Factorización de una diferencia de cubos perfectos
Aplicar la fórmula $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ de manera sistemática.
Introducción
Hora de desarmar la resta. La fórmula para factorizar la Diferencia de Cubos es casi un espejo de la suma, pero los signos se cambian de asiento. Si aprendes la mnemotecnia correcta (SOAP), jamás los confundirás.
Explicación
Definición formal
Opposite (Opuesto). Como el problema es una resta (-), el opuesto es positivo (+).
Desarrollo didáctico
Fórmula: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + A \cdot B + B^2)$.
¿Cómo recordar los signos? Usa el acrónimo en inglés SOAP (Same, Opposite, Always Positive):
- Same (Mismo signo): El binomio inicial lleva el MISMO signo que el problema ($-$).
- Opposite (Signo opuesto): El primer signo del trinomio lleva el OPUESTO ($+$).
- AP (Siempre Positivo): El último signo del trinomio es siempre POSITIVO ($+$).
Factoricemos $27x^3 - 64$:
1. Raíces: $A = 3x$, $B = 4$.
2. Binomio (Same): $(3x - 4)$.
3. Trinomio (Opposite, AP):
- Cuadrado de A: $(3x)^2 = 9x^2$
- Producto (Opposite sign): $+(3x)(4) = +12x$
- Cuadrado de B (Always Positive): $+(4)^2 = +16$
Resultado: $(3x - 4)(9x^2 + 12x + 16)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Extrae la raíz cúbica de ambos términos ($a$ y $b$).
- Paso 2: Escribe el binomio con la resta: $(a - b)$.
- Paso 3: Escribe el trinomio abriendo paréntesis.
- Paso 4: Eleva la primera raíz al cuadrado: $a^2$.
- Paso 5: Multiplica ambas raíces y ponle signo positivo: $+ab$.
- Paso 6: Eleva la segunda raíz al cuadrado y ponle signo positivo: $+b^2$.
Ejemplos
1 Factoriza $y^3 - 1000$.
- Raíces: $y$ y $10$.
- Binomio: $(y - 10)$.
- Trinomio: $y^2 + 10y + 100$.
- Respuesta final: $(y - 10)(y^2 + 10y + 100)$.
2 Factoriza $8m^6 - 1$.
- Raíces: 2m^2 y 1. Binomio (2m^2-1). Trinomio: (2m^2)^2 = 4m^4. Producto = +2m^2. (1)^2 = +1.
3 Respecto de «Factorización de una diferencia de cubos perfectos»: ¿La siguiente formulación es correcta? «La diferencia de cubos se factoriza como: $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$»
- La afirmación coincide con la definición formal: La diferencia de cubos se factoriza como: $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
4 Respecto de «Factorización de una diferencia de cubos perfectos»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «Poner un signo negativo en el término central del trinomio»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: La diferencia de cubos se factoriza como: $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Poner un signo negativo en el término central del trinomio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Elevar incorrectamente la primera raíz al cuadrado si tiene coeficientes numéricos (Ej: raíz $3x$, poner $3x^2$ en vez de $9x^2$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Según la regla SOAP, ¿qué signo lleva el término del medio en el trinomio largo de la Diferencia de Cubos», la respuesta correcta es Negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Según la regla SOAP, ¿qué signo lleva el término del medio en el trinomio largo de la Diferencia de Cubos», la respuesta correcta es El mismo del problema original."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Según la regla SOAP, ¿qué signo lleva el término del medio en el trinomio largo de la Diferencia de Cubos», la respuesta correcta es Depende de las variables."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La diferencia de cubos se factoriza como: $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$. El binomio mantiene el signo de resta, y el trinomio tiene todos sus signos positivos.
Practica
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un alumno factoriza $1 - 216x^3$. Su respuesta es $(1 - 6x)(1 + 6x + 36x^2)$. ¿El profesor la marcará como correcta?
Raíz de 1 es 1, de 216x^3 es 6x. Cuadrado de 1 es 1. Producto es 6x. Cuadrado de 6x es 36x^2. Perfecto.
Respuesta: A) Sí, está perfectamente factorizada.