Búsqueda del par numérico asociado al trinomio mónico
Aplicar la regla aditivo-multiplicativa cuando el término central es negativo pero el independiente es positivo.
Introducción
A veces la pista principal está en los signos. Si el tercer término es positivo, nos grita: "Los dos números tienen el mismo signo.". Pero si el término del medio es negativo. bueno, blanco y en botella: Ambos números deben ser negativos.
Explicación
Definición formal
Producto positivo exige signos iguales. Suma negativa exige que esos signos iguales sean negativos.
Desarrollo didáctico
Estudiemos $x^2 - 7x + 12$.
- Queremos que multiplicados den $+12$.
- Queremos que sumados den $-7$.
Para que la multiplicación sea positiva, pueden ser dos positivos o dos negativos. Pero como al sumarlos dan $-7$ (un número negativo), la única forma es que AMBOS sean negativos.
Filtremos los pares que multiplican 12 y pongámosles signos negativos:
- $(-1) \cdot (-12) = 12 \rightarrow$ Suma: $-13$ (No).
- $(-2) \cdot (-6) = 12 \rightarrow$ Suma: $-8$ (No).
- $(-3) \cdot (-4) = 12 \rightarrow$ Suma: $-7$ (Sí.).
Nuestra factorización es $(x - 3)(x - 4)$. Un truco útil es simplemente buscar los números positivos que sumen el valor del medio y luego ponerles el signo menos a ambos.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Detecta el patrón de signos: $(+)x^2 (-)x (+)$.
- Paso 2: Escribe tus paréntesis con signos negativos pre-colocados: $(x - \quad)(x - \quad)$.
- Paso 3: Busca dos números positivos que multiplicados den el 3er término y sumados den el valor numérico (sin signo) del 2do término.
- Paso 4: Pon esos números en los espacios vacíos.
Ejemplos
1 Factoriza $x^2 - 9x + 20$.
- Signos son $(-)$ y $(+)$. Ambos números serán negativos.
- Multiplicados dan 20, sumados dan 9.
- Los números son 4 y 5.
- Resultado: $(x - 4)(x - 5)$.
2 En $y^2 - 10y + 16$, ¿cuál es la factorización?
- 2 y 8 suman 10 y multiplican 16. Ambos van con signo menos.
3 Respecto de «Búsqueda del par numérico asociado al trinomio mónico»: ¿Se ajusta a la definición esta afirmación? «En un trinomio $x^2 - px + q$ (donde $q$ es positivo y el central es negativo), la factorización resultará siempre en $(x - a)(x - b)$»
- La afirmación coincide con la definición formal: En un trinomio $x^2 - px + q$ (donde $q$ es positivo y el central es negativo), la factorización resultará siempre en $(x - a)(x - b)$.
4 Respecto de «Búsqueda del par numérico asociado al trinomio mónico»: ¿Es compatible con el procedimiento esta afirmación? «Poner un signo positivo y uno negativo. Si lo haces, la multiplicación daría negativo, lo cual contradice el 3er término»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: En un trinomio $x^2 - px + q$ (donde $q$ es positivo y el central es negativo), la factorización resultará siempre en $(x - a)(x - b)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Poner un signo positivo y uno negativo. Si lo haces, la multiplicación daría negativo, lo cual contradice el 3er término."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Equivocarse en la suma de números negativos, tratándolos como una resta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si en $x^2 + bx + c$, la letra 'c' es positiva y 'b' es negativa, ¿qué puedes deducir de los números que buscas», la respuesta correcta es Ambos son positivos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si en $x^2 + bx + c$, la letra 'c' es positiva y 'b' es negativa, ¿qué puedes deducir de los números que buscas», la respuesta correcta es Uno positivo y uno negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si en $x^2 + bx + c$, la letra 'c' es positiva y 'b' es negativa, ¿qué puedes deducir de los números que buscas», la respuesta correcta es Uno de ellos es cero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En un trinomio $x^2 - px + q$ (donde $q$ es positivo y el central es negativo), la factorización resultará siempre en $(x - a)(x - b)$. Ambos números encontrados deben ser negativos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si en $x^2 + bx + c$, la letra 'c' es positiva y 'b' es negativa, ¿qué puedes deducir de los números que buscas?
Producto positivo exige signos iguales. Suma negativa exige que esos signos iguales sean negativos.
Respuesta: B) Ambos son negativos.
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¿Por qué es matemáticamente imposible que la factorización de $x^2 - 5x + 6$ contenga signos distintos como $(x+2)(x-3)$?
Los signos distintos fuerzan a que el término independiente sea negativo.
Respuesta: B) Porque el producto $(+2)(-3)$ da $-6$, contradiciendo el tercer término que es $+6$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Factoriza el trinomio $m^2 - 13m + 30$.
(-3) * (-10) = 30. (-3) + (-10) = -13.
Respuesta: A) $(m - 3)(m - 10)$
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¿Cuál es la forma factorizada de $z^2 - 11z + 28$?
(-4) * (-7) = 28. (-4) + (-7) = -11.
Respuesta: C) $(z - 4)(z - 7)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si los números buscados son -6 y -6, es porque el polinomio original era un TCP?
Sí. $(x-6)(x-6) = (x-6)^2$. El polinomio sería $x^2 - 12x + 36$.
Respuesta: Verdadero
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¿Un atajo seguro es escribir primero $(x - )(x - )$ cuando ves el patrón de signos $+ - +$?
Es un patrón inquebrantable en este tipo de trinomios.
Respuesta: Verdadero
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¿El trinomio $x^2 - x + 1$ se puede factorizar con este método en los Reales?
No existen dos números negativos que multiplicados den 1 y sumados den -1 (-0.5 + -0.5 = -1, pero -0.5 * -0.5 = 0.25). Es irreducible.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si el área de una figura está dada por $A = x^2 - 14x + 45$, y la forma es un rectángulo, ¿cuál podría ser la suma de sus dimensiones de ancho y largo?
Las dimensiones son (x-9) y (x-5). Su suma es (x-9) + (x-5) = 2x - 14.
Respuesta: A) $2x - 14$
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Resuelve la ecuación $x^2 - 15x + 50 = 0$. Las soluciones $x_1$ y $x_2$ representan las cantidades de producto para dos fábricas. ¿Cuál es la diferencia absoluta entre las cantidades de producto?
Factorización: (x-10)(x-5) = 0. Soluciones: x1=10, x2=5. La diferencia es 10 - 5 = 5.
Respuesta: A) 5
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Se tiene la fracción $\frac{p^2 - 8p + 12}{p - 2}$. ¿Cuál es el resultado simplificado?
Numerador factorizado es (p-6)(p-2). Al dividir por (p-2), sobrevive (p-6).
Respuesta: A) $p - 6$