Formación de una ecuación cuadrática general conocidas sus raíces y coeficiente principal

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

La formación de una ecuación cuadrática general con coeficiente principal $a \neq 0$ a partir de sus raíces conocidas consiste en ponderar la forma mónica por dicho escalar: $a(x^2 - Sx + P) = 0 \iff ax^2 - aSx + aP = 0$.

Explicación en palabras simples

La formación de una ecuación cuadrática general con coeficiente principal $a \neq 0$ a partir de sus raíces conocidas consiste en ponderar la forma mónica por dicho escalar: $a(x^2 - Sx + P) = 0 \iff ax^2 - aSx + aP = 0$

¿Qué pasa si te dan las raíces (por ejemplo $x_1 = \frac{1}{2}$ y $x_2 = 3$) pero te piden una ecuación con coeficientes enteros o con un coeficiente específico como $a = 2$?

El método en 2 pasos:
1. Paso 1: Construyes la ecuación mónica normal: $x^2 - Sx + P = 0$.
2. Paso 2: Multiplicas toda la ecuación por el número $a$:
$$a \cdot (x^2 - Sx + P) = 0 \implies ax^2 - aSx + aP = 0$$
- Ejemplo: Si $S = \frac{7}{2}$ y $P = \frac{3}{2}$, la mónica es $x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$.
- Multiplicas todo por $a = 2$ y queda una ecuación limpia con enteros: $2x^2 - 7x + 3 = 0$.

Explicación formal

Sea el conjunto de ceros $\{x_1, x_2\} \subset \mathbb{C}$ y un coeficiente principal fijado $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. El polinomio cuadrático general está unívocamente determinado por la factorización de Gauss:
$$P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = 0$$

Sustituyendo los invariantes de Vieta $S = x_1 + x_2$ y $P = x_1 x_2$:
$$P(x) = a\left(x^2 - Sx + P\right) = ax^2 - (aS)x + (aP) = 0$$

Propiedades algebraicas:
- Eliminación canónica de denominadores: Si $x_1, x_2 \in \mathbb{Q}$, se elige $a = \text{mcm}(\text{den}(S), \text{den}(P))$ para generar una ecuación primitiva con coeficientes enteros coprimos en $\mathbb{Z}$.
- Invarianza del conjunto de ceros: $\forall a \neq 0$, $\mathcal{S}(a \cdot P) = \mathcal{S}(P)$.

Comprueba tu avance Si las raíces de una ecuación son 1 y -3, ¿cuál es la ecuación cuadrática que tiene coeficiente principal a = 4?

Definiciones clave

  • Ecuación cuadrática general ponderada: Ecuación $a(x^2 - Sx + P) = 0$ que respeta una escala o condición de primalidad entera.
  • Polinomio cuadrático primitivo: Polinomio con coeficientes enteros cuyo máximo común divisor global es 1.

Propiedades y relaciones importantes

  • Haz de polinomios con raíces fijas: Familia uniparamétrica de curvas $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ que comparten las mismas intersecciones con el eje $X$.
  • Apertura de la parábola: El parámetro $a$ controla el sentido de concavidad y la amplitud geométrica de las ramas.

Ejemplo guiado

Ejemplo La formación de una ecuación cuadrática general con coeficiente principal $a \neq 0$ a partir de sus raíces conocidas consiste en ponderar la forma mónica por dicho escalar: $a(x^2 - Sx + P) = 0 \iff ax^2 - aSx + aP = 0$

Determina la ecuación cuadrática con coeficientes enteros irreductibles cuyas raíces son $x_1 = \frac{2}{3}$ y $x_2 = -\frac{1}{4}$.

  • Paso 1: Calcular la suma de las raíces: $S = \frac{2}{3} + \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.
  • Paso 2: Calcular el producto de las raíces: $P = \left(\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6} = -\frac{2}{12}$.
  • Paso 3: Escribir la forma mónica: $x^2 - \frac{5}{12}x - \frac{2}{12} = 0$.
  • Paso 4: Multiplicar por el MCM de los denominadores $a = 12$: $12\left(x^2 - \frac{5}{12}x - \frac{2}{12}\right) = 12(0) \implies 12x^2 - 5x - 2 = 0$.
  • Paso 5: Concluir: La ecuación general con coeficientes enteros es $12x^2 - 5x - 2 = 0$.
Comprueba tu avance ¿Por qué multiplicar toda la ecuación cuadrática por una constante no nula 'a' no altera sus soluciones?

Procedimiento

  • Paso 1: Calcular la suma $S$ y el producto $P$ de las raíces dadas.
  • Paso 2: Escribir la estructura cuadrática mónica $x^2 - Sx + P = 0$.
  • Paso 3: Determinar el valor de $a$ (el coeficiente pedido o el MCM de denominadores).
  • Paso 4: Distribuir el factor $a$ en todos los términos: $ax^2 - aSx + aP = 0$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Multiplicar solo el término cuadrático por $a$ dejando los otros términos sin multiplicar ($ax^2 - Sx + P = 0$).
  • Cómo corregirlo: La constante $a$ se debe distribuir sobre TODOS los términos: $a \cdot x^2 - a \cdot Sx + a \cdot P = 0$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Forma la ecuación cuadrática con raíces $2$ y $5$, y coeficiente principal $a = 3$.
2 Forma una ecuación con coeficientes enteros para raíces $x_1 = 1/2$ y $x_2 = 4$.
3 Forma la ecuación con raíces $-1$ y $3$, con $a = -2$.
4 Determina la ecuación entera para raíces $-1/3$ y $2/5$.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Multiplicar por a solo el lado izquierdo sin igualar a cero."
"No distribuir el coeficiente principal a sobre todos los términos."
"Multiplicar una ecuación cuadrática por una constante no nula preserva intacto su conjunto solución."
"Elegir un multiplicador que no elimine todas las fracciones."
"La ecuación ax² - aSx + aP = 0 posee exactamente las mismas raíces que la ecuación mónica x² - Sx + P = 0."

Al terminar debes poder

Resumen La formación de una ecuación cuadrática general con coeficiente principal $a \neq 0$ a partir de sus raíces conocidas consiste en ponderar la forma mónica por dicho escalar: $a(x^2 - Sx + P) = 0 \iff ax^2 - aSx + aP = 0$

🎯 QUÉ Objetivo

Formar ecuaciones cuadráticas generales conocidas sus raíces y su coeficiente principal.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Distribuyendo el coeficiente principal a sobre la forma mónica canónica a(x² - Sx + P) = 0.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra / Propiedades de las Raíces y Relaciones de Vieta

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Para construir la ecuación con coeficiente principal $a$ y raíces dadas, se debe:

  2. La ecuación construida con un coeficiente principal distinto de 1 tiene las mismas raíces que la mónica.

  3. ¿Cuántas ecuaciones cuadráticas distintas existen con las mismas dos raíces?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Con raíces 1 y 6, y $a=2$, la ecuación es $2x^2-14x+12=0$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Construye la ecuación con raíces 1 y 6, y coeficiente principal $a=2$.

  2. Construye la ecuación con raíces -2 y 3, y coeficiente principal $a=-1$.

  3. Olvidar multiplicar todos los términos de la ecuación mónica por $a$ es un error frecuente.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Construye la ecuación con raíces 2 y -4, y coeficiente principal $a=3$.

  2. Cambiar el coeficiente principal cambia las raíces de la ecuación.

  3. ¿Cuál es el error frecuente al construir la ecuación con coeficiente principal dado?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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