Búsqueda del par numérico asociado al trinomio mónico

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

La búsqueda del par numérico asociado al trinomio mónico consiste en hallar dos enteros $r$ y $s$ que satisfagan simultáneamente las ecuaciones $r \cdot s = q$ (producto) y $r + s = p$ (suma).

Explicación en palabras simples

Para factorizar $x^2 + px + q$ (ej: $x^2 + 7x + 12$):
- SISTEMA DE BÚSQUEDA DEL PAR NUMÉRICO ($r, s$):
1. Buscamos el PRODUCTO ($r \cdot s = q$):
- Debes buscar dos números que multiplicados den $12$.
- Posibilidades: $(1, 12), (2, 6), (3, 4)$.
2. Buscamos la SUMA ($r + s = p$):
- Esos mismos dos números deben sumar $7$.
- Probamos: $1 + 12 = 13$, $2 + 6 = 8$, $3 + 4 = \mathbf{7}$.
3. ¡Encontraste el Par Numérico!:
- El par es $r = 3$ y $s = 4$ (¡porque $3 \cdot 4 = 12$ y $3 + 4 = 7$!).
- Regla de los Signos del Par:
- Si $q > 0$: $r$ y $s$ tienen el mismo signo (ambos $+$ o ambos $-$).
- Si $q < 0$: $r$ y $s$ tienen signos opuestos (uno $+$ y uno $-$).

Búsqueda del par numérico

Explicación formal

Definición formal

Sea el trinomio cuadrático mónico $P(x) = x^2 + px + q \in \mathbb{Z}[x]$. El problema de la búsqueda del par numérico entero $(r, s) \in \mathbb{Z}^2$ equivale a la resolución del sistema no lineal de ecuaciones diofánticas:

$$\begin{cases} r \cdot s = q & \text{(Ecuación de producto)} \\ r + s = p & \text{(Ecuación de suma)} \end{cases}$$

Análisis de Signos de la Pareja $(r, s)$

El dominio de soluciones se restringe unívocamente mediante el signo de $q$ y $p$:
- Caso 1 ($q > 0, p > 0$): $r > 0 \land s > 0$ (ambos positivos).
- Caso 2 ($q > 0, p < 0$): $r < 0 \land s < 0$ (ambos negativos).
- Caso 3 ($q < 0, p > 0$): Signos distintos, el mayor en valor absoluto es positivo.
- Caso 4 ($q < 0, p < 0$): Signos distintos, el mayor en valor absoluto es negativo.

Síntesis didáctica

Probar ordenadamente los divisores enteros del término independiente $q$ hasta que su suma algebraica coincida con el coeficiente $p$ permite hallar la parejita $(r, s)$.

Comprueba tu avance ¿Cuál es el par numérico $(r, s)$ necesario para factorizar el trinomio $x^2 - 9x + 20$?

Definiciones clave

  • Par numérico ($r, s$): Par ordenado de números reales o enteros que satisfacen $r + s = p$ y $r \cdot s = q$.
  • Divisores del término independiente: Conjunto de parejas de enteros cuyo producto da el término libre $q$.
  • Suma algebraica ($r + s$): Adición que considera los signos relativos para coincidir con el coeficiente del término lineal $p$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Simetría del par: El orden del par es indistinto ($r$ y $s$ son intercambiables en la adición y multiplicación).

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

Encuentra el par numérico $(r, s)$ para factorizar el trinomio $x^2 - 5x - 14$.

  • Paso 1: Identificamos los parámetros: $p = -5$ y $q = -14$.
  • Paso 2: Como $q = -14 < 0$, los números $r$ y $s$ deben tener **signos opuestos**.
  • Paso 3: Listamos las parejas que multiplicadas dan $-14$: - $(1, -14) \implies \text{Suma } = 1 - 14 = -13$. - $(-1, 14) \implies \text{Suma } = -1 + 14 = 13$. - $(2, -7) \implies \text{Suma } = 2 - 7 = \mathbf{-5}$ (¡coincide exactamente con $p$!). - $(-2, 7) \implies \text{Suma } = -2 + 7 = 5$.
  • Paso 4: Seleccionamos el par que suma $-5$: $r = 2$ y $s = -7$.
  • Conclusión: El par numérico es **$r = 2$ y $s = -7$** (puesto que $2 \cdot (-7) = -14$ y $2 + (-7) = -5$).
Comprueba tu avance Si $q = -18$ y $p = +3$, ¿qué signos deben tener los números $r$ y $s$ y cuál es el par correcto?

Procedimiento

  • Paso 1: Listar todas las parejas de números enteros cuyo producto sea igual a $q$.
  • Paso 2: Evaluar los signos de las parejas según si $q$ es positivo o negativo.
  • Paso 3: Calcular la suma de cada pareja de números.
  • Paso 4: Seleccionar la pareja cuya suma algebraica sea exactamente igual al coeficiente $p$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Invertir la regla buscando dos números que sumen $q$ y multipliquen $p$. Cómo corregirlo: La regla EXIGE MULTIPLICAR $q$ (término constante) Y SUMAR $p$ (término lineal).
  • Error 2: Asignar mal los signos cuando $q < 0$ (elegir $-7$ y $+2$ para sumar $+5$). Cómo corregirlo: Cuando el resultado de la suma debe ser positivo, EL NÚMERO DE MAYOR VALOR ABSOLUTO DEBE LLEVAR EL SIGNO POSITIVO (+7 y -2).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Para $q = 12$ y $p = 7$, ¿es el par $(3, 4)$?
2 Para $q = 15$ y $p = -8$, ¿es el par $(-3, -5)$?
3 Para $q = -12$ y $p = 1$, ¿es el par $(4, -3)$?
4 Para $q = -20$ y $p = -1$, ¿es el par $(-5, 4)$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Si el término independiente $q$ es negativo, las dos componentes del par numérico tienen signos opuestos."
"El par numérico $(r, s)$ de un trinomio mónico debe multiplicar $q$ y sumar $p$."
"Olvidar probar todas las combinaciones de factores de q."
"Erración en los signos de los números enteros al calcular la suma de parejas con signo negativo."
"Invertir las condiciones de búsqueda tratando de sumar el término independiente y multiplicar el coeficiente lineal."
"Elegir una pareja que cumple el producto pero no satisface la suma algebraica requerida."
"Ignorar que dos números negativos dan un producto positivo."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Encontrar el par numérico (r, s) para cualquier trinomio mónico satisfaciendo simultáneamente r · s = q y r + s = p.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Listar los pares de divisores de $q$ respetando la regla de signos ($q > 0 \implies$ mismo signo; $q < 0 \implies$ signos opuestos) y seleccionar la pareja cuya suma algebraica sea idéntica a $p$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra 8° Básico / Operaciones Algebraicas.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Si en $x^2 + bx + c$, la letra 'c' es positiva y 'b' es negativa, ¿qué puedes deducir de los números que buscas?

  2. ¿Por qué es matemáticamente imposible que la factorización de $x^2 - 5x + 6$ contenga signos distintos como $(x+2)(x-3)$?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Factoriza el trinomio $m^2 - 13m + 30$.

  2. ¿Cuál es la forma factorizada de $z^2 - 11z + 28$?

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si los números buscados son -6 y -6, es porque el polinomio original era un TCP?

  2. ¿Un atajo seguro es escribir primero $(x - )(x - )$ cuando ves el patrón de signos $+ - +$?

  3. ¿El trinomio $x^2 - x + 1$ se puede factorizar con este método en los Reales?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Si el área de una figura está dada por $A = x^2 - 14x + 45$, y la forma es un rectángulo, ¿cuál podría ser la suma de sus dimensiones de ancho y largo?

  2. Resuelve la ecuación $x^2 - 15x + 50 = 0$. Las soluciones $x_1$ y $x_2$ representan las cantidades de producto para dos fábricas. ¿Cuál es la diferencia absoluta entre las cantidades de producto?

  3. Se tiene la fracción $\frac{p^2 - 8p + 12}{p - 2}$. ¿Cuál es el resultado simplificado?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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