Factorización de una suma de cubos perfectos
Aplicar la fórmula $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ para factorizar polinomios.
Introducción
Una vez que identificamos los dos cubos, el proceso de desarmarlos sigue una plantilla estricta. Es como una coreografía matemática. Produce un binomio pequeño y un trinomio más grande.
Explicación
Definición formal
El término central del trinomio siempre lleva el signo opuesto al binomio inicial, que en este caso era positivo.
Desarrollo didáctico
Fórmula Maestra: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Apliquémoslo a $x^3 + 8$:
1. Raíces cúbicas: La de $x^3$ es $x$ (nuestra '$a$'). La de $8$ es $2$ (nuestra '$b$').
2. Primer paréntesis (el binomio): Simplemente cópialas con el signo original. Nos queda $(x + 2)$.
3. Segundo paréntesis (el trinomio):
- El primero al cuadrado: $(x)^2 = x^2$.
- MENOS la multiplicación de ambos: $-(x \cdot 2) = -2x$. (Ojo. No es el doble, es solo la multiplicación).
- MÁS el segundo al cuadrado: $(2)^2 = 4$.
Unimos las piezas: $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.
Dato curioso: El trinomio resultante $(x^2 - 2x + 4)$ jamás se puede seguir factorizando en los Reales.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Extrae la raíz cúbica del 1er término ($a$) y del 2do término ($b$).
- Paso 2: Abre un paréntesis pequeño para el binomio: $(a + b)$.
- Paso 3: Abre un paréntesis grande para el trinomio.
- Paso 4: El primer elemento es el cuadrado de la primera raíz: $a^2$.
- Paso 5: El segundo elemento es el negativo del producto de las raíces: $-ab$.
- Paso 6: El tercer elemento es el cuadrado de la segunda raíz: $+b^2$.
Ejemplos
1 Factoriza $27y^3 + 1$.
- Raíces: $3y$ y $1$.
- Binomio: $(3y + 1)$.
- Trinomio: $(3y)^2 - (3y)(1) + (1)^2 = 9y^2 - 3y + 1$.
- Resultado: $(3y + 1)(9y^2 - 3y + 1)$.
2 Factoriza $8x^3 + 125y^6$.
- Raíces: 2x y 5y^2. Trinomio: cuadrado de 2x es 4x^2, producto invertido es -10xy^2, cuadrado de 5y^2 es 25y^4.
3 Respecto de «Factorización de una suma de cubos perfectos»: ¿La siguiente formulación es correcta? «La suma de cubos se factoriza en dos paréntesis: un binomio con la suma de las raíces cúbicas $(a+b)$, multiplicado por un trinomio que contiene el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de ambas raíces, más el cuadrado de la segunda: $(a^2 - ab + b^2)$»
- La afirmación coincide con la definición formal: La suma de cubos se factoriza en dos paréntesis: un binomio con la suma de las raíces cúbicas $(a+b)$, multiplicado por un trinomio que contiene el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de ambas raíces, más el cuadrado de la segunda: $(a^2 - ab + b^2)$.
4 Respecto de «Factorización de una suma de cubos perfectos»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «En el trinomio, poner el doble del producto (escribir $-2ab$ en vez de $-ab$), confundiéndolo con un TCP»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: La suma de cubos se factoriza en dos paréntesis: un binomio con la suma de las raíces cúbicas $(a+b)$, multiplicado por un trinomio que contiene el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de ambas raíces, más el cuadrado de la segunda: $(a^2 - ab + b^2)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"En el trinomio, poner el doble del producto (escribir $-2ab$ en vez de $-ab$), confundiéndolo con un TCP."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar cambiar el signo del término central del trinomio a negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Intentar factorizar el trinomio resultante. (¡Pérdida de tiempo, su discriminante siempre es negativo!)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Porque así lo dicta la regla mnemotécnica (SOAP)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «¿Por qué el término central del trinomio largo NO lleva un '2' como coeficiente, a diferencia del TCP», la respuesta correcta es Porque los cubos no tienen dobles."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La suma de cubos se factoriza en dos paréntesis: un binomio con la suma de las raíces cúbicas $(a+b)$, multiplicado por un trinomio que contiene el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de ambas raíces, más el cuadrado de la segunda: $(a^2 - ab + b^2)$.