Resolución de ecuaciones de la forma ax² + c = 0 mediante despeje

Resumen inicial

La resolución de una ecuación cuadrática pura $ax^2 + c = 0$ mediante despeje consiste en aislar la potencia $x^2 = -c/a$ y aplicar la raíz cuadrada con doble signo: $x = \pm \sqrt{-c/a}$ si $-c/a \ge 0$.

Explicación en palabras simples

$La resolución de una ecuación cuadrática pura $ax^2 + c = 0$ mediante despeje consiste en aislar la potencia $x^2 = -c/a$ y aplicar la raíz cuadrada con doble signo: $x = \pm \sqrt{-c/a}$ si $-c/a \ge 0$$

Para resolver $ax^2 + c = 0$ (cuando no hay término con $x$):
1. Paso 1 (Despejar): Pasas el número al lado derecho y divides por $a$: $x^2 = -\frac{c}{a}$.
2. Paso 2 (Raíz cuadrada): Sacas raíz cuadrada a ambos lados recordando colocar el doble signo $\pm$:
$$x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$$
3. Casos posibles:
- Si el número de la derecha es positivo (ej: $x^2 = 9$) $\implies$ tiene dos respuestas opuestas: $x = \pm 3$.
- Si el número de la derecha es negativo (ej: $x^2 = -16$) $\implies$ no tiene solución real (ningún número real al cuadrado da negativo).

Explicación formal

Dada la ecuación incompleta pura $ax^2 + c = 0$ con $a \neq 0, c \neq 0$:

Algoritmo analítico de despeje:
$$ax^2 = -c \Longleftrightarrow x^2 = -\frac{c}{a}$$

Análisis del conjunto solución según el radicando:
1. Si $-\frac{c}{a} > 0$ ($a$ y $c$ de signos opuestos):
$$\mathcal{S} = \left\{ -\sqrt{-\frac{c}{a}}, \; +\sqrt{-\frac{c}{a}} \right\} \quad (\text{Dos raíces reales simétricas opuestas})$$
2. Si $-\frac{c}{a} < 0$ ($a$ y $c$ del mismo signo):
$$\mathcal{S} = \emptyset \quad (\text{Sin solución en el cuerpo } \mathbb{R})$$

Factorización equivalente por diferencia de cuadrados (cuando $-c/a = k^2 > 0$):
$$x^2 - k^2 = (x - k)(x + k) = 0 \implies x = k \quad \lor \quad x = -k$$

Definiciones clave

Ecuación cuadrática pura: Ecuación donde $b = 0$, que carece de término lineal.
Raíces simétricas opuestas: Par de soluciones reales que satisfacen $x_1 = -x_2$, con suma nula $x_1 + x_2 = 0$.

Propiedades y relaciones importantes

Eje de simetría coincidente con el eje Y: Al ser $b = 0$, el eje de simetría de la parábola es exactamente $x = 0$.
Discriminante: $\Delta = 0^2 - 4ac = -4ac$. Si $ac < 0 \implies \Delta > 0$ (dos soluciones reales).

Ejemplo guiado

$Ejemplo La resolución de una ecuación cuadrática pura $ax^2 + c = 0$ mediante despeje consiste en aislar la potencia $x^2 = -c/a$ y aplicar la raíz cuadrada con doble signo: $x = \pm \sqrt{-c/a}$ si $-c/a \ge 0$$

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas puras en el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$:
1) $5x^2 - 80 = 0$
2) $3x^2 + 27 = 0$

Paso 1: Para $5x^2 - 80 = 0$: - Despejar $x^2$: $5x^2 = 80 \implies x^2 = \frac{80}{5} = 16$. - Aplicar raíz cuadrada con doble signo: $x = \pm \sqrt{16} = \pm 4$. - Conjunto solución: $\mathcal{S} = \{-4, 4\}$.
Paso 2: Para $3x^2 + 27 = 0$: - Despejar $x^2$: $3x^2 = -27 \implies x^2 = \frac{-27}{3} = -9$. - Analizar el valor: $-9 < 0$; en $\mathbb{R}$ no existen raíces cuadradas de números negativos. - Concluir que no tiene solución real: $\mathcal{S} = \emptyset$.

Procedimiento

Paso 1: Transponer el término independiente al miembro derecho de la ecuación ($ax^2 = -c$).
Paso 2: Dividir ambos lados entre el coeficiente cuadrático $a$ ($x^2 = -c/a$).
Paso 3: Verificar el signo del número resultante.
Paso 4: Si es positivo, extraer la raíz cuadrada colocando el doble signo $\pm \sqrt{-c/a}$.
Paso 5: Si es negativo, declarar que no posee soluciones reales.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir solo la raíz positiva ($x^2 = 16 \implies x = 4$).
Cómo corregirlo: Toda potencia par admite dos raíces opuestas: $x = \pm \sqrt{16} = \pm 4$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Una ecuación cuadrática pura ax² + c = 0 tiene dos raíces simétricas si -c/a > 0."

"Intentar resolver raíces de números negativos en reales."

"Olvidar la raíz negativa al extraer raíz cuadrada."

"Confundir la incompleta pura con la incompleta binomia."

"Si a y c tienen el mismo signo, ax² + c = 0 no tiene soluciones en los números reales."

Al terminar debes poder

$Resumen La resolución de una ecuación cuadrática pura $ax^2 + c = 0$ mediante despeje consiste en aislar la potencia $x^2 = -c/a$ y aplicar la raíz cuadrada con doble signo: $x = \pm \sqrt{-c/a}$ si $-c/a \ge 0$$

Resolver ecuaciones cuadráticas puras de la forma ax² + c = 0 mediante despeje.

Aislando x² = -c/a y extrayendo la raíz cuadrada de doble signo x = ±√(-c/a) en los reales.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Para resolver $ax^2+c=0$, se despeja:
Se aísla x^2 en un lado de la igualdad.

Respuesta: A) $x^2=-c/a$
Toda ecuación incompleta pura tiene solución dentro de los números reales.
Las soluciones de una ecuación incompleta pura, cuando existen, son:
x=±raíz(-c/a) da siempre un par de valores opuestos.

Respuesta: A) Un par de números opuestos

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$2x^2-32=0$ tiene soluciones $x=4$ y $x=-4$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Resuelve $2x^2-32=0$.
x^2=16, dando x=±4.

Respuesta: A) $x=\pm4$
Resuelve $x^2+9=0$.
x^2=-9, que no tiene solución real.

Respuesta: A) No tiene solución real
Olvidar el signo ± al extraer la raíz cuadrada hace perder una de las dos soluciones.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

$5x^2-45=0$ tiene soluciones $x=3$ y $x=-3$.
Resuelve $3x^2-75=0$.
x^2=25, dando x=±5.

Respuesta: A) $x=\pm5$
¿Cuál es el error frecuente al resolver $ax^2+c=0$?
Si -c/a es negativo, no hay solución real.

Respuesta: A) No verificar si el valor bajo la raíz es negativo

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación