Evaluación de un polinomio en un valor dado
Resumen inicial
La evaluación de un polinomio en un valor dado consiste en sustituir la variable indeterminada $x$ por un valor constante $k$ para calcular numéricamente el valor $P(k)$.
Explicación en palabras simples
Para evaluar un polinomio $P(x)$ en un número específico $x = k$ (ej: $P(x) = x^3 - 4x + 6$ en $x = 2$):
- PROCEDIMIENTO PASO A PASO:
1. Reemplaza cada $x$ por un paréntesis $(k)$:
- $P(2) = (2)^3 - 4(2) + 6$.
2. Calcula primero las potencias:
- $(2)^3 = 8$.
3. Resuelve las multiplicaciones:
- $-4(2) = -8$.
4. Suma y resta numéricamente los resultados:
- $P(2) = 8 - 8 + 6 = \mathbf{6}$.
- Interpretación del Teorema del Resto:
- ¡El valor $P(k)$ obtenido es exactamente el resto o residuo de dividir el polinomio $P(x)$ por el binomio $(x - k)$!
Explicación formal
Definición formal
Sea el polinomio en una variable $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i \in \mathbb{R}[x]$ de grado $n \ge 1$ y sea $k \in \mathbb{R}$. La función de evaluación polinomial en el punto $k$ define el morfismo de sustitución:
$$\operatorname{eval}_k : \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}, \quad P(x) \mapsto P(k) = a_n k^n + a_{n-1} k^{n-1} + \dots + a_1 k + a_0$$
Teorema del Resto (Teorema de D'Alembert)
Para todo polinomio $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ y cualquier constante $k \in \mathbb{R}$, al dividir $P(x)$ entre el binomio de primer grado $(x - k)$, existe un único polinomio cociente $Q(x)$ y una constante resto $R \in \mathbb{R}$ tales que:
$$P(x) = Q(x)(x - k) + R$$
Evaluando la identidad en $x = k$:
$$P(k) = Q(k)(k - k) + R = Q(k)(0) + R = \mathbf{R}$$
Por tanto, el resto de la división polinomial $P(x) \div (x - k)$ coincide idénticamente con el valor numérico $P(k)$.
Síntesis didáctica
Sustituir $x = k$ en un polinomio $P(x)$ calcula el valor funcional $P(k)$, el cual equivale al residuo de la división por $(x - k)$.
La alternativa correcta es 'Equivale a evaluar $P(2) = 2^4 - 2(2) + 5 = 16 - 4 + 5 = 17$'. Teorema del Resto: $R = P(k) \implies P(2) = 17$.
Definiciones clave
- Evaluación polinomial ($P(k)$): Valor numérico real obtenido al reemplazar la variable $x$ por la constante $k$.
- Teorema del Resto: Teorema que establece que el resto de dividir $P(x)$ entre $(x - k)$ es $P(k)$.
- Morfismo de sustitución: Regla matemática que preserva las operaciones de suma y producto al reemplazar $x$ por un número.
Propiedades y relaciones importantes
- Equivalencia de residuo: Si $P(k) = 0$, la división por $(x - k)$ es exacta y no deja residuo.
Ejemplo guiado
Evalúa el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$ en $x = 3$ y determina el resto de la división por $(x - 3)$.
- Paso 1: Sustituimos la variable $x$ por $3$: $P(3) = 2(3)^3 - 5(3)^2 + 3(3) - 7$.
- Paso 2: Calculamos las potencias de 3: - $3^3 = 27$. - $3^2 = 9$.
- Paso 3: Efectuamos los productos: - $2(27) = 54$. - $-5(9) = -45$. - $3(3) = 9$.
- Paso 4: Sumamos los resultados numéricos: $P(3) = 54 - 45 + 9 - 7 = \mathbf{11}$.
- Conclusión: El valor del polinomio evaluado es **$P(3) = 11$**, y por el Teorema del Resto, la división de $P(x)$ por $(x - 3)$ deja un resto igual a **$11$**.
La alternativa correcta es 'Representa que la división de $P(x)$ por $(x + 1)$ es exacta con resto 0'. $R = P(-1) = 0 \implies (x - (-1)) = (x + 1)$ divide exactamente a $P(x)$.
Procedimiento
- Paso 1: Reemplazar todas las apariciones de la variable $x$ por el valor constante $k$ entre paréntesis.
- Paso 2: Desarrollar en primer lugar las potencias cuadráticas, cúbicas o superiores de $k$.
- Paso 3: Realizar las multiplicaciones de los coeficientes por los resultados numéricos de las potencias.
- Paso 4: Sumar y restar algebraicamente todos los términos para obtener la constante final $P(k)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Multiplicar el coeficiente por la variable antes de elevar a la potencia (escribir $2(3)^3 = (6)^3 = 216$). Cómo corregirlo: La jerarquía de operaciones EXIGE ELEVAR PRIMERO A LA POTENCIA Y LUEGO MULTIPLICAR POR EL COEFICIENTE ($2(3)^3 = 2(27) = 54$).
- Error 2: Evaluar en el signo opuesto al binomio divisor (evaluar $P(-3)$ cuando el divisor es $(x - 3)$). Cómo corregirlo: Para el divisor $(x - k)$ SE DEBE EVALUAR EN EL VALOR POSITIVO $x = +k$ (la raíz del divisor).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Sí, sustitución directa.
- Sí, $(-2)^2 = 4$.
- Sí, la potencia antecede al producto.
- Sí, por el Teorema de D´Alembert.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Evaluar polinomios en valores constantes k e interpretar el resultado como el resto de la división por (x - k).
Sustituir $x = k$ en la expresión polinomial $P(x)$, resolviendo según la jerarquía de operaciones primero potencias, luego productos y finalmente sumas ($R = P(k)$).