Cálculo de la suma de las raíces mediante la relación -b/a

Resumen inicial

La suma de las dos raíces de una ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) se calcula directamente mediante la primera relación de Vieta: $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.

Explicación en palabras simples

$La suma de las dos raíces de una ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) se calcula directamente mediante la primera relación de Vieta: $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

¿Sabías que puedes saber cuánto suman las dos soluciones de una ecuación cuadrática sin resolverla?

La fórmula mágica de Vieta para la suma:
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
Solo tomas el coeficiente de la $x$ ($b$), le cambias el signo y lo divides por el coeficiente de $x^2$ ($a$).
Ejemplo: En $2x^2 - 8x + 5 = 0$, $a = 2$ y $b = -8$.
$$\text{Suma} = -\frac{-8}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
¡Así de rápido! Las dos soluciones suman exactamente 4, sin necesidad de calcular raíces cuadradas ni fórmulas largas.

Explicación formal

Sean $x_1, x_2 \in \mathbb{C}$ las raíces de la ecuación cuadrática $P(x) = ax^2 + bx + c = 0$ con $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Por el Teorema Fundamental del Álgebra:
$$P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a\left(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\right) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a(x_1 x_2)$$

Igualando coeficientes con la forma canónica $ax^2 + bx + c$:
$$-a(x_1 + x_2) = b \Longleftrightarrow x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

Demostración mediante la resolvente de Bhaskara:
$$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b + \sqrt{\Delta} - b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$$

Definiciones clave

Primera relación de Vieta: Teorema que vincula la traza de las raíces con el cociente de coeficientes $-b/a$.
Eje de simetría: Recta vertical $x = x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{b}{2a}$.

Propiedades y relaciones importantes

Independencia de la realidad de las raíces: La relación $x_1 + x_2 = -b/a$ es válida en $\mathbb{R}$ y en $\mathbb{C}$, incluso cuando $\Delta < 0$.
Doble del vértice: La suma de las raíces es exactamente el doble de la abscisa del vértice: $S = 2x_v$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La suma de las dos raíces de una ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) se calcula directamente mediante la primera relación de Vieta: $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

Calcula la suma de las raíces de la ecuación cuadrática $3x^2 + 15x - 7 = 0$ sin resolverla.

Paso 1: Identificar los coeficientes: $a = 3, b = 15, c = -7$.
Paso 2: Escribir la relación de Vieta para la suma: $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
Paso 3: Sustituir los coeficientes: $S = -\frac{15}{3}$.
Paso 4: Simplificar la fracción: $S = -5$.
Paso 5: Concluir: La suma de las dos raíces es exactamente $-5$.

Procedimiento

Paso 1: Ordenar la ecuación cuadrática en la forma $ax^2 + bx + c = 0$.
Paso 2: Extraer con signo los coeficientes $a$ y $b$.
Paso 3: Plantear la fórmula $S = -\frac{b}{a}$.
Paso 4: Realizar la división y simplificación de signos.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Olvidar el signo menos de la fórmula y responder $b/a$.
Cómo corregirlo: La suma lleva siempre signo opuesto: si $b = 6$ y $a = 2$, la suma es $-\frac{6}{2} = -3$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La relación de Vieta para la suma se cumple tanto si las raíces son reales como si son complejas."

"Omitir el signo menos inicial en -b/a."

"Intentar resolver la ecuación completa perdiendo tiempo en una prueba estandarizada."

"Dividir entre b en lugar de entre a."

"La suma de las raíces de cualquier ecuación ax² + bx + c = 0 es exactamente igual a -b/a."

Al terminar debes poder

$Resumen La suma de las dos raíces de una ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) se calcula directamente mediante la primera relación de Vieta: $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

Calcular de manera instantánea la suma de las raíces de una ecuación cuadrática.

Aplicando la primera relación de Vieta S = -b/a a partir de los coeficientes algebraicos.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Se necesita resolver la ecuación para calcular la suma de sus raíces?
La fórmula -b/a se calcula directamente de los coeficientes.

Respuesta: A) No, basta con conocer a y b
La suma de las raíces de $ax^2+bx+c=0$ está dada por:
Es la relación de Vieta para la suma de las raíces.

Respuesta: A) $-b/a$
La suma de las raíces depende del valor de $c$.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

En $x^2-7x+10=0$, la suma de las raíces es 7.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Calcula la suma de las raíces de $2x^2+6x-8=0$.
-b/a=-6/2=-3.

Respuesta: A) $-3$
Olvidar el signo negativo en la fórmula -b/a es un error frecuente.
Calcula la suma de las raíces de $x^2-5x+6=0$.
-b/a=-(-5)/1=5.

Respuesta: A) $5$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

En $3x^2-9x+2=0$, la suma de las raíces es 3.
Si las raíces de una ecuación son 3 y -8, ¿cuál es el valor de $-b/a$?
La suma de las raíces es 3+(-8)=-5, igual a -b/a.

Respuesta: A) $-5$
¿Cuál es el error frecuente al calcular la suma de las raíces?
Son dos relaciones distintas de Vieta que se suelen confundir.

Respuesta: A) Confundir la suma con el producto de las raíces

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación