a 1 unidad ($x = 1$ y $x = 3$): $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0 \implies (1, 0)$ $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0 \implies (3, 0)$.
  • Paso 5: Evaluar los puntos a 2 unidades ($x = 0$ y $x = 4$): $f(0) = 0 - 0 + 3 = 3 \implies (0, 3)$ $f(4) = 16 - 16 + 3 = 3 \implies (4, 3)$.
  • Paso 6: Tabla resultante: | $x$ | 0 | 1 | 2 (V) | 3 | 4 | | $y$ | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 |
Comprueba tu avance En una tabla de valores de una parábola con vértice en x = 3, se tiene que f(1) = 7. ¿Cuánto vale f(5)?

Procedimiento

  • Paso 1: Calcular la abscisa del vértice $x_v = -\frac{b}{2a}$.
  • Paso 2: Definir preimágenes simétricas consecutivas a la izquierda y derecha de $x_v$.
  • Paso 3: Evaluar $f(x_v)$ para registrar las coordenadas del vértice.
  • Paso 4: Evaluar las preimágenes equidistantes verificando la igualdad de sus ordenadas.
  • Paso 5: Registrar los pares $(x_i, y_i)$ en la tabla.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Tabular solo valores positivos ($x = 1, 2, 3, 4, 5$) cuando el vértice está en $x = -3$, graficando solo un trozo de una rama.
  • Cómo corregirlo: Calcula siempre primero $x_v$ y toma puntos alrededor de dicho centro.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Para $f(x) = 2x^2 - 1$, ¿cuánto vale $f(-2)$ y $f(2)$?
2 Una tabla muestra: $x: -1, 0, 1, 2, 3$ con $y: 5, 0, -3, 0, 5$. ¿Dónde está el vértice?
3 Si $x_v = 4$ y $f(6) = 11$, ¿cuál es el valor de $f(2)$?
4 En $g(x) = -x^2 + 4$, ¿cuánto vale $g(1)$ y $g(-1)$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Puntos situados a la misma distancia horizontal del vértice poseen idéntica coordenada y."
"Olvidar usar la propiedad de simetría para auto-verificar los cálculos."
"Centrar la tabla en el vértice x_v garantiza visualizar ambas ramas de la parábola."
"Elegir un rango de x que no contiene al vértice."
"Cometer errores de signos en potencias con base negativa."

Al terminar debes poder

Resumen La construcción de una tabla de valores organiza sistemáticamente preimágenes $x$ e imágenes calculadas $y = f(x)$ alrededor del vértice $x_v = -\frac{b}{2a}$, aprovechando la simetría de la función cuadrática

🎯 QUÉ Objetivo

Construir tablas de valores optimizadas para graficar funciones cuadráticas.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Calculando el vértice central y evaluando pares simétricos equidistantes f(x_v ± k).

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra y Funciones / Análisis Gráfico de la Función Cuadrática

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Para construir una tabla de valores útil, conviene elegir puntos:

  2. Basta con tres valores de $x$ para representar correctamente una parábola.

  3. Antes de elegir los valores de $x$ para la tabla, conviene:

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Para $f(x)=x^2$, $f(-2)=4$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Para $f(x)=x^2-4x+3$, ¿cuál es el valor de $f(2)$?

  2. Para $f(x)=x^2-4x+3$, ¿cuáles son los pares $(1,f(1))$ y $(3,f(3))$?

  3. No incluir el vértice entre los valores calculados es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Para $f(x)=-x^2+4$, $f(-1)=3$ y $f(1)=3$.

  2. Para $f(x)=2x^2-8x+6$, ¿cuál es el par $(0,f(0))$?

  3. ¿Cuál es el error frecuente al construir una tabla de valores?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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