Resolución de ecuaciones de la forma ax² + c = 0 mediante despeje
Resolver ecuaciones incompletas puras de la forma $ax^2+c=0$ despejando directamente y extrayendo raíz cuadrada.
Introducción
Cuando falta el término lineal, no hace falta factorizar como en otros casos: basta con despejar $x^2$ y luego extraer raíz cuadrada, con cuidado del signo $\pm$.
Explicación
Definición formal
Dada la ecuación $ax^2+c=0$ con $a \neq 0$ y $c \neq 0$, se despeja $x^2=-\dfrac{c}{a}$. Si $-\dfrac{c}{a} \geq 0$, las soluciones son $x=\pm\sqrt{-c/a}$; si $-\dfrac{c}{a}<0$, la ecuación no tiene soluciones reales.
Desarrollo didáctico
El procedimiento consiste en aislar el término cuadrático, despejar $x^2$, y luego decidir si el valor obtenido permite extraer raíz cuadrada real.
Para $3x^2-27=0$: despejando, $x^2=9$, por lo que $x=\pm3$. Para $x^2+4=0$: despejando, $x^2=-4$, que no tiene solución real.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la ecuación tenga la forma $ax^2+c=0$, sin término lineal.
- Paso 2: Despeja $x^2$, aislándolo en un lado de la igualdad.
- Paso 3: Si el resultado es no negativo, extrae raíz cuadrada con signo $\pm$; si es negativo, concluye que no hay soluciones reales.
Ejemplos
1 Resuelve $2x^2-32=0$.
- Despejando: $x^2=16$.
- $x=\pm4$.
2 Resuelve $x^2+9=0$.
- Despejando: $x^2=-9$.
- No tiene solución real, ya que ningún cuadrado real es negativo.
3 ¿Las soluciones de una ecuación incompleta pura son siempre un par de números opuestos?
- Al despejar $x=\pm\sqrt{-c/a}$, cuando existen soluciones reales, siempre son un par de valores opuestos entre sí.
4 ¿Toda ecuación incompleta pura tiene solución dentro de los números reales?
- Si $-c/a$ resulta negativo, no existe ningún número real cuyo cuadrado sea ese valor.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar el signo $\pm$ al extraer la raíz cuadrada, perdiendo una de las dos soluciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar si el valor bajo la raíz es negativo antes de intentar calcularla."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al despejar $x^2$ desde la ecuación original."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta ecuación con la incompleta binomia, que sí requiere factorización por término común."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para resolver $ax^2+c=0$, se despeja $x^2=-\dfrac{c}{a}$ y se extrae raíz cuadrada, obteniendo $x=\pm\sqrt{-c/a}$ si el valor bajo la raíz es no negativo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para resolver $ax^2+c=0$, se despeja:
Se aísla x^2 en un lado de la igualdad.
Respuesta: A) $x^2=-c/a$
-
Toda ecuación incompleta pura tiene solución dentro de los números reales.
Si -c/a es negativo, no hay solución real.
Respuesta: Falso
-
Las soluciones de una ecuación incompleta pura, cuando existen, son:
x=±raíz(-c/a) da siempre un par de valores opuestos.
Respuesta: A) Un par de números opuestos
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$2x^2-32=0$ tiene soluciones $x=4$ y $x=-4$.
x^2=16, dando x=±4.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Resuelve $2x^2-32=0$.
x^2=16, dando x=±4.
Respuesta: A) $x=\pm4$
-
Resuelve $x^2+9=0$.
x^2=-9, que no tiene solución real.
Respuesta: A) No tiene solución real
-
Olvidar el signo ± al extraer la raíz cuadrada hace perder una de las dos soluciones.
Sin el signo ±, solo se obtiene la raíz positiva.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
$5x^2-45=0$ tiene soluciones $x=3$ y $x=-3$.
x^2=9, dando x=±3.
Respuesta: Verdadero
-
Resuelve $3x^2-75=0$.
x^2=25, dando x=±5.
Respuesta: A) $x=\pm5$
-
¿Cuál es el error frecuente al resolver $ax^2+c=0$?
Si -c/a es negativo, no hay solución real.
Respuesta: A) No verificar si el valor bajo la raíz es negativo