Formación de una ecuación cuadrática mónica conocidas sus raíces

Resumen inicial

La formación de una ecuación cuadrática mónica a partir de sus raíces conocidas $x_1$ y $x_2$ se obtiene directamente mediante la estructura canónica $x^2 - Sx + P = 0$, donde $S = x_1 + x_2$ es la suma y $P = x_1 \cdot x_2$ es el producto.

Explicación en palabras simples

$La formación de una ecuación cuadrática mónica a partir de sus raíces conocidas $x_1$ y $x_2$ se obtiene directamente mediante la estructura canónica $x^2 - Sx + P = 0$, donde $S = x_1 + x_2$ es la suma y $P = x_1 \cdot x_2$ es el producto$

Si te dan las dos soluciones de una ecuación (por ejemplo $x_1 = 3$ y $x_2 = 5$) y te piden reconstruir la ecuación original:

La fórmula de construcción mónica:
$$x^2 - Sx + P = 0$$
1. Calcula la Suma ($S$): $S = 3 + 5 = 8$.
2. Calcula el Producto ($P$): $P = 3 \cdot 5 = 15$.
3. Arma la ecuación:
$$x^2 - (8)x + (15) = 0 \implies x^2 - 8x + 15 = 0$$
- ¡Cuidado con el signo menos! El término del medio lleva siempre un signo menos antes de la suma ($-S$).

Explicación formal

Sean $x_1, x_2 \in \mathbb{C}$ dos números dados. El polinomio mónic de grado 2 que posee a $x_1$ y $x_2$ como raíces se define unívocamente por el producto de factores lineales:
$$P(x) = (x - x_1)(x - x_2) = 0$$

Desarrollando algebraicamente mediante la propiedad distributiva:
$$x^2 - x_2 x - x_1 x + x_1 x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 x_2) = 0$$

Definiendo los invariantes simétricos elementales:
$$S = x_1 + x_2, \quad P = x_1 \cdot x_2$$

Se obtiene la ecuación cuadrática mónica canónica:
$$x^2 - Sx + P = 0$$

Definiciones clave

Ecuación cuadrática mónica: Ecuación de segundo grado cuyo coeficiente principal es unitario ($a = 1$).
Polinomio mónico de raíces dadas: Expresión $x^2 - Sx + P$ construida a partir de la suma y producto de sus ceros.

Propiedades y relaciones importantes

Unicidad: La ecuación mónica asociada a un conjunto de raíces es única.
Raíces irracionales conjugadas: Si las raíces son $p \pm \sqrt{q}$, entonces $S = 2p$ y $P = p^2 - q$, resultando coeficientes estrictamente racionales $x^2 - 2px + (p^2 - q) = 0$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La formación de una ecuación cuadrática mónica a partir de sus raíces conocidas $x_1$ y $x_2$ se obtiene directamente mediante la estructura canónica $x^2 - Sx + P = 0$, donde $S = x_1 + x_2$ es la suma y $P = x_1 \cdot x_2$ es el producto$

Construye la ecuación cuadrática mónica cuyas raíces son $x_1 = 3 + \sqrt{5}$ y $x_2 = 3 - \sqrt{5}$.

Paso 1: Calcular la suma de las raíces: $S = (3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 3 + 3 = 6$.
Paso 2: Calcular el producto de las raíces (suma por diferencia): $P = (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.
Paso 3: Sustituir $S = 6$ y $P = 4$ en la estructura $x^2 - Sx + P = 0$: $x^2 - 6x + 4 = 0$.
Paso 4: Concluir: La ecuación mónica buscada es $x^2 - 6x + 4 = 0$.

Procedimiento

Paso 1: Sumar las dos raíces conocidas para hallar $S = x_1 + x_2$.
Paso 2: Multiplicar las dos raíces conocidas para hallar $P = x_1 \cdot x_2$.
Paso 3: Plantear la estructura canónica $x^2 - Sx + P = 0$.
Paso 4: Sustituir $S$ y $P$ aplicando las leyes de signos pertinentes.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir $x^2 + Sx + P = 0$ con signo positivo en la suma.
Cómo corregirlo: La fórmula lleva siempre signo menos en la suma: $x^2 - Sx + P = 0$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Poner signo positivo en el término lineal de la suma."

"Confundir la suma con el producto de las raíces."

"El coeficiente lineal de una ecuación mónica es el opuesto aditivo de la suma de sus raíces."

"La ecuación mónica cuyas raíces son x1 y x2 viene dada por x² - Sx + P = 0."

"Olvidar igualar la expresión final a cero."

Al terminar debes poder

$Resumen La formación de una ecuación cuadrática mónica a partir de sus raíces conocidas $x_1$ y $x_2$ se obtiene directamente mediante la estructura canónica $x^2 - Sx + P = 0$, donde $S = x_1 + x_2$ es la suma y $P = x_1 \cdot x_2$ es el producto$

Construir ecuaciones cuadráticas mónicas conociendo sus raíces.

Calculando la suma S y el producto P de las raíces y estructurando x² - Sx + P = 0.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

La ecuación cuadrática mónica con raíces $x_1$ y $x_2$ es:
Es la aplicación inversa de las relaciones de Vieta.

Respuesta: A) $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$
El coeficiente $b$ de la ecuación mónica es igual a la suma de las raíces.
¿Es única la ecuación mónica con dos raíces dadas?
La suma y el producto determinan completamente los coeficientes.

Respuesta: A) Sí, fijando a=1 quedan determinados b y c

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

La ecuación mónica con raíces 4 y 5 es $x^2-9x+20=0$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Construye la ecuación mónica cuyas raíces son 4 y 5.
Suma=9, producto=20.

Respuesta: A) $x^2-9x+20=0$
Construye la ecuación mónica cuyas raíces son -3 y 7.
Suma=4, producto=-21.

Respuesta: A) $x^2-4x-21=0$
Olvidar el signo negativo delante del término de la suma al construir la ecuación es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

La ecuación mónica con raíces -2 y -5 es $x^2+7x+10=0$.
Construye la ecuación mónica cuyas raíces son 0 y 6.
Suma=6, producto=0.

Respuesta: A) $x^2-6x=0$
¿Cuál es el error frecuente al construir la ecuación mónica?
Es común invertir dónde va la suma y dónde va el producto.

Respuesta: A) Confundir la posición de la suma y el producto en la fórmula

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación