Formación de una ecuación cuadrática mónica conocidas sus raíces
Construir la ecuación cuadrática mónica (con $a=1$) que tiene dos raíces dadas, usando las relaciones de Vieta en sentido inverso.
Introducción
Así como se puede pasar de una ecuación a sus raíces, también se puede hacer el camino inverso: dadas dos raíces, reconstruir la ecuación cuadrática más simple que las tiene como soluciones.
Explicación
Definición formal
Si $x_1$ y $x_2$ son las raíces deseadas, la ecuación cuadrática mónica (con coeficiente principal $a=1$) que las tiene como soluciones es $x^2-(x_1+x_2)x+(x_1 \cdot x_2)=0$. Esta fórmula es la aplicación inversa de las relaciones de Vieta: en vez de partir de la ecuación para hallar suma y producto, se parte de la suma y el producto para construir la ecuación.
Desarrollo didáctico
Basta con calcular la suma y el producto de las raíces dadas, y sustituirlos directamente en la fórmula $x^2-(\text{suma})x+(\text{producto})=0$.
Para raíces $x_1=3$ y $x_2=-2$: suma $=1$, producto $=-6$. La ecuación mónica es $x^2-1x+(-6)=0$, es decir $x^2-x-6=0$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula la suma $x_1+x_2$ de las raíces dadas.
- Paso 2: Calcula el producto $x_1 \cdot x_2$ de las raíces dadas.
- Paso 3: Sustituye ambos valores en $x^2-(\text{suma})x+(\text{producto})=0$.
Ejemplos
1 Construye la ecuación mónica cuyas raíces son $4$ y $5$.
- Suma $=4+5=9$; producto $=4 \cdot 5=20$.
- La ecuación es $x^2-9x+20=0$.
2 Construye la ecuación mónica cuyas raíces son $-3$ y $7$.
- Suma $=-3+7=4$; producto $=-3 \cdot 7=-21$.
- La ecuación es $x^2-4x-21=0$.
3 ¿Es única la ecuación mónica con dos raíces dadas?
- Fijando $a=1$, la suma y el producto de las raíces determinan completamente los coeficientes $b$ y $c$.
4 ¿El coeficiente $b$ de la ecuación mónica es igual a la suma de las raíces?
- El coeficiente $b$ es el opuesto de la suma de las raíces, es decir $b=-(x_1+x_2)$, no la suma directamente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar el signo negativo delante del término de la suma al construir la ecuación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la posición de la suma y el producto dentro de la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al calcular la suma o el producto cuando alguna raíz es negativa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Construir una ecuación con $a\neq1$ pensando que la mónica permite cualquier coeficiente principal."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dadas dos raíces $x_1$ y $x_2$, la **ecuación cuadrática mónica** que las tiene como soluciones es $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La ecuación cuadrática mónica con raíces $x_1$ y $x_2$ es:
Es la aplicación inversa de las relaciones de Vieta.
Respuesta: A) $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$
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El coeficiente $b$ de la ecuación mónica es igual a la suma de las raíces.
b es el opuesto de la suma de las raíces, no la suma directamente.
Respuesta: Falso
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¿Es única la ecuación mónica con dos raíces dadas?
La suma y el producto determinan completamente los coeficientes.
Respuesta: A) Sí, fijando a=1 quedan determinados b y c
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La ecuación mónica con raíces 4 y 5 es $x^2-9x+20=0$.
Suma=9, producto=20.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Construye la ecuación mónica cuyas raíces son 4 y 5.
Suma=9, producto=20.
Respuesta: A) $x^2-9x+20=0$
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Construye la ecuación mónica cuyas raíces son -3 y 7.
Suma=4, producto=-21.
Respuesta: A) $x^2-4x-21=0$
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Olvidar el signo negativo delante del término de la suma al construir la ecuación es un error frecuente.
El coeficiente b es -(suma), por lo que omitir el signo es un error común.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La ecuación mónica con raíces -2 y -5 es $x^2+7x+10=0$.
Suma=-7, producto=10; x^2-(-7)x+10=x^2+7x+10=0.
Respuesta: Verdadero
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Construye la ecuación mónica cuyas raíces son 0 y 6.
Suma=6, producto=0.
Respuesta: A) $x^2-6x=0$
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¿Cuál es el error frecuente al construir la ecuación mónica?
Es común invertir dónde va la suma y dónde va el producto.
Respuesta: A) Confundir la posición de la suma y el producto en la fórmula