Factorización del trinomio de la forma x² + px + q
Factorizar trinomios donde el término independiente es negativo, obligando al uso de dos números con signos opuestos.
Introducción
Aquí la cosa se pone interesante. Cuando el tercer término es negativo, los números que buscamos pertenecen a bandos enemigos: uno es positivo y el otro negativo. La batalla se decide en la suma: el número más grande impondrá su signo.
Explicación
Definición formal
El producto de un positivo y un negativo siempre resulta negativo.
Desarrollo didáctico
Analicemos el trinomio $x^2 + 2x - 15$.
- Producto: $-15$. Esto significa que uno será $(+)$ y el otro $(-)$.
- Suma: $+2$. Como la suma dio positivo, el número más grande tiene que ser el positivo.
Escribimos las parejas que dan 15 (olvida el signo un segundo):
- 1 y 15 (La resta/diferencia es 14) -> No.
- 3 y 5 (La resta/diferencia es 2) -> Sí.
Nuestros números son 3 y 5. Como el término central $+2$ es positivo, le damos el signo $+$ al mayor (el 5) y el signo $-$ al menor (el 3).
Factorización: $(x + 5)(x - 3)$.
(Si el centro hubiera sido $-2x$, habría sido al revés: el mayor habría sido negativo, quedando $(x - 5)(x + 3)$).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Si el 3er término es negativo, pre-escribe paréntesis con signos opuestos: $(x + \quad)(x - \quad)$.
- Paso 2: Busca dos números que multiplicados den el 3er término y cuya RESTA dé el valor numérico del término central.
- Paso 3: Mira el signo del término central.
- Paso 4: Asigna el signo central al número mayor, y el signo contrario al número menor.
Ejemplos
1 Factoriza $x^2 - 4x - 12$.
- Multiplicados: 12. Restados: 4. Las opciones son (1,12), (2,6), (3,4). La pareja es 2 y 6.
- Signo central es (-). El número mayor (6) será negativo.
- Los números son -6 y +2.
- Resultado: $(x - 6)(x + 2)$.
2 Factoriza $y^2 + y - 20$.
- Parejas de 20 restadas que den 1: son 4 y 5. El mayor (5) lleva el signo positivo del centro (+1y).
3 Respecto de «Factorización del trinomio de la forma x² + px + q»: ¿Se ajusta a la definición esta afirmación? «Si en un trinomio $x^2 + px - q$ el término independiente (q) es negativo, los binomios resultantes tendrán signos distintos: $(x + a)(x - b)$»
- La afirmación coincide con la definición formal: Si en un trinomio $x^2 + px - q$ el término independiente (q) es negativo, los binomios resultantes tendrán signos distintos: $(x + a)(x - b)$.
4 Respecto de «Factorización del trinomio de la forma x² + px + q»: ¿Es compatible con el procedimiento esta afirmación? «Confundir cuál número lleva cuál signo, terminando con el trinomio inverso (ej. con $-2x$ central en vez de $+2x$)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Si en un trinomio $x^2 + px - q$ el término independiente (q) es negativo, los binomios resultantes tendrán signos distintos: $(x + a)(x - b)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir cuál número lleva cuál signo, terminando con el trinomio inverso (ej. con $-2x$ central en vez de $+2x$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Intentar sumar los números en vez de restarlos cuando el 3er término es negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si el término independiente de un trinomio es negativo, ¿qué puedes deducir de los números que lo factorizan», la respuesta correcta es Ambos son negativos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si el término independiente de un trinomio es negativo, ¿qué puedes deducir de los números que lo factorizan», la respuesta correcta es Ambos son positivos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si el término independiente de un trinomio es negativo, ¿qué puedes deducir de los números que lo factorizan», la respuesta correcta es Ninguno es negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si en un trinomio $x^2 + px - q$ el término independiente (q) es negativo, los binomios resultantes tendrán signos distintos: $(x + a)(x - b)$. El término central indicará cuál de los dos números encontrados era mayor en valor absoluto.