Extracción del factor común monomio
Resumen inicial
La extracción del factor común monomio consiste en dividir cada término del polinomio entre el monomio común reconocido y escribir el resultado como el producto del factor común por el paréntesis divisor.
Explicación en palabras simples
Para extraer el factor común monomio y dejar la expresión completamente factorizada (ej: $10x^3 + 15x^2$):
- PROCEDIMIENTO DE 3 PASOS:
1. Reconoce el Factor Común Monomio: Para $10x^3$ y $15x^2$, el común es $5x^2$.
2. Divide CADA término por el factor común:
- Primer término: $\frac{10x^3}{5x^2} = \mathbf{2x}$ (¡los coeficientes se dividen $10 \div 5 = 2$ y los exponentes se restan $3 - 2 = 1$!).
- Segundo término: $\frac{15x^2}{5x^2} = \mathbf{3}$ (¡$15 \div 5 = 3$ y $x^2 \div x^2 = 1$!).
3. Escribe el resultado final: Pon el factor común afuera y los cocientes adentro entre paréntesis:
$$\mathbf{5x^2 (2x + 3)}$$
Explicación formal
Definición formal
Sea el polinomio $P(x) = \sum_{i=1}^k T_i \in \mathbb{R}[x]$ y $M$ su factor común monomio de máxima dimensión. La extracción del factor común monomio define el mapa de descomposición factorizada $f: \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}[x] \times \mathbb{R}[x]$ dado por:
$$P(x) = M \cdot Q(x) = M \cdot \left( \sum_{i=1}^k \frac{T_i}{M} \right)$$
donde $Q(x) = \sum_{i=1}^k q_i$ es el polinomio cociente cuyas componentes se obtienen por división monomial $q_i = \frac{T_i}{M}$.
Leyes de Exponentes y Coeficientes en la División
Para cada término monómico $T_i = c_i x_1^{\alpha_{i,1}} \dots x_m^{\alpha_{i,m}}$ dividido entre $M = c_M x_1^{\beta_1} \dots x_m^{\beta_m}$:
- Cociente de coeficientes: $c_{q_i} = \frac{c_i}{c_M}$.
- Resta de exponentes: El exponente de cada variable $x_j$ en el cociente es $\alpha_{i,j} - \beta_j \ge 0$.
Síntesis didáctica
Extraer un factor común equivale a efectuar la división exacta de cada término del polinomio por dicho monomio, colocando los cocientes resultantes dentro de un paréntesis.
La alternativa correcta es 'El cociente es $3x^3 y^2$, dividiendo los coeficientes $18 \div 6 = 3$ y restando los exponentes $x^{5-2}=x^3$, $y^{3-1}=y^2$'. División de coeficientes y resta de exponentes.
Definiciones clave
- Extracción de factor común: Proceso de reescribir un polinomio $P(x)$ como el producto $M \cdot Q(x)$.
- Polinomio cociente ($Q(x)$): Expresión encerrada entre paréntesis obtenida al dividir cada término de la suma original entre el factor común $M$.
- Resta de exponentes en división: Propiedad de potencias $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ aplicada al calcular las variables del polinomio cociente.
Propiedades y relaciones importantes
- Conservación del número de términos: El polinomio cociente $Q(x)$ dentro del paréntesis debe tener exactamente la misma cantidad de términos que el polinomio original $P(x)$.
- Término constante 1: Si un término $T_k$ es exactamente igual al factor común $M$, su cociente $\frac{M}{M} = \mathbf{1}$ debe escribirse dentro del paréntesis.
Ejemplo guiado
Extrae el factor común monomio y factoriza completamente la expresión $12a^4 b^3 - 8a^2 b^2 + 4a^2 b$.
- Paso 1: Reconocemos el factor común monomio $M$: - MCD de coeficientes ($12, 8, 4$) = **$4$**. - Menor exponente de $a$ ($a^4, a^2, a^2$) = **$a^2$**. - Menor exponente de $b$ ($b^3, b^2, b$) = **$b$**. - Factor común $M = \mathbf{4a^2 b}$.
- Paso 2: Dividimos cada término del polinomio por $4a^2 b$: - Término 1: $\frac{12a^4 b^3}{4a^2 b} = (12 \div 4) a^{4-2} b^{3-1} = \mathbf{3a^2 b^2}$. - Término 2: $\frac{-8a^2 b^2}{4a^2 b} = (-8 \div 4) a^{2-2} b^{2-1} = \mathbf{-2b}$. - Término 3: $\frac{+4a^2 b}{4a^2 b} = (+4 \div 4) a^{2-2} b^{1-1} = \mathbf{+1}$ (¡jamás se omite!).
- Paso 3: Unimos el factor común con el cociente dentro del paréntesis: $4a^2 b (3a^2 b^2 - 2b + 1)$.
- Conclusión: La expresión factorizada es **$4a^2 b (3a^2 b^2 - 2b + 1)$**.
La alternativa correcta es 'Queda el número $+1$, obteniendo la factorización $5x(x + 1)$, porque $\frac{5x}{5x} = 1$'. Conservación del número de términos: $\frac{M}{M} = 1$.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir el factor común monomio reconocido fuera de un paréntesis.
- Paso 2: Dividir el coeficiente de cada término del polinomio por el coeficiente del factor común.
- Paso 3: Restar los exponentes de cada variable común para obtener los exponentes del cociente.
- Paso 4: Escribir los cocientes resultantes dentro del paréntesis conservando el número total de términos.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Excluir el número 1 dentro del paréntesis cuando un término es idéntico al factor común (escribir $5x^2 + 5x = 5x(x)$). Cómo corregirlo: La división de un término por sí mismo DA COMO RESULTADO 1 ($5x / 5x = 1 \implies 5x(x+1)$).
- Error 2: Sumar los exponentes en lugar de restarlos al dividir por el factor común (escribir $x^5 / x^2 = x^7$). Cómo corregirlo: En la división de potencias LOS EXPONENTES SE RESTAN ($x^{5-2} = x^3$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Sí, $3a/3 = a$ y $3b/3 = b$.
- Sí, $14/7=2$ y $x^{4-2}=x^2$.
- Sí, el cociente conserva el número de sumandos.
- Sí, multiplicar valida la extracción.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Extraer el factor común monomio dividiendo cada término y conservando el número de sumandos en el paréntesis.
Escribir $P(x) = M \cdot \left( \sum \frac{T_i}{M} \right)$ dividiendo coeficientes numéricos y restando exponentes de variables ($\alpha_i - \min$), colocando $+1$ cuando un término coincide con $M$.