Determinación del signo del binomio al factorizar un trinomio cuadrado perfecto
Resumen inicial
La determinación del signo del binomio al factorizar un trinomio cuadrado perfecto consiste en evaluar estrictamente el signo del término doble producto central para asignar $+$ o $-$ en el binomio al cuadrado final.
Explicación en palabras simples
El signo del binomio factorizado $(A \pm B)^2$ depende exclusivamente de un solo término:
- REGLA DE ORO DEL SIGNO CENTRAL:
- Si el término central es positivo ($+2AB$):
- Ejemplo: $x^2 \mathbf{+ 8x} + 16 \implies \mathbf{(x + 4)^2}$ (¡signo $+$!).
- Si el término central es negativo ($-2AB$):
- Ejemplo: $x^2 \mathbf{- 8x} + 16 \implies \mathbf{(x - 4)^2}$ (¡signo $-$!).
- ¿Por qué los extremos siempre son positivos?:
- Porque $(+4)^2 = +16$ y $(-4)^2 = +16$. ¡Elevar al cuadrado siempre da positivo!
- El único que indica la resta original es el término central.
Explicación formal
Definición formal
Sea la familia de trinomios cuadrados perfectos $T_\sigma(x) = A^2 + \sigma 2AB + B^2 \in \mathbb{R}[x]$ parametrizada por el signo relacional $\sigma \in \{+1, -1\}$. La regla de determinación del signo binómico establece el mapa de conservación de signo:
$$\operatorname{sgn}(B_{\text{binomio}}) = \operatorname{sgn}(\text{Término Central}) = \sigma$$
induciendo la biyección formal:
$$\begin{cases} A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 & \text{si } \sigma = +1 \\ A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2 & \text{si } \sigma = -1 \end{cases}$$
Demostración por Regla de Signos de la Multiplicación
Al expandir $(A - B)(A - B) = A^2 - AB - BA + (-B)(-B) = A^2 - 2AB + B^2$, se observa que la multiplicación de dos términos negativos $(-B)(-B) = +B^2$ produce un tercer término estrictamente positivo, mientras que la adición de términos cruzados $-AB - AB = -2AB$ produce un término central estrictamente negativo.
Síntesis didáctica
Los signos de los extremos cuadráticos $A^2$ y $B^2$ son inmunes al cambio de signo del binomio; el término central es el único indicador del signo algebraico interno del binomio factorizado.
La alternativa correcta es 'Lo determina el término central $-40x$, y como posee signo negativo, la factorización es $(4x - 5)^2$'. Biyección de signo: $\operatorname{sgn}(\text{central}) = \operatorname{sgn}(\text{binomio})$.
Definiciones clave
- Signo relacional ($\sigma \in \{+1, -1\}$): Polaridad del término lineal o mixto que rige la suma o resta del binomio.
- Invarianza de positividad extrema: Propiedad por la cual $A^2 > 0$ y $B^2 > 0$ independientemente de si el binomio es de la forma $(A+B)$ o $(A-B)$.
- Conservación de la paridad en producto: Regla por la cual $(-B)^2 = +B^2$ encubre el signo negativo en los extremos cuadráticos.
Propiedades y relaciones importantes
- Biyección de signo: Existe una correspondencia unívoca entre el signo del término central del TCP y el operador de suma/resta del binomio factorizado.
Ejemplo guiado
Determina el signo del binomio al factorizar el trinomio $9m^2 - 42mn + 49n^2$.
- Paso 1: Extraemos las raíces cuadradas de los extremos: - $A = \sqrt{9m^2} = 3m$. - $B = \sqrt{49n^2} = 7n$.
- Paso 2: Inspeccionamos el término central: $-42mn$.
- Paso 3: Identificamos el signo del término central: Es **negativo ($-$)**.
- Paso 4: Asignamos el signo menos al binomio al cuadrado: $(3m - 7n)^2$.
- Conclusión: El signo que une a las raíces dentro del binomio al cuadrado es **negativo ($-$)**, produciendo **$(3m - 7n)^2$**.
La alternativa correcta es 'Porque al elevar $(-7y)^2$ al cuadrado, el producto de dos negativos resulta positivo ($(-7y) \cdot (-7y) = +49y^2$)'. Invarianza de positividad extrema $(-B)^2 = +B^2$.
Procedimiento
- Paso 1: Localizar los dos términos cuadráticos extremos del trinomio.
- Paso 2: Aislar el término central que contiene el producto de las variables.
- Paso 3: Identificar de forma explícita el signo de adición ($+$) o sustracción ($-$) que precede al término central.
- Paso 4: Transferir dicho signo exactamente al centro del binomio factorizado $(A \pm B)^2$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Asignar el signo del último término al binomio en lugar del signo del término central. Cómo corregirlo: El último término de un TCP ES SIEMPRE POSITIVO; EL ÚNICO QUE DETERMINA EL SIGNO DEL BINOMIO ES EL TÉRMINO CENTRAL.
- Error 2: Declarar que un término central negativo exige que ambos extremos sean negativos. Cómo corregirlo: En la forma canónica del TCP LOS DOS EXTREMOS SIGUEN SIENDO ESTRICTAMENTE POSITIVOS ($A^2 - 2AB + B^2$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Sí, $+2ab$ indica suma.
- Sí, $-2ab$ indica resta.
- Sí, $(+b)^2 = +b^2$ y $(-b)^2 = +b^2$.
- Sí, $-6x$ es el término central lineal.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Determinar con precisión el signo de suma o resta del binomio factorizado evaluando el término central del TCP.
Inspeccionar el signo algebraico que precede al término lineal o mixto $2AB$, asignando $\operatorname{sgn}(\text{binomio}) = \operatorname{sgn}(\text{central})$ sabiendo que los extremos son siempre positivos.