Resolución de ecuaciones de la forma ax² + bx = 0 mediante factor común

Resumen inicial

La resolución de una ecuación cuadrática de la forma $ax^2 + bx = 0$ mediante factor común consiste en extraer $x$ como factor común ($x(ax + b) = 0$), produciendo siempre las raíces $x_1 = 0$ y $x_2 = -b/a$.

Explicación en palabras simples

La resolución de una ecuación cuadrática de la forma $ax^2 + bx = 0$ mediante factor común consiste en extraer $x$ como factor común ($x(ax + b) = 0$), produciendo siempre las raíces $x_1 = 0$ y $x_2 = -b/a$

Para resolver $ax^2 + bx = 0$ (cuando no hay número suelto):
1. Como los dos términos tienen la letra $x$, sacas la $x$ hacia afuera: $x(ax + b) = 0$.
2. Aplicas la propiedad del producto cero:
- La $x$ de afuera te da la primera solución: $x_1 = 0$ (¡siempre es cero!).
- El paréntesis de adentro te da la segunda: $ax + b = 0 \implies$ $x_2 = -\frac{b}{a}$.
3. ¡Prohibido dividir por $x$! Si divides por $x$ para "hacerla más corta", borras la solución $x = 0$ y pierdes la mitad de los puntos.

Explicación formal

Dada la ecuación incompleta binomia $ax^2 + bx = 0$ con $a \neq 0, b \neq 0$:

Factorización analítica por factor común monomial:
$$x(ax + b) = 0$$

Por la propiedad del producto cero en dominios de integridad:
$$x = 0 \quad \lor \quad ax + b = 0$$
$$x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{b}{a}$$

Conjunto solución formal:
$$\mathcal{S} = \left\{ 0, -\frac{b}{a} \right\}$$

Propiedades analíticas:
- Dos raíces reales distintas: Como $b \neq 0$, $-\frac{b}{a} \neq 0$, garantizando $\text{Card}(\mathcal{S}) = 2$.
- Discriminante positivo estricto: $\Delta = b^2 - 4a(0) = b^2 > 0$.
- Simetría: La parábola pasa por el origen $(0, 0)$ y por $(-b/a, 0)$.

Definiciones clave

Factor común monomial: Extracción de la variable de menor grado presente en todos los términos del polinomio.
Raíz nula trivial: Solución $x = 0$ inherente a toda ecuación polinómica sin término independiente.

Propiedades y relaciones importantes

Pérdida de soluciones por simplificación ilegal: Si se divide por $x$, se asume implícitamente $x \neq 0$, eliminando la raíz cero del conjunto solución.
Suma de soluciones: $x_1 + x_2 = 0 + (-b/a) = -b/a$.

Ejemplo guiado

Ejemplo La resolución de una ecuación cuadrática de la forma $ax^2 + bx = 0$ mediante factor común consiste en extraer $x$ como factor común ($x(ax + b) = 0$), produciendo siempre las raíces $x_1 = 0$ y $x_2 = -b/a$

Resuelve la ecuación cuadrática $3x^2 - 15x = 0$ mediante factorización por factor común.

Paso 1: Identificar los términos: $3x^2$ y $-15x$, ambos divisibles por $3x$.
Paso 2: Extraer el factor común $3x$: $3x(x - 5) = 0$.
Paso 3: Aplicar la propiedad del producto cero: $3x = 0 \lor x - 5 = 0$.
Paso 4: Despejar cada factor: $x_1 = 0$ y $x_2 = 5$.
Paso 5: Concluir el conjunto solución: $\mathcal{S} = \{0, 5\}$.

Procedimiento

Paso 1: Ordenar la ecuación en la forma $ax^2 + bx = 0$.
Paso 2: Extraer la incógnita $x$ (y el máximo común divisor numérico si se desea) como factor común.
Paso 3: Plantear el producto $x(ax + b) = 0$.
Paso 4: Igualar a cero el factor externo obteniendo $x_1 = 0$.
Paso 5: Igualar a cero el factor binomio $ax + b = 0$ y despejar $x_2 = -\frac{b}{a}$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Dividir ambos lados por $x$ ($5x^2 = 20x \implies 5x = 20 \implies x = 4$) perdiendo $x = 0$.
Cómo corregirlo: Factoriza siempre: $5x(x - 4) = 0 \implies x = 0 \lor x = 4$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La ecuación ax² + bx = 0 se resuelve factorizando por x y siempre tiene a 0 como raíz."

"Equivocar el signo al despejar ax + b = 0."

"Dividir por x perdiendo la raíz cero."

"El conjunto solución de ax² + bx = 0 está formado por {0, -b/a}."

"Usar la fórmula cuadrática completa innecesariamente."

Al terminar debes poder

Resumen La resolución de una ecuación cuadrática de la forma $ax^2 + bx = 0$ mediante factor común consiste en extraer $x$ como factor común ($x(ax + b) = 0$), produciendo siempre las raíces $x_1 = 0$ y $x_2 = -b/a$

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax² + bx = 0 usando factor común.

Extrayendo x como factor común x(ax + b) = 0 y determinando las dos soluciones x = 0 y x = -b/a.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Para resolver $ax^2+bx=0$, se factoriza extrayendo:
Se obtiene x(ax+b)=0.

Respuesta: A) $x$ como factor común
Una ecuación incompleta binomia tiene siempre $x=0$ como una de sus soluciones.
¿Es necesario aplicar la fórmula general para resolver una ecuación incompleta binomia?
Es un método más rápido que aplicar la fórmula general.

Respuesta: A) No, factorizar por término común es más directo

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$x^2-5x=0$ tiene soluciones $x=0$ y $x=5$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Resuelve $x^2-5x=0$.
Factorizando: x(x-5)=0.

Respuesta: A) $x=0$ o $x=5$
Resuelve $4x^2+8x=0$.
Factorizando: 4x(x+2)=0.

Respuesta: A) $x=0$ o $x=-2$
Dividir por $x$ en vez de factorizar elimina indebidamente la solución $x=0$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Resuelve $6x^2-18x=0$.
Factorizando: 6x(x-3)=0.

Respuesta: A) $x=0$ o $x=3$
¿Cuál es el error frecuente al resolver $ax^2+bx=0$?
Es común reportar solo la otra raíz, olvidando x=0.

Respuesta: A) Olvidar la solución $x=0$
$5x^2-15x=0$ tiene soluciones $x=0$ y $x=3$.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación