Cálculo de la intersección de la parábola con el eje Y

Resumen inicial

El cálculo de la intersección con el eje $Y$ se realiza evaluando la función cuadrática en $x = 0$, obteniendo de forma directa el punto cartesiano $(0, c)$, el cual existe y es único para toda función cuadrática.

Explicación en palabras simples

El cálculo de la intersección con el eje $Y$ se realiza evaluando la función cuadrática en $x = 0$, obteniendo de forma directa el punto cartesiano $(0, c)$, el cual existe y es único para toda función cuadrática

Para saber en qué número exacto la parábola choca con la línea vertical del eje $Y$:

Solo tienes que cambiar la $x$ por cero ($x = 0$):
$$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$$
Por lo tanto, el punto de corte con el eje $Y$ es $(0, c)$.
¡Es instantáneo! El término independiente $c$ te da la respuesta directamente.
Ejemplo: En $f(x) = 2x^2 + 5x - 7$, el corte con el eje $Y$ es el punto $(0, -7)$.
Toda parábola corta al eje $Y$ exactamente una sola vez.

Explicación formal

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$). La intersección con el eje de ordenadas corresponde a la solución del sistema algebraico:
$$\begin{cases} y = ax^2 + bx + c \\ x = 0 \end{cases} \Longrightarrow y = c \implies P_Y = (0, c)$$

Teorema de Existencia y Unicidad del Corte Vertical:
1. Existencia universal: Como $0 \in \text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, $f(0)$ está siempre definida.
2. Unicidad funcional: Por la propiedad fundamental de las funciones ($x = 0$ no puede tener dos imágenes distintas), la intersección con el eje $Y$ es estrictamente única.
3. Criterio del origen: La gráfica contiene al origen si y solo si $c = 0$ ($P_Y = (0, 0)$).

Definiciones clave

Ordenada al origen: Valor escalar $c = f(0)$ correspondiente a la cota vertical de corte con el eje $Y$.
Punto de intersección vertical: Par ordenado $(0, c)$ en el plano cartesiano.

Propiedades y relaciones importantes

Independencia del discriminante: A diferencia de los cortes con el eje $X$, el corte con el eje $Y$ existe siempre, incluso si $\Delta < 0$.
Traslación vertical: Sumar una constante $k$ a la función ($f(x) + k$) traslada el punto de corte a $(0, c + k)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo El cálculo de la intersección con el eje $Y$ se realiza evaluando la función cuadrática en $x = 0$, obteniendo de forma directa el punto cartesiano $(0, c)$, el cual existe y es único para toda función cuadrática

Calcula el punto de corte con el eje Y para las funciones:
1) $f(x) = -3x^2 + 8x - 14$
2) $g(x) = 2(x + 1)(x - 5)$

Paso 1: Para $f(x) = -3x^2 + 8x - 14$: - Se lee directamente el término constante: $c = -14$. - Punto de corte con eje $Y$: $(0, -14)$.
Paso 2: Para $g(x) = 2(x + 1)(x - 5)$: - Evaluar en $x = 0$: $g(0) = 2(0 + 1)(0 - 5) = 2(1)(-5) = -10$. - Punto de corte con eje $Y$: $(0, -10)$.

Procedimiento

Paso 1: Si la función está en forma general, extraer la constante $c$.
Paso 2: Si está factorizada o en forma de vértice, evaluar $f(0)$.
Paso 3: Escribir el par ordenado con abscisa cero: $(0, c)$ o $(0, f(0))$.
Paso 4: Ubicar el punto sobre el eje vertical $Y$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir el corte como $(c, 0)$ en lugar de $(0, c)$.
Cómo corregirlo: En el eje $Y$, la primera coordenada (abscisa) es siempre 0: $(0, c)$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Toda función cuadrática real interseca al eje vertical Y exactamente una vez en (0, c)."

"Invertir el orden del par ordenado escribiendo (c, 0)."

"Creer que si Δ < 0 la parábola no corta al eje Y."

"La intersección con el eje Y se calcula inmediatamente evaluando f(0)."

"Confundir cortes con el eje X con el corte con el eje Y."

Al terminar debes poder

Resumen El cálculo de la intersección con el eje $Y$ se realiza evaluando la función cuadrática en $x = 0$, obteniendo de forma directa el punto cartesiano $(0, c)$, el cual existe y es único para toda función cuadrática

Calcular e identificar el punto de intersección de una parábola con el eje Y.

Extrayendo el término independiente c o evaluando f(0) para formular el punto cartesiano (0, c).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

La intersección de $f(x)=ax^2+bx+c$ con el eje $y$ es el punto:
f(0)=c.

Respuesta: A) $(0,c)$
Toda función cuadrática interseca al eje $y$ exactamente una vez.
La intersección con el eje $y$ depende de:
a y b se anulan al multiplicarse por x=0.

Respuesta: A) Únicamente del término independiente $c$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

La intersección con el eje $y$ de $f(x)=2x^2-7x+9$ es $(0,9)$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Determina la intersección con el eje $y$ de $f(x)=-4x^2+x-3$.
c=-3.

Respuesta: A) $(0,-3)$
Determina la intersección con el eje $y$ de $f(x)=x^2-5x$.
No hay término independiente, por lo que c=0.

Respuesta: A) $(0,0)$
Confundir la intersección con el eje $y$ con los ceros de la función es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

La intersección con el eje $y$ de $f(x)=8x^2-2x$ es $(0,0)$.
Determina la intersección con el eje $y$ de $f(x)=-x^2+6x-11$.
c=-11.

Respuesta: A) $(0,-11)$
¿Cuál es el error frecuente al calcular la intersección con el eje $y$?
La respuesta correcta es el punto completo, no solo el número.

Respuesta: A) Reportar solo el valor $c$ en vez del punto completo $(0,c)$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación