Factorización de una diferencia de cubos perfectos

La factorización de una diferencia de cubos perfectos establece la identidad $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$ compuesta por el producto de un binomio resta y un trinomio irreducible con todos sus términos positivos.

Para factorizar una Diferencia de Cubos $A^3 - B^3$ (ej: $x^3 - 8$, con $A = x$ y $B = 2$):
- FÓRMULA MAESTRA DE DIFERENCIA DE CUBOS:
$$\mathbf{A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)}$$
- Estructura de los 2 factores resultantes:
1. Binomio Resta $(A - B)$: Contiene la resta directa de las dos raíces cúbicas extracted: $(x - 2)$.
2. Trinomio Positivo $(A^2 + AB + B^2)$:
- Primer término al cuadrado: $A^2 \implies \mathbf{x^2}$.
- Más el producto de las dos bases: $+AB \implies \mathbf{+2x}$ (¡aquí TODOS los términos son positivos!).
- Más el segundo término al cuadrado: $+B^2 \implies +2^2 = \mathbf{+4}$.
3. Resultado final: $\mathbf{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$.

Definición formal

Sea la diferencia de cubos $P(A, B) = A^3 - B^3 \in \mathbb{R}[A, B]$. El Teorema de Factorización de Cubos Sustraídos establece la descomposición unívoca en factores de menor grado sobre $\mathbb{R}$:

$$\mathbf{A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)}$$

Demostración por Multiplicación Distributiva

Multiplicando el miembro derecho:

$$(A - B)(A^2 + AB + B^2) = A(A^2 + AB + B^2) - B(A^2 + AB + B^2)$$
$$= (A^3 + A^2B + AB^2) - (A^2B + AB^2 + B^3)$$

Distribuyendo el signo negativo y cancelando términos opuestos ($+A^2B - A^2B = 0$ y $+AB^2 - AB^2 = 0$):

$$= A^3 + A^2B + AB^2 - A^2B - AB^2 - B^3 = \mathbf{A^3 - B^3}$$

Irreducibilidad del Trinomio Positivo

El trinomio cuadrático resultante $Q(A) = A^2 + AB + B^2$ posee un discriminante estrictamente negativo $\Delta = (B)^2 - 4(1)(B^2) = -3B^2 < 0$ para todo $B \neq 0$, demostrando su irreducibilidad en el cuerpo de los números reales $\mathbb{R}$.

Síntesis didáctica

La diferencia de cubos se factoriza en la resta de sus bases multiplicada por el trinomio formado por el cuadrado de la primera base, más su producto, más el cuadrado de la segunda base.

• Factor binomio resta ($(A-B)$): Primer factor de la descomposición formado por la sustracción directa de las bases.
• Factor trinomio positivo ($(A^2 + AB + B^2)$): Segundo factor de la descomposición donde todos los signos son estrictamente de adición.
• Regla S.O.A.P. en diferencia:
• Same: Signo igual en el binomio ($-$).
• Opposite: Signo opuesto en el término medio ($+$).
• Always Positive: Signo siempre positivo en el último término ($+$).

• Complementariedad de signos: La diferencia de cubos traslada el signo negativo al binomio $(A-B)$, dejando todos los términos del trinomio positivos.

Factoriza la diferencia de cubos $64x^3 - 27y^3$.