Resolución de ecuaciones completas factorizando trinomios de la forma x² + px + q
Resolver ecuaciones cuadráticas completas con $a=1$ factorizando el trinomio como producto de dos binomios.
Introducción
Cuando el coeficiente cuadrático es 1, factorizar el trinomio se reduce a encontrar dos números que cumplan dos condiciones simultáneas: su suma y su producto.
Explicación
Definición formal
Dada la ecuación $x^2+px+q=0$, si existen $m,n \in \mathbb{R}$ tales que $m+n=p$ y $m \cdot n=q$, entonces $x^2+px+q=(x+m)(x+n)$. Aplicando la propiedad del producto nulo, las soluciones son $x=-m$ y $x=-n$.
Desarrollo didáctico
La búsqueda de $m$ y $n$ conviene hacerla listando los pares de factores de $q$ y verificando cuál par suma exactamente $p$.
Para $x^2-7x+12=0$: se buscan dos números que sumen $-7$ y multipliquen $12$: son $-3$ y $-4$. Factorizando, $(x-3)(x-4)=0$, dando $x=3$ o $x=4$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica $p$ (coeficiente lineal) y $q$ (término independiente) de la ecuación $x^2+px+q=0$.
- Paso 2: Busca dos números $m$ y $n$ tales que $m+n=p$ y $m \cdot n=q$.
- Paso 3: Factoriza como $(x+m)(x+n)=0$ y aplica la propiedad del producto nulo.
- Paso 4: Resuelve cada factor igualado a cero para obtener las soluciones $x=-m$ y $x=-n$.
Ejemplos
1 Resuelve $x^2+8x+15=0$ factorizando.
- Se buscan dos números que sumen $8$ y multipliquen $15$: son $3$ y $5$.
- Factorizando: $(x+3)(x+5)=0$.
- $x=-3$ o $x=-5$.
2 Resuelve $x^2-2x-15=0$ factorizando.
- Se buscan dos números que sumen $-2$ y multipliquen $-15$: son $-5$ y $3$.
- Factorizando: $(x-5)(x+3)=0$.
- $x=5$ o $x=-3$.
3 ¿Toda ecuación de la forma $x^2+px+q=0$ se puede factorizar con números enteros?
- Solo si existen números enteros $m$ y $n$ que cumplan ambas condiciones simultáneamente; si no, se debe recurrir a la fórmula general.
4 ¿Las soluciones de $x^2+px+q=0$ factorizado son siempre los opuestos de $m$ y $n$?
- Al factorizar como $(x+m)(x+n)=0$, las soluciones son $x=-m$ y $x=-n$, no $m$ y $n$ directamente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el signo de las soluciones con el signo de $m$ y $n$ usados en la factorización."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Buscar números que solo cumplan la condición del producto, sin verificar también la suma."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Intentar factorizar con números enteros cuando el trinomio no admite esa factorización, perdiendo tiempo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores al listar los pares de factores de $q$, omitiendo alguno."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para resolver $x^2+px+q=0$, se buscan dos números $m$ y $n$ tales que $m+n=p$ y $m \cdot n=q$, factorizando como $(x+m)(x+n)=0$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para factorizar $x^2+px+q=0$, se buscan dos números que:
Esas son las dos condiciones simultáneas para m y n.
Respuesta: A) Sumen $p$ y multipliquen $q$
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Toda ecuación de la forma $x^2+px+q=0$ se puede factorizar con números enteros.
Solo si existen enteros m y n que cumplan ambas condiciones.
Respuesta: Falso
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Si se factoriza como $(x+m)(x+n)=0$, las soluciones son:
Las soluciones son los opuestos de m y n.
Respuesta: A) $x=-m$ y $x=-n$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$x^2-7x+12=0$ factoriza como $(x-3)(x-4)=0$.
-3 y -4 suman -7 y multiplican 12.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Resuelve $x^2+8x+15=0$ factorizando.
3 y 5 suman 8 y multiplican 15; factorizando (x+3)(x+5)=0.
Respuesta: A) $x=-3$ o $x=-5$
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Resuelve $x^2-2x-15=0$ factorizando.
-5 y 3 suman -2 y multiplican -15; factorizando (x-5)(x+3)=0.
Respuesta: A) $x=5$ o $x=-3$
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Confundir el signo de las soluciones con el signo de $m$ y $n$ es un error frecuente.
Las soluciones son -m y -n, no m y n directamente.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al factorizar un trinomio simple?
Ambas condiciones (suma y producto) deben cumplirse simultáneamente.
Respuesta: A) Buscar números que solo cumplan la condición del producto, sin verificar la suma
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$x^2+x-20=0$ factoriza como $(x+5)(x-4)=0$.
5 y -4 suman 1 y multiplican -20.
Respuesta: Verdadero
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Resuelve $x^2-9x+18=0$ factorizando.
-3 y -6 suman -9 y multiplican 18; factorizando (x-3)(x-6)=0.
Respuesta: A) $x=3$ o $x=6$