Formación de una ecuación cuadrática general conocidas sus raíces y coeficiente principal
Construir la ecuación cuadrática general, con un coeficiente principal $a$ dado, a partir de sus dos raíces conocidas.
Introducción
Cuando además de las raíces se especifica el valor del coeficiente cuadrático, la ecuación mónica ya no es suficiente; hay que escalar toda la ecuación por ese coeficiente.
Explicación
Definición formal
Si $x_1$ y $x_2$ son las raíces deseadas y se especifica un coeficiente principal $a\neq0$, la ecuación cuadrática correspondiente es $a\,x^2-a(x_1+x_2)x+a(x_1x_2)=0$, obtenida al multiplicar la ecuación mónica $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$ por $a$.
Desarrollo didáctico
Construir esta ecuación es un proceso de dos etapas: primero se forma la ecuación mónica con las raíces dadas, y luego se multiplica toda la ecuación por el coeficiente principal deseado.
Para raíces $x_1=2$, $x_2=-1$ y coeficiente $a=3$: la mónica es $x^2-x-2=0$; multiplicando por $3$: $3x^2-3x-6=0$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula la suma y el producto de las raíces dadas.
- Paso 2: Forma la ecuación mónica $x^2-(\text{suma})x+(\text{producto})=0$.
- Paso 3: Multiplica toda la ecuación por el coeficiente principal $a$ especificado.
Ejemplos
1 Construye la ecuación cuadrática con raíces $1$ y $6$, y coeficiente principal $a=2$.
- Mónica: suma $=7$, producto $=6$, dando $x^2-7x+6=0$.
- Multiplicando por $2$: $2x^2-14x+12=0$.
2 Construye la ecuación cuadrática con raíces $-2$ y $3$, y coeficiente principal $a=-1$.
- Mónica: suma $=1$, producto $=-6$, dando $x^2-x-6=0$.
- Multiplicando por $-1$: $-x^2+x+6=0$.
3 ¿La ecuación construida con un coeficiente principal distinto de 1 tiene las mismas raíces que la mónica?
- Multiplicar toda la ecuación por una constante distinta de cero no cambia su conjunto solución.
4 ¿Existen infinitas ecuaciones cuadráticas distintas con las mismas dos raíces?
- Cada valor distinto del coeficiente principal $a$ genera una ecuación diferente (aunque equivalente en soluciones), por lo que hay infinitas posibilidades.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar multiplicar todos los términos de la ecuación mónica por el coeficiente principal, multiplicando solo algunos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el coeficiente principal solicitado con uno de los valores de las raíces."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al multiplicar una ecuación con términos negativos por un coeficiente también negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer incorrectamente que cambiar el coeficiente principal cambia las raíces de la ecuación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dadas dos raíces $x_1$, $x_2$ y un coeficiente principal $a$, la ecuación cuadrática correspondiente es $a\left[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\right]=0$, es decir, la mónica multiplicada por $a$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para construir la ecuación con coeficiente principal $a$ y raíces dadas, se debe:
Se escala toda la ecuación mónica por el coeficiente principal deseado.
Respuesta: A) Multiplicar la ecuación mónica por $a$
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La ecuación construida con un coeficiente principal distinto de 1 tiene las mismas raíces que la mónica.
Multiplicar por una constante distinta de cero no cambia el conjunto solución.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuántas ecuaciones cuadráticas distintas existen con las mismas dos raíces?
Cada valor distinto del coeficiente principal genera una ecuación diferente.
Respuesta: A) Infinitas, una por cada valor de $a$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Con raíces 1 y 6, y $a=2$, la ecuación es $2x^2-14x+12=0$.
Mónica: x^2-7x+6=0; multiplicada por 2: 2x^2-14x+12=0.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Construye la ecuación con raíces 1 y 6, y coeficiente principal $a=2$.
Mónica: x^2-7x+6=0; multiplicada por 2.
Respuesta: A) $2x^2-14x+12=0$
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Construye la ecuación con raíces -2 y 3, y coeficiente principal $a=-1$.
Mónica: x^2-x-6=0; multiplicada por -1: -x^2+x+6=0.
Respuesta: A) $-x^2+x+6=0$
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Olvidar multiplicar todos los términos de la ecuación mónica por $a$ es un error frecuente.
Se debe multiplicar cada término, no solo algunos.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Construye la ecuación con raíces 2 y -4, y coeficiente principal $a=3$.
Mónica: x^2+2x-8=0; multiplicada por 3: 3x^2+6x-24=0.
Respuesta: A) $3x^2+6x-24=0$
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Cambiar el coeficiente principal cambia las raíces de la ecuación.
Multiplicar por una constante no cambia las raíces, solo escala la ecuación.
Respuesta: Falso
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¿Cuál es el error frecuente al construir la ecuación con coeficiente principal dado?
Son datos distintos: el coeficiente a y las raíces x1, x2.
Respuesta: A) Confundir el coeficiente principal con una de las raíces