Verificación de raíces sustituyendo en la ecuación original
Verificar que las soluciones encontradas para una ecuación cuadrática sean correctas, sustituyéndolas en la ecuación original.
Introducción
Después de resolver una ecuación cuadrática, siempre es posible (y recomendable) comprobar que cada solución realmente funciona, sustituyéndola de vuelta en la ecuación de partida.
Explicación
Definición formal
Una solución $x=r$ de la ecuación $ax^2+bx+c=0$ es válida si y solo si $ar^2+br+c=0$. La verificación consiste en sustituir $r$ en la expresión original y comprobar que el resultado sea efectivamente cero.
Desarrollo didáctico
Este paso final permite detectar errores de cálculo cometidos durante la resolución (de signo, de factorización, o de simplificación) antes de dar la respuesta por definitiva.
Para verificar que $x=3$ es solución de $x^2-x-6=0$: se sustituye, $3^2-3-6=9-3-6=0$. Se cumple la igualdad, por lo que $x=3$ es efectivamente una solución.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Toma la ecuación original antes de resolverla.
- Paso 2: Sustituye el valor de la solución encontrada en cada aparición de la incógnita.
- Paso 3: Calcula el resultado y verifica que sea igual a cero (o al valor correspondiente del otro lado de la igualdad).
Ejemplos
1 Verifica que $x=-2$ es solución de $x^2+5x+6=0$.
- Sustituyendo: $(-2)^2+5(-2)+6=4-10+6=0$.
- Se cumple la igualdad, por lo que $x=-2$ es solución.
2 Verifica si $x=1$ es solución de $x^2-3x+2=0$.
- Sustituyendo: $1^2-3(1)+2=1-3+2=0$.
- Se cumple la igualdad, por lo que $x=1$ sí es solución.
3 ¿Verificar una solución sustituyéndola es siempre posible, sin importar el método usado para resolverla?
- La verificación por sustitución es independiente del método usado (fórmula general, factorización, completar el cuadrado).
4 ¿Si la sustitución no da cero, significa necesariamente que la ecuación original estaba mal planteada?
- Generalmente indica un error en el proceso de resolución (cálculo o factorización), no en el planteamiento original de la ecuación.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Sustituir la solución en una versión ya simplificada de la ecuación, en vez de en la ecuación original."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al sustituir un valor negativo en la expresión."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Omitir el paso de verificación, dejando pasar errores de cálculo sin detectar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Verificar solo una de las dos soluciones, dejando la otra sin comprobar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Verificar una raíz consiste en sustituir su valor en la ecuación original y comprobar que la igualdad se cumple, obteniendo cero (o el valor correspondiente) en ambos lados.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Verificar una solución sustituyéndola es siempre posible, sin importar el método usado para resolverla.
Es independiente del método usado para resolver la ecuación.
Respuesta: Verdadero
-
Verificar una raíz consiste en:
Se comprueba que la igualdad se cumpla al sustituir.
Respuesta: A) Sustituir su valor en la ecuación original
-
Si al sustituir una solución no se obtiene cero, esto indica generalmente:
Generalmente es un error de cálculo, no del planteamiento original.
Respuesta: A) Un error en el proceso de resolución
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$x=3$ es solución de $x^2-x-6=0$.
3^2-3-6=9-3-6=0.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Verifica si $x=1$ es solución de $x^2-3x+2=0$.
1^2-3(1)+2=1-3+2=0.
Respuesta: A) Sí, porque $1-3+2=0$
-
Verificar solo una de las dos soluciones, dejando la otra sin comprobar, es un error frecuente.
Ambas soluciones deben verificarse, no solo una.
Respuesta: Verdadero
-
Verifica si $x=-2$ es solución de $x^2+5x+6=0$.
4-10+6=0.
Respuesta: A) Sí, porque $(-2)^2+5(-2)+6=0$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
$x=-3$ es solución de $x^2+3x=0$.
(-3)^2+3(-3)=9-9=0.
Respuesta: Verdadero
-
Verifica si $x=4$ es solución de $2x^2-9x+4=0$.
2(16)-9(4)+4=32-36+4=0, por lo tanto x=4 sí es solución.
Respuesta: A) Sí, porque $2(16)-9(4)+4=0$
-
¿Cuál es el error frecuente al verificar una raíz?
Se debe verificar en la ecuación de partida, no en una forma intermedia.
Respuesta: A) Sustituir en una versión ya simplificada en vez de la ecuación original