Resolución de ecuaciones completas factorizando trinomios de la forma ax² + bx + c
Resolver ecuaciones cuadráticas completas con $a\neq1$ factorizando el trinomio mediante descomposición del término lineal.
Introducción
Cuando el coeficiente cuadrático no es 1, factorizar exige un paso adicional: descomponer el término lineal en dos partes que permitan agrupar la expresión.
Explicación
Definición formal
Dada $ax^2+bx+c=0$ con $a\neq1$, se buscan $m,n$ tales que $m+n=b$ y $m \cdot n=a \cdot c$. Reescribiendo $bx=mx+nx$, el trinomio $ax^2+mx+nx+c$ se factoriza agrupando en dos pares de términos, obteniendo un factor común binomio.
Desarrollo didáctico
Este método, conocido como factorización por agrupación, transforma un trinomio de cuatro términos en un producto de dos binomios, cada uno con su propio factor común.
Para $2x^2+7x+3=0$: $a \cdot c=6$; se buscan $m,n$ con $m+n=7$ y $m \cdot n=6$: son $1$ y $6$. Reescribiendo: $2x^2+x+6x+3=x(2x+1)+3(2x+1)=(2x+1)(x+3)=0$, dando $x=-1/2$ o $x=-3$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula el producto $a \cdot c$.
- Paso 2: Busca dos números $m$ y $n$ tales que $m+n=b$ y $m \cdot n=a \cdot c$.
- Paso 3: Reescribe el término lineal como $mx+nx$ y agrupa en dos pares de términos.
- Paso 4: Extrae el factor común de cada par y factoriza el binomio común restante.
- Paso 5: Aplica la propiedad del producto nulo para hallar las soluciones.
Ejemplos
1 Resuelve $3x^2+11x+6=0$ factorizando.
- $a \cdot c=18$; se buscan $m,n$ con $m+n=11$ y $m \cdot n=18$: son $2$ y $9$.
- $3x^2+2x+9x+6=x(3x+2)+3(3x+2)=(3x+2)(x+3)=0$.
- $x=-2/3$ o $x=-3$.
2 Resuelve $2x^2-5x-3=0$ factorizando.
- $a \cdot c=-6$; se buscan $m,n$ con $m+n=-5$ y $m \cdot n=-6$: son $-6$ y $1$.
- $2x^2-6x+x-3=2x(x-3)+1(x-3)=(2x+1)(x-3)=0$.
- $x=-1/2$ o $x=3$.
3 ¿La factorización por agrupación requiere calcular primero el producto $a \cdot c$?
- Los números $m$ y $n$ deben multiplicar exactamente $a \cdot c$, no solo $c$, cuando $a\neq1$.
4 ¿Toda ecuación de la forma $ax^2+bx+c=0$ con $a\neq1$ admite factorización por agrupación con números enteros?
- Solo si existen enteros $m$ y $n$ que cumplan ambas condiciones; en caso contrario conviene usar la fórmula general.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Buscar $m$ y $n$ que multipliquen solo $c$ en vez de $a \cdot c$, un error común al generalizar el método del trinomio simple."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Agrupar incorrectamente los términos, sin extraer el factor común correcto de cada par."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al reescribir el término lineal como suma de $mx+nx$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar que el binomio factor común sea idéntico en ambos grupos antes de factorizarlo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para resolver $ax^2+bx+c=0$ con $a\neq1$, se descompone $b$ en dos números cuyo producto sea $a \cdot c$ y cuya suma sea $b$, reescribiendo el trinomio para factorizar por agrupación.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La factorización por agrupación requiere calcular primero el producto $a\cdot c$.
m y n deben multiplicar exactamente a·c.
Respuesta: Verdadero
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Toda ecuación $ax^2+bx+c=0$ con $a\neq1$, ¿admite factorización con números enteros?
En caso contrario, conviene usar la fórmula general.
Respuesta: A) No, solo si existen enteros que cumplan ambas condiciones
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En la factorización por agrupación de $ax^2+bx+c=0$ con $a\neq1$, se buscan $m,n$ tales que:
El producto debe ser a·c, no solo c, cuando a≠1.
Respuesta: A) $m+n=b$ y $m\cdot n=a\cdot c$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$2x^2+7x+3=0$ factoriza como $(2x+1)(x+3)=0$.
1 y 6 suman 7 y multiplican 6=2·3; agrupando se obtiene esa factorización.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Resuelve $2x^2+7x+3=0$ factorizando.
Factorizando: (2x+1)(x+3)=0.
Respuesta: A) $x=-1/2$ o $x=-3$
-
Resuelve $2x^2-5x-3=0$ factorizando.
Factorizando: (2x+1)(x-3)=0.
Respuesta: A) $x=-1/2$ o $x=3$
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Buscar $m$ y $n$ que multipliquen solo $c$ en vez de $a\cdot c$ es un error frecuente al generalizar el método.
Es un error común al pasar del trinomio simple al general.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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$3x^2+11x+6=0$ factoriza como $(3x+2)(x+3)=0$.
2 y 9 suman 11 y multiplican 18=3·6; agrupando se obtiene esa factorización.
Respuesta: Verdadero
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Resuelve $5x^2+13x-6=0$ factorizando.
a·c=-30; se buscan m,n con m+n=13 y m·n=-30: son 15 y -2; agrupando se obtiene (5x-2)(x+3)=0.
Respuesta: A) $x=2/5$ o $x=-3$
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¿Cuál es el error frecuente al factorizar por agrupación?
Es un paso delicado donde se cometen errores frecuentes.
Respuesta: A) Agrupar incorrectamente sin extraer el factor común correcto