Resolución de ecuaciones completas factorizando trinomios de la forma x² + px + q

Resumen inicial

La resolución de trinomios cuadráticos mónicos $x^2 + px + q = 0$ consiste en encontrar dos números $u$ y $v$ tales que su suma sea $u + v = p$ y su producto sea $u \cdot v = q$, factorizando como $(x + u)(x + v) = 0$ con raíces $x_1 = -u$ y $x_2 = -v$.

Explicación en palabras simples

$La resolución de trinomios cuadráticos mónicos $x^2 + px + q = 0$ consiste en encontrar dos números $u$ y $v$ tales que su suma sea $u + v = p$ y su producto sea $u \cdot v = q$, factorizando como $(x + u)(x + v) = 0$ con raíces $x_1 = -u$ y $x_2 = -v$$

Cuando tienes una ecuación cuadrática completa donde $x^2$ no tiene número adelante ($a = 1$):
$$x^2 + px + q = 0$$

El truco de los dos números:
1. Busca dos números $u$ y $v$ que cumplan dos condiciones a la vez:
- Multiplicados deben dar el número del final ($u \cdot v = q$).
- Sumados deben dar el número del medio ($u + v = p$).
2. Escribes los paréntesis: $(x + u)(x + v) = 0$.
3. Las soluciones son los números con signo cambiado:
- $x_1 = -u$
- $x_2 = -v$

Ejemplo: En $x^2 + 5x + 6 = 0$, los números son $2$ y $3$ ($2 \cdot 3 = 6$ y $2 + 3 = 5$). Factorizas $(x + 2)(x + 3) = 0 \implies x_1 = -2, x_2 = -3$.

Explicación formal

Dada la ecuación cuadrática normalizada mónic $x^2 + px + q = 0$ con $p, q \in \mathbb{R}$:

Identidad de Vieta para factorización binómica:
$$(x + u)(x + v) = x^2 + (u + v)x + (u \cdot v)$$

Igualando coeficientes término a término:
$$\begin{cases} u + v = p \\ u \cdot v = q \end{cases}$$

Aplicación del producto nulo:
$$(x + u)(x + v) = 0 \Longleftrightarrow x + u = 0 \quad \lor \quad x + v = 0$$
$$x_1 = -u, \quad x_2 = -v$$

Regla de signos de los números $u$ y $v$ según el signo de $q$ y $p$:
- Si $q > 0$: $u$ y $v$ tienen el mismo signo (ambos positivos si $p > 0$; ambos negativos si $p < 0$).
- Si $q < 0$: $u$ y $v$ tienen signos contrarios (el de mayor valor absoluto lleva el signo de $p$).

Definiciones clave

Trinomio mónico de segundo grado: Trinomio cuadrático con coeficiente principal unitario $a = 1$.
Factores binómicos lineales: Expresiones $(x + u)$ y $(x + v)$ cuyo producto genera el trinomio.

Propiedades y relaciones importantes

Condición de factorizabilidad sobre los enteros: El discriminante $\Delta = p^2 - 4q$ debe ser un cuadrado perfecto en $\mathbb{Z}$.
Relación con las soluciones: Las raíces reales de la ecuación son los opuestos aditivos de los términos independientes de los factores binomios.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La resolución de trinomios cuadráticos mónicos $x^2 + px + q = 0$ consiste en encontrar dos números $u$ y $v$ tales que su suma sea $u + v = p$ y su producto sea $u \cdot v = q$, factorizando como $(x + u)(x + v) = 0$ con raíces $x_1 = -u$ y $x_2 = -v$$

Resuelve la ecuación cuadrática $x^2 - 2x - 24 = 0$ mediante factorización de trinomio mónico.

Paso 1: Identificar la suma requerida $p = -2$ y el producto requerido $q = -24$.
Paso 2: Como $q = -24 < 0$, los dos números deben tener signos contrarios y diferir en 2 unidades.
Paso 3: Probar divisores de 24: $1 \times 24$, $2 \times 12$, $3 \times 8$, $4 \times 6$. - La pareja $(4, -6)$ cumple: $4 \cdot (-6) = -24$ y $4 + (-6) = -2$.
Paso 4: Escribir la factorización: $(x + 4)(x - 6) = 0$.
Paso 5: Aplicar la propiedad del producto cero: $x + 4 = 0 \implies x_1 = -4$ y $x - 6 = 0 \implies x_2 = 6$.
Paso 6: Concluir el conjunto solución: $\mathcal{S} = \{-4, 6\}$.

Procedimiento

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma canónica $x^2 + px + q = 0$ asegurando que $a = 1$.
Paso 2: Descomponer el término independiente $q$ en pares de factores multiplicativos.
Paso 3: Seleccionar la pareja $(u, v)$ cuya suma algebraica sea igual al coeficiente lineal $p$.
Paso 4: Escribir la factorización $(x + u)(x + v) = 0$.
Paso 5: Igualar cada factor a cero para obtener las soluciones con signo opuesto: $x_1 = -u$ y $x_2 = -v$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Dar como soluciones los números de los factores sin cambiarles el signo (ej: $(x + 3)(x - 5) = 0 \implies x = 3, x = -5$).
Cómo corregirlo: Recuerda que al despejar $x + 3 = 0$, el número pasa restando: $x = -3$, y $x - 5 = 0 \implies$ $x = 5$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Confundir los signos de u y v cuando el producto es negativo."

"Las raíces de la ecuación son los números opuestos x1 = -u y x2 = -v."

"No cambiar el signo de los números al despejar las raíces de los binomios."

"Para resolver x² + px + q = 0 se buscan dos números u y v tales que u + v = p y u · v = q."

"Intentar este método en trinomios no factorizables en los enteros."

Al terminar debes poder

$Resumen La resolución de trinomios cuadráticos mónicos $x^2 + px + q = 0$ consiste en encontrar dos números $u$ y $v$ tales que su suma sea $u + v = p$ y su producto sea $u \cdot v = q$, factorizando como $(x + u)(x + v) = 0$ con raíces $x_1 = -u$ y $x_2 = -v$$

Resolver ecuaciones cuadráticas completas mónicas mediante factorización de trinomios x² + px + q = 0.

Buscando la pareja de números que satisface suma p y producto q, factorizando como (x + u)(x + v) = 0 y despejando sus raíces.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Para factorizar $x^2+px+q=0$, se buscan dos números que:
Esas son las dos condiciones simultáneas para m y n.

Respuesta: A) Sumen $p$ y multipliquen $q$
Toda ecuación de la forma $x^2+px+q=0$ se puede factorizar con números enteros.
Si se factoriza como $(x+m)(x+n)=0$, las soluciones son:
Las soluciones son los opuestos de m y n.

Respuesta: A) $x=-m$ y $x=-n$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$x^2-7x+12=0$ factoriza como $(x-3)(x-4)=0$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Resuelve $x^2+8x+15=0$ factorizando.
3 y 5 suman 8 y multiplican 15; factorizando (x+3)(x+5)=0.

Respuesta: A) $x=-3$ o $x=-5$
Resuelve $x^2-2x-15=0$ factorizando.
-5 y 3 suman -2 y multiplican -15; factorizando (x-5)(x+3)=0.

Respuesta: A) $x=5$ o $x=-3$
Confundir el signo de las soluciones con el signo de $m$ y $n$ es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al factorizar un trinomio simple?
Ambas condiciones (suma y producto) deben cumplirse simultáneamente.

Respuesta: A) Buscar números que solo cumplan la condición del producto, sin verificar la suma
$x^2+x-20=0$ factoriza como $(x+5)(x-4)=0$.
Resuelve $x^2-9x+18=0$ factorizando.
-3 y -6 suman -9 y multiplican 18; factorizando (x-3)(x-6)=0.

Respuesta: A) $x=3$ o $x=6$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación