Resolución de ecuaciones de la forma ax² + bx = 0 mediante factor común
Resolver ecuaciones incompletas binomias de la forma $ax^2+bx=0$ factorizando por término común.
Introducción
Cuando una ecuación cuadrática le falta el término independiente, la $x$ que comparten ambos términos restantes se puede extraer como factor común, y desde ahí resolver es directo.
Explicación
Definición formal
Dada la ecuación $ax^2+bx=0$ con $a\neq0$ y $b\neq0$, se factoriza extrayendo el factor común $x$: $x(ax+b)=0$. Por la propiedad del producto nulo, las soluciones son $x=0$ y $x=-\dfrac{b}{a}$.
Desarrollo didáctico
Este método es mucho más rápido que aplicar la fórmula general, ya que no requiere calcular ningún discriminante: basta con factorizar por término común.
Para $3x^2-12x=0$: factorizando, $3x(x-4)=0$, por lo que $3x=0$ o $x-4=0$, dando $x=0$ o $x=4$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la ecuación tenga la forma $ax^2+bx=0$, sin término independiente.
- Paso 2: Factoriza extrayendo $x$ como factor común: $x(ax+b)=0$.
- Paso 3: Aplica la propiedad del producto nulo, igualando cada factor a cero.
- Paso 4: Resuelve cada ecuación resultante para obtener las dos soluciones.
Ejemplos
1 Resuelve $x^2-5x=0$.
- Factorizando: $x(x-5)=0$.
- $x=0$ o $x=5$.
2 Resuelve $4x^2+8x=0$.
- Factorizando: $4x(x+2)=0$.
- $x=0$ o $x=-2$.
3 ¿Una ecuación incompleta binomia tiene siempre $x=0$ como una de sus soluciones?
- Al factorizar $x(ax+b)=0$, uno de los factores es siempre $x$, dando la solución $x=0$.
4 ¿Es necesario aplicar la fórmula general para resolver una ecuación incompleta binomia?
- Factorizar por término común es un método más directo y rápido para este tipo de ecuación.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar la solución $x=0$ al resolver la ecuación, reportando solo la otra raíz."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dividir por $x$ en vez de factorizar, lo que elimina indebidamente la solución $x=0$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Factorizar incorrectamente el término común, dejando un factor con signo equivocado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la fórmula general innecesariamente cuando la factorización es más directa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para resolver $ax^2+bx=0$, se factoriza por término común extrayendo $x$, obteniendo $x(ax+b)=0$, y se aplica la propiedad del producto nulo para hallar las dos soluciones.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para resolver $ax^2+bx=0$, se factoriza extrayendo:
Se obtiene x(ax+b)=0.
Respuesta: A) $x$ como factor común
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Una ecuación incompleta binomia tiene siempre $x=0$ como una de sus soluciones.
Al factorizar x(ax+b)=0, uno de los factores es x.
Respuesta: Verdadero
-
¿Es necesario aplicar la fórmula general para resolver una ecuación incompleta binomia?
Es un método más rápido que aplicar la fórmula general.
Respuesta: A) No, factorizar por término común es más directo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$x^2-5x=0$ tiene soluciones $x=0$ y $x=5$.
Factorizando: x(x-5)=0.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Resuelve $x^2-5x=0$.
Factorizando: x(x-5)=0.
Respuesta: A) $x=0$ o $x=5$
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Resuelve $4x^2+8x=0$.
Factorizando: 4x(x+2)=0.
Respuesta: A) $x=0$ o $x=-2$
-
Dividir por $x$ en vez de factorizar elimina indebidamente la solución $x=0$.
Dividir por x asume que x≠0, perdiendo esa solución válida.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Resuelve $6x^2-18x=0$.
Factorizando: 6x(x-3)=0.
Respuesta: A) $x=0$ o $x=3$
-
¿Cuál es el error frecuente al resolver $ax^2+bx=0$?
Es común reportar solo la otra raíz, olvidando x=0.
Respuesta: A) Olvidar la solución $x=0$
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$5x^2-15x=0$ tiene soluciones $x=0$ y $x=3$.
Factorizando: 5x(x-3)=0.
Respuesta: Verdadero