Resolución de ecuaciones de la forma ax² + c = 0 mediante despeje

Resumen inicial

La resolución de una ecuación cuadrática pura $ax^2 + c = 0$ mediante despeje consiste en aislar la potencia $x^2 = -c/a$ y aplicar la raíz cuadrada con doble signo: $x = \pm \sqrt{-c/a}$ si $-c/a \ge 0$.

Explicación en palabras simples

$La resolución de una ecuación cuadrática pura $ax^2 + c = 0$ mediante despeje consiste en aislar la potencia $x^2 = -c/a$ y aplicar la raíz cuadrada con doble signo: $x = \pm \sqrt{-c/a}$ si $-c/a \ge 0$$

Para resolver $ax^2 + c = 0$ (cuando no hay término con $x$):
1. Paso 1 (Despejar): Pasas el número al lado derecho y divides por $a$: $x^2 = -\frac{c}{a}$.
2. Paso 2 (Raíz cuadrada): Sacas raíz cuadrada a ambos lados recordando colocar el doble signo $\pm$:
$$x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$$
3. Casos posibles:
- Si el número de la derecha es positivo (ej: $x^2 = 9$) $\implies$ tiene dos respuestas opuestas: $x = \pm 3$.
- Si el número de la derecha es negativo (ej: $x^2 = -16$) $\implies$ no tiene solución real (ningún número real al cuadrado da negativo).

Explicación formal

Dada la ecuación incompleta pura $ax^2 + c = 0$ con $a \neq 0, c \neq 0$:

Algoritmo analítico de despeje:
$$ax^2 = -c \Longleftrightarrow x^2 = -\frac{c}{a}$$

Análisis del conjunto solución según el radicando:
1. Si $-\frac{c}{a} > 0$ ($a$ y $c$ de signos opuestos):
$$\mathcal{S} = \left\{ -\sqrt{-\frac{c}{a}}, \; +\sqrt{-\frac{c}{a}} \right\} \quad (\text{Dos raíces reales simétricas opuestas})$$
2. Si $-\frac{c}{a} < 0$ ($a$ y $c$ del mismo signo):
$$\mathcal{S} = \emptyset \quad (\text{Sin solución en el cuerpo } \mathbb{R})$$

Factorización equivalente por diferencia de cuadrados (cuando $-c/a = k^2 > 0$):
$$x^2 - k^2 = (x - k)(x + k) = 0 \implies x = k \quad \lor \quad x = -k$$

Definiciones clave

Ecuación cuadrática pura: Ecuación donde $b = 0$, que carece de término lineal.
Raíces simétricas opuestas: Par de soluciones reales que satisfacen $x_1 = -x_2$, con suma nula $x_1 + x_2 = 0$.

Propiedades y relaciones importantes

Eje de simetría coincidente con el eje Y: Al ser $b = 0$, el eje de simetría de la parábola es exactamente $x = 0$.
Discriminante: $\Delta = 0^2 - 4ac = -4ac$. Si $ac < 0 \implies \Delta > 0$ (dos soluciones reales).

Ejemplo guiado

$Ejemplo La resolución de una ecuación cuadrática pura $ax^2 + c = 0$ mediante despeje consiste en aislar la potencia $x^2 = -c/a$ y aplicar la raíz cuadrada con doble signo: $x = \pm \sqrt{-c/a}$ si $-c/a \ge 0$$

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas puras en el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$:
1) $5x^2 - 80 = 0$
2) $3x^2 + 27 = 0$

Paso 1: Para $5x^2 - 80 = 0$: - Despejar $x^2$: $5x^2 = 80 \implies x^2 = \frac{80}{5} = 16$. - Aplicar raíz cuadrada con doble signo: $x = \pm \sqrt{16} = \pm 4$. - Conjunto solución: $\mathcal{S} = \{-4, 4\}$.
Paso 2: Para $3x^2 + 27 = 0$: - Despejar $x^2$: $3x^2 = -27 \implies x^2 = \frac{-27}{3} = -9$. - Analizar el valor: $-9 < 0$; en $\mathbb{R}$ no existen raíces cuadradas de números negativos. - Concluir que no tiene solución real: $\mathcal{S} = \emptyset$.

Procedimiento

Paso 1: Transponer el término independiente al miembro derecho de la ecuación ($ax^2 = -c$).
Paso 2: Dividir ambos lados entre el coeficiente cuadrático $a$ ($x^2 = -c/a$).
Paso 3: Verificar el signo del número resultante.
Paso 4: Si es positivo, extraer la raíz cuadrada colocando el doble signo $\pm \sqrt{-c/a}$.
Paso 5: Si es negativo, declarar que no posee soluciones reales.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir solo la raíz positiva ($x^2 = 16 \implies x = 4$).
Cómo corregirlo: Toda potencia par admite dos raíces opuestas: $x = \pm \sqrt{16} = \pm 4$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Una ecuación cuadrática pura ax² + c = 0 tiene dos raíces simétricas si -c/a > 0."

"Si a y c tienen el mismo signo, ax² + c = 0 no tiene soluciones en los números reales."

"Confundir la incompleta pura con la incompleta binomia."

"Olvidar la raíz negativa al extraer raíz cuadrada."

"Intentar resolver raíces de números negativos en reales."

Al terminar debes poder

$Resumen La resolución de una ecuación cuadrática pura $ax^2 + c = 0$ mediante despeje consiste en aislar la potencia $x^2 = -c/a$ y aplicar la raíz cuadrada con doble signo: $x = \pm \sqrt{-c/a}$ si $-c/a \ge 0$$

Resolver ecuaciones cuadráticas puras de la forma ax² + c = 0 mediante despeje.

Aislando x² = -c/a y extrayendo la raíz cuadrada de doble signo x = ±√(-c/a) en los reales.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Para resolver $ax^2+c=0$, se despeja:
Se aísla x^2 en un lado de la igualdad.

Respuesta: A) $x^2=-c/a$
Toda ecuación incompleta pura tiene solución dentro de los números reales.
Las soluciones de una ecuación incompleta pura, cuando existen, son:
x=±raíz(-c/a) da siempre un par de valores opuestos.

Respuesta: A) Un par de números opuestos

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$2x^2-32=0$ tiene soluciones $x=4$ y $x=-4$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Resuelve $2x^2-32=0$.
x^2=16, dando x=±4.

Respuesta: A) $x=\pm4$
Resuelve $x^2+9=0$.
x^2=-9, que no tiene solución real.

Respuesta: A) No tiene solución real
Olvidar el signo ± al extraer la raíz cuadrada hace perder una de las dos soluciones.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

$5x^2-45=0$ tiene soluciones $x=3$ y $x=-3$.
Resuelve $3x^2-75=0$.
x^2=25, dando x=±5.

Respuesta: A) $x=\pm5$
¿Cuál es el error frecuente al resolver $ax^2+c=0$?
Si -c/a es negativo, no hay solución real.

Respuesta: A) No verificar si el valor bajo la raíz es negativo

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación