Resolución de ecuaciones de la forma ax² = 0

Resumen inicial

La resolución de una ecuación cuadrática monomia $ax^2 = 0$ ($a \neq 0$) se efectúa dividiendo por el coeficiente principal $a$, obteniendo siempre a $x = 0$ como única solución real doble.

Explicación en palabras simples

$La resolución de una ecuación cuadrática monomia $ax^2 = 0$ ($a \neq 0$) se efectúa dividiendo por el coeficiente principal $a$, obteniendo siempre a $x = 0$ como única solución real doble$

La ecuación cuadrática $ax^2 = 0$ es la más directa de todas:
- Tienes un número cualquiera $a$ multiplicando a $x^2$ e igualado a cero (por ejemplo, $8x^2 = 0$ o $-3x^2 = 0$).
- Como el número $a$ no es cero, pasas dividiendo: $x^2 = \frac{0}{a} = 0$.
- El único número que elevado al cuadrado da cero es el cero ($0^2 = 0$).
- Por eso, la respuesta es siempre $x = 0$ (raíz doble).

Explicación formal

Sea $ax^2 = 0$ con $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Por la existencia del inverso multiplicativo $a^{-1} = \frac{1}{a}$:
$$ax^2 = 0 \Longleftrightarrow \frac{1}{a}(ax^2) = \frac{1}{a}(0) \Longleftrightarrow x^2 = 0$$
$$x \cdot x = 0 \Longleftrightarrow x_1 = 0 \quad \lor \quad x_2 = 0$$

Propiedades algebraicas y geométricas:
- Multiplicidad algebraica: $x = 0$ es una raíz de multiplicidad $m = 2$.
- Discriminante: $\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4(a)(0) = 0$.
- Geometría de la parábola: El vértice $V(0, 0)$ es el punto de tangencia con el eje $X$.

Definiciones clave

Ecuación cuadrática monomia: Ecuación con un único término cuadrático $ax^2 = 0$.
Solución doble: Raíz repetida con multiplicidad dos proveniente de $(x - 0)^2 = 0$.

Propiedades y relaciones importantes

Invarianza por signo: El signo de $a$ no altera la raíz $x = 0$ (aplica tanto a $5x^2 = 0$ como a $-5x^2 = 0$).
Conjunto solución unitario: $\mathcal{S} = \{0\}$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La resolución de una ecuación cuadrática monomia $ax^2 = 0$ ($a \neq 0$) se efectúa dividiendo por el coeficiente principal $a$, obteniendo siempre a $x = 0$ como única solución real doble$

Resuelve la ecuación $-\frac{5}{8}x^2 = 0$ justificando analíticamente su conjunto solución.

Paso 1: Identificar el coeficiente cuadrático: $a = -\frac{5}{8} \neq 0$.
Paso 2: Multiplicar ambos lados por el recíproco $-\frac{8}{5}$: $x^2 = 0 \cdot \left(-\frac{8}{5}\right) = 0$.
Paso 3: Aplicar la raíz cuadrada: $x = \pm \sqrt{0} = 0$.
Paso 4: Declarar la solución real doble: $x_1 = x_2 = 0$.
Paso 5: Escribir el conjunto solución: $\mathcal{S} = \{0\}$.

Procedimiento

Paso 1: Verificar que la ecuación tenga la forma monomia $ax^2 = 0$.
Paso 2: Dividir ambos miembros entre el coeficiente $a$ para aislar $x^2 = 0$.
Paso 3: Extraer la raíz cuadrada obteniendo la solución única $x = 0$.
Paso 4: Registrar $x = 0$ como raíz con multiplicidad 2.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Pensar que si $a$ es negativo (como en $-4x^2 = 0$), la ecuación no tiene solución real.
Cómo corregirlo: Al pasar dividiendo el número negativo, $x^2 = \frac{0}{-4} = 0$, lo que SÍ tiene solución real ($x = 0$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Pensar que a pasa restando en lugar de dividiendo."

"Asumir que no hay solución por falta de términos lineales o libres."

"Toda ecuación cuadrática monomia ax² = 0 posee a x = 0 como su única solución real doble."

"El valor numérico del coeficiente cuadrático no modifica la raíz nula de ax² = 0."

"Confundir ax² = 0 con ax² + c = 0."

Al terminar debes poder

$Resumen La resolución de una ecuación cuadrática monomia $ax^2 = 0$ ($a \neq 0$) se efectúa dividiendo por el coeficiente principal $a$, obteniendo siempre a $x = 0$ como única solución real doble$

Resolver con fluidez ecuaciones cuadráticas monomias de la forma ax² = 0.

Aislando la potencia x² = 0 y determinando la raíz doble x = 0.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Para resolver $ax^2=0$, se divide por $a$ obteniendo:
Dividiendo ax^2=0 por a se obtiene x^2=0.

Respuesta: A) $x^2=0$
El signo del coeficiente $a$ en $ax^2=0$:
Sin importar el signo de a, la única solución sigue siendo x=0.

Respuesta: A) No afecta la solución x=0
La ecuación $ax^2=0$ tiene dos soluciones reales distintas.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$5x^2=0$ tiene como única solución $x=0$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Resuelve $9x^2=0$.
Dividiendo por 9, x^2=0, dando x=0.

Respuesta: A) $x=0$
Resuelve $-3x^2=0$.
Dividiendo por -3, x^2=0, dando x=0.

Respuesta: A) $x=0$
Aplicar innecesariamente la fórmula general en vez de despejar directamente es un error frecuente en este caso.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

$7x^2=0$ y $-7x^2=0$ tienen la misma solución.
Resuelve $12x^2=0$.
Dividiendo por 12, x^2=0.

Respuesta: A) $x=0$ (raíz doble)
¿Cuál es el error frecuente al resolver $ax^2=0$?
Es común confundir la raíz doble con dos soluciones distintas.

Respuesta: A) Reportar dos soluciones distintas en vez de una raíz doble

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación