Factorización polinomial a partir de raíces conocidas
Consolidar el uso de raíces dadas o calculadas para construir la expresión factorizada total de un polinomio, incluyendo coeficientes líderes.
Introducción
A veces el problema te da la solución en bandeja: "Construye un polinomio sabiendo que sus raíces son estas". Esta es la ingeniería inversa definitiva del Teorema del Factor. Pasarás de tener puntos dispersos en un plano a construir la ecuación maestra que los rige.
Explicación
Definición formal
Por el Teorema del Factor, cada raíz $r_i$ de un polinomio $P(x)$ de grado $n$ aporta un factor lineal $(x-r_i)$. Si $P$ tiene exactamente $n$ raíces $r_1, \dots, r_n$ (contando multiplicidad), estos $n$ factores agotan el grado del polinomio, por lo que $P(x) = a(x-r_1)(x-r_2)\dots(x-r_n)$ para alguna constante $a$ que ajusta la escala vertical.
Desarrollo didáctico
Imagínate que alguien te dice: "Tengo un polinomio de tercer grado. Sus raíces son $5$, $-2$ y $0$.
¿Puedes reconstruirlo?
Por supuesto.
- Si la raíz es $5$, su factor es $(x - 5)$.
- Si la raíz es $-2$, su factor es $(x - (-2)) = (x + 2)$.
- Si la raíz es $0$, su factor es $(x - 0) = x$.
Multiplicamos las piezas maestras:
$P(x) = x \cdot (x - 5) \cdot (x + 2)$.
Si te pidieran la forma expandida, simplemente multiplicas todo:
$x \cdot (x^2 - 3x - 10) = x^3 - 3x^2 - 10x$.
La única trampa es el "coeficiente $a$". Si el problema te dice que el polinomio cruza el eje Y en 20, tendrás que añadir una letra '$a$' multiplicando al frente: $P(x) = a(x)(x-5)(x+2)$ y resolver para '$a$' evaluando en un punto dado.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Transforma cada raíz $r$ dada en un factor $(x - r)$.
- Paso 2: Multiplica todos los factores entre sí.
- Paso 3: Si te dan el coeficiente líder de $x^n$, colócalo multiplicando al frente de todo.
- Paso 4: Si te piden la forma general, aplica distributiva múltiple para expandir los paréntesis.
- Se invierten los signos: (x - 6) y (x - (-1)).
Ejemplos
1 Construye un polinomio factorizado con raíces $1, 2$ y $3$.
- Factores: $(x-1)$, $(x-2)$, $(x-3)$.
- Ensamblaje: $P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$.
2 Crea un polinomio cuadrático con raíz doble en -4.
- Una raíz doble significa que el factor aparece dos veces. El factor es (x - (-4)) = (x+4). Al repetirlo, es (x+4)^2.
3 Respecto de «Factorización polinomial a partir de raíces conocidas»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «Si un polinomio tiene raíces $r_1, r_2, \dots, r_n$, su factorización completa se expresa como $P(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\dots(x - r_n)$, donde '$a$' es un coeficiente líder (constante de ajuste de escala)»
- La afirmación coincide con la definición formal: Si un polinomio tiene raíces $r_1, r_2, \dots, r_n$, su factorización completa se expresa como $P(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\dots(x - r_n)$, donde '$a$' es un coeficiente líder (constante de ajuste de escala).
4 Respecto de «Factorización polinomial a partir de raíces conocidas»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «Olvidar cambiar el signo al meter la raíz en el paréntesis. (Ej: con raíz $3$, poner $(x+3)$ en lugar de $(x-3)$)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Si un polinomio tiene raíces $r_1, r_2, \dots, r_n$, su factorización completa se expresa como $P(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\dots(x - r_n)$, donde '$a$' es un coeficiente líder (constante de ajuste de escala).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar cambiar el signo al meter la raíz en el paréntesis. (Ej: con raíz $3$, poner $(x+3)$ en lugar de $(x-3)$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si te dan una raíz fraccionaria como $1/2$, escribir $(x - 1/2)$ está bien, pero es más elegante (y algebraicamente preferido) escribirlo como $(2x - 1)$ para evitar fracciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$(x+6)(x-1)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si el problema indica que el coeficiente de la variable de mayor grado (coeficiente principal o líder) es 3, ¿dónde se ubica en la factorización», la respuesta correcta es Se suma al final."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si el problema indica que el coeficiente de la variable de mayor grado (coeficiente principal o líder) es 3, ¿dónde se ubica en la factorización», la respuesta correcta es Se eleva al cuadrado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si un polinomio tiene raíces $r_1, r_2, \dots, r_n$, su factorización completa se expresa como $P(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\dots(x - r_n)$, donde '$a$' es un coeficiente líder (constante de ajuste de escala).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si el problema indica que el coeficiente de la variable de mayor grado (coeficiente principal o líder) es 3, ¿dónde se ubica en la factorización?
El coeficiente líder ajusta la "altura" de la curva, y multiplica a toda la expresión.
Respuesta: B) Se multiplica al principio de todos los factores: $3(x-a)(x-b)$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Qué polinomio tiene como únicas raíces a $0$ y $5$?
Factores: (x-0) y (x-5). Multiplicados: x(x-5) = x^2 - 5x.
Respuesta: B) $x^2 - 5x$
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Construye un polinomio cúbico con raíces $1, -1$ y $2$, y luego expándelo.
Factores: (x-1)(x+1)(x-2). Primero multiplicamos (x-1)(x+1) = x^2-1. Luego (x^2-1)(x-2) = x^3 - 2x^2 - x + 2.
Respuesta: A) $x^3 - 2x^2 - x + 2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si una raíz es la fracción $3/4$, el factor correspondiente puede escribirse sin fracciones como $(4x-3)$?
Sí. Despejando $x = 3/4 \rightarrow 4x = 3 \rightarrow 4x - 3 = 0$. Es el mismo factor escalado por 4.
Respuesta: Verdadero
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¿Un polinomio con raíces 2, 4 y 6 será forzosamente de grado 3 (como mínimo)?
Cada raíz distinta requiere un factor lineal 'x'. Multiplicar tres 'x' genera un $x^3$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si me dicen que el polinomio tiene raíz doble en 3, la factorización es $(x-3)(x-3)$ o $(x-3)^2$?
Una raíz con "multiplicidad" (repetida) significa que el paréntesis se eleva a esa potencia.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un modelo de rentabilidad corta el eje del tiempo (X) en los años 2 y 5. Sabiendo que es una función cuadrática y que el año 3 generó 4 millones en pérdidas (es decir $P(3) = -4$), encuentra la expresión exacta del modelo factorizado.
El esqueleto es P(t) = a(t-2)(t-5). Evaluamos t=3: a(3-2)(3-5) = -4 -> a(1)(-2) = -4 -> -2a = -4 -> a=2. Respuesta es 2(t-2)(t-5).
Respuesta: A) $P(t) = 2(t-2)(t-5)$
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En una prueba te entregan el gráfico de un polinomio que cruza el eje X exactamente en los valores -3, 0 y 4. Te preguntan por un posible divisor exacto de este polinomio. ¿Cuál sirve?
Las raíces son (x+3), x y (x-4). Si multiplicas x(x+3) da x^2+3x. Si multiplicas x(x-4) da x^2-4x. Si multiplicas (x+3)(x-4) da x^2-x-12. Todos son divisores correctos.
Respuesta: D) Todas las anteriores son posibles divisores (factores cuadráticos armados con las raíces).