Cálculo de la suma de las raíces mediante la relación -b/a
Calcular la suma de las raíces de una ecuación cuadrática usando la relación $-b/a$, sin necesidad de resolver completamente la ecuación.
Introducción
Existe un atajo para saber cuánto suman las dos soluciones de una ecuación cuadrática, sin tener que calcular cada una por separado.
Explicación
Definición formal
Si $x_1$ y $x_2$ son las raíces de $ax^2+bx+c=0$ con $a\neq0$, entonces $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$. Esta relación se obtiene sumando directamente las dos soluciones de la fórmula general, donde los términos con $\sqrt{\Delta}$ se cancelan.
Desarrollo didáctico
Esta propiedad permite verificar rápidamente un par de soluciones ya calculadas, o encontrar la suma sin resolver la ecuación, simplemente leyendo los coeficientes $a$ y $b$.
Para $x^2-7x+10=0$: $a=1$, $b=-7$, por lo que $x_1+x_2=-\dfrac{-7}{1}=7$. En efecto, las raíces son $2$ y $5$, y $2+5=7$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los coeficientes $a$ y $b$ de la ecuación en forma general.
- Paso 2: Calcula $-\dfrac{b}{a}$.
- Paso 3: Ese resultado es la suma de las dos raíces, sin necesidad de calcularlas individualmente.
Ejemplos
1 Calcula la suma de las raíces de $x^2-5x+6=0$ sin resolver la ecuación.
- $a=1$, $b=-5$.
- $x_1+x_2=-\dfrac{-5}{1}=5$.
2 Calcula la suma de las raíces de $2x^2+6x-8=0$ sin resolver la ecuación.
- $a=2$, $b=6$.
- $x_1+x_2=-\dfrac{6}{2}=-3$.
3 ¿Se necesita resolver la ecuación para calcular la suma de sus raíces?
- Basta con conocer los coeficientes $a$ y $b$, sin necesidad de aplicar la fórmula general completa.
4 ¿La suma de las raíces depende del valor de $c$?
- La fórmula $-b/a$ no involucra a $c$; el término independiente no afecta la suma de las raíces.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar el signo negativo en la fórmula $-b/a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la suma de las raíces con el producto de las raíces."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar el valor de $c$ en vez de $b$ al calcular la suma."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la fórmula a una ecuación que no está en su forma general, usando coeficientes incorrectos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La **suma de las raíces** de $ax^2+bx+c=0$ está dada por $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$, sin necesidad de resolver explícitamente la ecuación.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Se necesita resolver la ecuación para calcular la suma de sus raíces?
La fórmula -b/a se calcula directamente de los coeficientes.
Respuesta: A) No, basta con conocer a y b
-
La suma de las raíces de $ax^2+bx+c=0$ está dada por:
Es la relación de Vieta para la suma de las raíces.
Respuesta: A) $-b/a$
-
La suma de las raíces depende del valor de $c$.
La fórmula -b/a no involucra a c.
Respuesta: Falso
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
En $x^2-7x+10=0$, la suma de las raíces es 7.
-b/a=-(-7)/1=7.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Calcula la suma de las raíces de $2x^2+6x-8=0$.
-b/a=-6/2=-3.
Respuesta: A) $-3$
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Olvidar el signo negativo en la fórmula -b/a es un error frecuente.
Es un error común omitir ese signo negativo.
Respuesta: Verdadero
-
Calcula la suma de las raíces de $x^2-5x+6=0$.
-b/a=-(-5)/1=5.
Respuesta: A) $5$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
En $3x^2-9x+2=0$, la suma de las raíces es 3.
-b/a=-(-9)/3=3.
Respuesta: Verdadero
-
Si las raíces de una ecuación son 3 y -8, ¿cuál es el valor de $-b/a$?
La suma de las raíces es 3+(-8)=-5, igual a -b/a.
Respuesta: A) $-5$
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular la suma de las raíces?
Son dos relaciones distintas de Vieta que se suelen confundir.
Respuesta: A) Confundir la suma con el producto de las raíces