Formación de una ecuación cuadrática general conocidas sus raíces y coeficiente principal

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

La formación de una ecuación cuadrática general con coeficiente principal $a \neq 0$ a partir de sus raíces conocidas consiste en ponderar la forma mónica por dicho escalar: $a(x^2 - Sx + P) = 0 \iff ax^2 - aSx + aP = 0$.

Explicación en palabras simples

La formación de una ecuación cuadrática general con coeficiente principal $a \neq 0$ a partir de sus raíces conocidas consiste en ponderar la forma mónica por dicho escalar: $a(x^2 - Sx + P) = 0 \iff ax^2 - aSx + aP = 0$

¿Qué pasa si te dan las raíces (por ejemplo $x_1 = \frac{1}{2}$ y $x_2 = 3$) pero te piden una ecuación con coeficientes enteros o con un coeficiente específico como $a = 2$?

El método en 2 pasos:
1. Paso 1: Construyes la ecuación mónica normal: $x^2 - Sx + P = 0$.
2. Paso 2: Multiplicas toda la ecuación por el número $a$:
$$a \cdot (x^2 - Sx + P) = 0 \implies ax^2 - aSx + aP = 0$$
- Ejemplo: Si $S = \frac{7}{2}$ y $P = \frac{3}{2}$, la mónica es $x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$.
- Multiplicas todo por $a = 2$ y queda una ecuación limpia con enteros: $2x^2 - 7x + 3 = 0$.

Explicación formal

Sea el conjunto de ceros $\{x_1, x_2\} \subset \mathbb{C}$ y un coeficiente principal fijado $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. El polinomio cuadrático general está unívocamente determinado por la factorización de Gauss:
$$P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = 0$$

Sustituyendo los invariantes de Vieta $S = x_1 + x_2$ y $P = x_1 x_2$:
$$P(x) = a\left(x^2 - Sx + P\right) = ax^2 - (aS)x + (aP) = 0$$

Propiedades algebraicas:
- Eliminación canónica de denominadores: Si $x_1, x_2 \in \mathbb{Q}$, se elige $a = \text{mcm}(\text{den}(S), \text{den}(P))$ para generar una ecuación primitiva con coeficientes enteros coprimos en $\mathbb{Z}$.
- Invarianza del conjunto de ceros: $\forall a \neq 0$, $\mathcal{S}(a \cdot P) = \mathcal{S}(P)$.

Comprueba tu avance Si las raíces de una ecuación son 1 y -3, ¿cuál es la ecuación cuadrática que tiene coeficiente principal a = 4?

Definiciones clave

  • Ecuación cuadrática general ponderada: Ecuación $a(x^2 - Sx + P) = 0$ que respeta una escala o condición de primalidad entera.
  • Polinomio cuadrático primitivo: Polinomio con coeficientes enteros cuyo máximo común divisor global es 1.

Propiedades y relaciones importantes

  • Haz de polinomios con raíces fijas: Familia uniparamétrica de curvas $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ que comparten las mismas intersecciones con el eje $X$.
  • Apertura de la parábola: El parámetro $a$ controla el sentido de concavidad y la amplitud geométrica de las ramas.

Ejemplo guiado

Ejemplo La formación de una ecuación cuadrática general con coeficiente principal $a \neq 0$ a partir de sus raíces conocidas consiste en ponderar la forma mónica por dicho escalar: $a(x^2 - Sx + P) = 0 \iff ax^2 - aSx + aP = 0$

Determina la ecuación cuadrática con coeficientes enteros irreductibles cuyas raíces son $x_1 = \frac{2}{3}$ y $x_2 = -\frac{1}{4}$.

  • Paso 1: Calcular la suma de las raíces: $S = \frac{2}{3} + \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.
  • Paso 2: Calcular el producto de las raíces: $P = \left(\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6} = -\frac{2}{12}$.
  • Paso 3: Escribir la forma mónica: $x^2 - \frac{5}{12}x - \frac{2}{12} = 0$.
  • Paso 4: Multiplicar por el MCM de los denominadores $a = 12$: $12\left(x^2 - \frac{5}{12}x - \frac{2}{12}\right) = 12(0) \implies 12x^2 - 5x - 2 = 0$.
  • Paso 5: Concluir: La ecuación general con coeficientes enteros es $12x^2 - 5x - 2 = 0$.
Comprueba tu avance ¿Por qué multiplicar toda la ecuación cuadrática por una constante no nula 'a' no altera sus soluciones?

Procedimiento

  • Paso 1: Calcular la suma $S$ y el producto $P$ de las raíces dadas.
  • Paso 2: Escribir la estructura cuadrática mónica $x^2 - Sx + P = 0$.
  • Paso 3: Determinar el valor de $a$ (el coeficiente pedido o el MCM de denominadores).
  • Paso 4: Distribuir el factor $a$ en todos los términos: $ax^2 - aSx + aP = 0$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Multiplicar solo el término cuadrático por $a$ dejando los otros términos sin multiplicar ($ax^2 - Sx + P = 0$).
  • Cómo corregirlo: La constante $a$ se debe distribuir sobre TODOS los términos: $a \cdot x^2 - a \cdot Sx + a \cdot P = 0$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Forma la ecuación cuadrática con raíces $2$ y $5$, y coeficiente principal $a = 3$.
2 Forma una ecuación con coeficientes enteros para raíces $x_1 = 1/2$ y $x_2 = 4$.
3 Forma la ecuación con raíces $-1$ y $3$, con $a = -2$.
4 Determina la ecuación entera para raíces $-1/3$ y $2/5$.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Elegir un multiplicador que no elimine todas las fracciones."
"Multiplicar por a solo el lado izquierdo sin igualar a cero."
"La ecuación ax² - aSx + aP = 0 posee exactamente las mismas raíces que la ecuación mónica x² - Sx + P = 0."
"No distribuir el coeficiente principal a sobre todos los términos."
"Multiplicar una ecuación cuadrática por una constante no nula preserva intacto su conjunto solución."

Al terminar debes poder

Resumen La formación de una ecuación cuadrática general con coeficiente principal $a \neq 0$ a partir de sus raíces conocidas consiste en ponderar la forma mónica por dicho escalar: $a(x^2 - Sx + P) = 0 \iff ax^2 - aSx + aP = 0$

🎯 QUÉ Objetivo

Formar ecuaciones cuadráticas generales conocidas sus raíces y su coeficiente principal.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Distribuyendo el coeficiente principal a sobre la forma mónica canónica a(x² - Sx + P) = 0.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra / Propiedades de las Raíces y Relaciones de Vieta

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Para construir la ecuación con coeficiente principal $a$ y raíces dadas, se debe:

  2. La ecuación construida con un coeficiente principal distinto de 1 tiene las mismas raíces que la mónica.

  3. ¿Cuántas ecuaciones cuadráticas distintas existen con las mismas dos raíces?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Con raíces 1 y 6, y $a=2$, la ecuación es $2x^2-14x+12=0$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Construye la ecuación con raíces 1 y 6, y coeficiente principal $a=2$.

  2. Construye la ecuación con raíces -2 y 3, y coeficiente principal $a=-1$.

  3. Olvidar multiplicar todos los términos de la ecuación mónica por $a$ es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Construye la ecuación con raíces 2 y -4, y coeficiente principal $a=3$.

  2. Cambiar el coeficiente principal cambia las raíces de la ecuación.

  3. ¿Cuál es el error frecuente al construir la ecuación con coeficiente principal dado?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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