Búsqueda del par numérico asociado al trinomio mónico
Resumen inicial
La búsqueda del par numérico asociado al trinomio mónico consiste en hallar dos enteros $r$ y $s$ que satisfagan simultáneamente las ecuaciones $r \cdot s = q$ (producto) y $r + s = p$ (suma).
Explicación en palabras simples
Para factorizar $x^2 + px + q$ (ej: $x^2 + 7x + 12$):
- SISTEMA DE BÚSQUEDA DEL PAR NUMÉRICO ($r, s$):
1. Buscamos el PRODUCTO ($r \cdot s = q$):
- Debes buscar dos números que multiplicados den $12$.
- Posibilidades: $(1, 12), (2, 6), (3, 4)$.
2. Buscamos la SUMA ($r + s = p$):
- Esos mismos dos números deben sumar $7$.
- Probamos: $1 + 12 = 13$, $2 + 6 = 8$, $3 + 4 = \mathbf{7}$.
3. ¡Encontraste el Par Numérico!:
- El par es $r = 3$ y $s = 4$ (¡porque $3 \cdot 4 = 12$ y $3 + 4 = 7$!).
- Regla de los Signos del Par:
- Si $q > 0$: $r$ y $s$ tienen el mismo signo (ambos $+$ o ambos $-$).
- Si $q < 0$: $r$ y $s$ tienen signos opuestos (uno $+$ y uno $-$).
Explicación formal
Definición formal
Sea el trinomio cuadrático mónico $P(x) = x^2 + px + q \in \mathbb{Z}[x]$. El problema de la búsqueda del par numérico entero $(r, s) \in \mathbb{Z}^2$ equivale a la resolución del sistema no lineal de ecuaciones diofánticas:
$$\begin{cases} r \cdot s = q & \text{(Ecuación de producto)} \\ r + s = p & \text{(Ecuación de suma)} \end{cases}$$
Análisis de Signos de la Pareja $(r, s)$
El dominio de soluciones se restringe unívocamente mediante el signo de $q$ y $p$:
- Caso 1 ($q > 0, p > 0$): $r > 0 \land s > 0$ (ambos positivos).
- Caso 2 ($q > 0, p < 0$): $r < 0 \land s < 0$ (ambos negativos).
- Caso 3 ($q < 0, p > 0$): Signos distintos, el mayor en valor absoluto es positivo.
- Caso 4 ($q < 0, p < 0$): Signos distintos, el mayor en valor absoluto es negativo.
Síntesis didáctica
Probar ordenadamente los divisores enteros del término independiente $q$ hasta que su suma algebraica coincida con el coeficiente $p$ permite hallar la parejita $(r, s)$.
La alternativa correcta es 'El par numérico es $r = -4$ y $s = -5$, porque $(-4) \cdot (-5) = +20$ y $(-4) + (-5) = -9$'. Producto $q=+20$, suma $p=-9 \implies (-4, -5)$.
Definiciones clave
- Par numérico ($r, s$): Par ordenado de números reales o enteros que satisfacen $r + s = p$ y $r \cdot s = q$.
- Divisores del término independiente: Conjunto de parejas de enteros cuyo producto da el término libre $q$.
- Suma algebraica ($r + s$): Adición que considera los signos relativos para coincidir con el coeficiente del término lineal $p$.
Propiedades y relaciones importantes
- Simetría del par: El orden del par es indistinto ($r$ y $s$ son intercambiables en la adición y multiplicación).
Ejemplo guiado
Encuentra el par numérico $(r, s)$ para factorizar el trinomio $x^2 - 5x - 14$.
- Paso 1: Identificamos los parámetros: $p = -5$ y $q = -14$.
- Paso 2: Como $q = -14 < 0$, los números $r$ y $s$ deben tener **signos opuestos**.
- Paso 3: Listamos las parejas que multiplicadas dan $-14$: - $(1, -14) \implies \text{Suma } = 1 - 14 = -13$. - $(-1, 14) \implies \text{Suma } = -1 + 14 = 13$. - $(2, -7) \implies \text{Suma } = 2 - 7 = \mathbf{-5}$ (¡coincide exactamente con $p$!). - $(-2, 7) \implies \text{Suma } = -2 + 7 = 5$.
- Paso 4: Seleccionamos el par que suma $-5$: $r = 2$ y $s = -7$.
- Conclusión: El par numérico es **$r = 2$ y $s = -7$** (puesto que $2 \cdot (-7) = -14$ y $2 + (-7) = -5$).
La alternativa correcta es 'Tienen signos opuestos, siendo el par correcto $r = +6$ y $s = -3$, porque $(+6) \cdot (-3) = -18$ y $(+6) + (-3) = +3$'. Signos opuestos con suma positiva $\implies (+6, -3)$.
Procedimiento
- Paso 1: Listar todas las parejas de números enteros cuyo producto sea igual a $q$.
- Paso 2: Evaluar los signos de las parejas según si $q$ es positivo o negativo.
- Paso 3: Calcular la suma de cada pareja de números.
- Paso 4: Seleccionar la pareja cuya suma algebraica sea exactamente igual al coeficiente $p$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Invertir la regla buscando dos números que sumen $q$ y multipliquen $p$. Cómo corregirlo: La regla EXIGE MULTIPLICAR $q$ (término constante) Y SUMAR $p$ (término lineal).
- Error 2: Asignar mal los signos cuando $q < 0$ (elegir $-7$ y $+2$ para sumar $+5$). Cómo corregirlo: Cuando el resultado de la suma debe ser positivo, EL NÚMERO DE MAYOR VALOR ABSOLUTO DEBE LLEVAR EL SIGNO POSITIVO (+7 y -2).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Sí, $3 \cdot 4 = 12$ y $3 + 4 = 7$.
- Sí, $(-3)(-5) = 15$ y $-3 - 5 = -8$.
- Sí, $4(-3) = -12$ y $4 - 3 = 1$.
- Sí, $(-5)(4) = -20$ y $-5 + 4 = -1$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Encontrar el par numérico (r, s) para cualquier trinomio mónico satisfaciendo simultáneamente r · s = q y r + s = p.
Listar los pares de divisores de $q$ respetando la regla de signos ($q > 0 \implies$ mismo signo; $q < 0 \implies$ signos opuestos) y seleccionar la pareja cuya suma algebraica sea idéntica a $p$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si en $x^2 + bx + c$, la letra 'c' es positiva y 'b' es negativa, ¿qué puedes deducir de los números que buscas?
Producto positivo exige signos iguales. Suma negativa exige que esos signos iguales sean negativos.
Respuesta: B) Ambos son negativos.
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¿Por qué es matemáticamente imposible que la factorización de $x^2 - 5x + 6$ contenga signos distintos como $(x+2)(x-3)$?
Los signos distintos fuerzan a que el término independiente sea negativo.
Respuesta: B) Porque el producto $(+2)(-3)$ da $-6$, contradiciendo el tercer término que es $+6$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Factoriza el trinomio $m^2 - 13m + 30$.
(-3) * (-10) = 30. (-3) + (-10) = -13.
Respuesta: A) $(m - 3)(m - 10)$
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¿Cuál es la forma factorizada de $z^2 - 11z + 28$?
(-4) * (-7) = 28. (-4) + (-7) = -11.
Respuesta: C) $(z - 4)(z - 7)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si los números buscados son -6 y -6, es porque el polinomio original era un TCP?
Sí. $(x-6)(x-6) = (x-6)^2$. El polinomio sería $x^2 - 12x + 36$.
Respuesta: Verdadero
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¿Un atajo seguro es escribir primero $(x - )(x - )$ cuando ves el patrón de signos $+ - +$?
Es un patrón inquebrantable en este tipo de trinomios.
Respuesta: Verdadero
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¿El trinomio $x^2 - x + 1$ se puede factorizar con este método en los Reales?
No existen dos números negativos que multiplicados den 1 y sumados den -1 (-0.5 + -0.5 = -1, pero -0.5 * -0.5 = 0.25). Es irreducible.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si el área de una figura está dada por $A = x^2 - 14x + 45$, y la forma es un rectángulo, ¿cuál podría ser la suma de sus dimensiones de ancho y largo?
Las dimensiones son (x-9) y (x-5). Su suma es (x-9) + (x-5) = 2x - 14.
Respuesta: A) $2x - 14$
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Resuelve la ecuación $x^2 - 15x + 50 = 0$. Las soluciones $x_1$ y $x_2$ representan las cantidades de producto para dos fábricas. ¿Cuál es la diferencia absoluta entre las cantidades de producto?
Factorización: (x-10)(x-5) = 0. Soluciones: x1=10, x2=5. La diferencia es 10 - 5 = 5.
Respuesta: A) 5
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Se tiene la fracción $\frac{p^2 - 8p + 12}{p - 2}$. ¿Cuál es el resultado simplificado?
Numerador factorizado es (p-6)(p-2). Al dividir por (p-2), sobrevive (p-6).
Respuesta: A) $p - 6$