Resolución de problemas de movimiento o altura modelados por ecuaciones cuadráticas

M1 — PAES obligatoria Avanzada

Resumen inicial

La resolución de problemas de cinemática y lanzamiento de proyectiles modelados por la función cuadrática de altura $h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2}g t^2$ analiza la trayectoria parabólica en el dominio temporal físico $t \ge 0$.

Explicación en palabras simples

La resolución de problemas de cinemática y lanzamiento de proyectiles modelados por la función cuadrática de altura $h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2}g t^2$ analiza la trayectoria parabólica en el dominio temporal físico $t \ge 0$

Cuando lanzas una pelota hacia arriba, su altura en el tiempo sigue la trayectoria de una parábola:
$$h(t) = -5t^2 + 30t$$

Las preguntas típicas:
1. ¿Cuándo toca el suelo?
- En el suelo la altura es cero ($h = 0$):
$$-5t^2 + 30t = 0 \implies -5t(t - 6) = 0 \implies t_1 = 0\text{ s (al salir)}, \; t_2 = 6\text{ s (al caer)}$$
- Toca el suelo a los 6 segundos.
2. ¿Cuándo alcanza una altura específica (ej: 40 metros)?
- Igualas $h(t) = 40$ y resuelves para $t$. Te dará dos tiempos positivos: el primero cuando va subiendo y el segundo cuando va cayendo.

Explicación formal

Sea un cuerpo puntual en caída libre bajo aceleración gravitacional constante $g \approx 9{,}8 \text{ m/s}^2$ (o modelada como $10 \text{ m/s}^2$ en problemas escolares). La ecuación horaria de posición es:
$$h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0$$

Puntos singulares de la cinemática cuadrática:
1. Tiempo de vuelo (impacto con el suelo): $h(t) = 0 \implies t_{\text{vuelo}} = \frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2gh_0}}{g}$.
2. Instante de altura máxima (vértice): $t_{\text{máx}} = \frac{v_0}{g}$.
3. Altura máxima alcanzada: $h_{\text{máx}} = h_0 + \frac{v_0^2}{2g}$.
4. Paso por altura intermedia $H$: $h(t) = H$ produce dos instantes simétricos $t = t_{\text{máx}} \pm \Delta t$ (subida y bajada).

Comprueba tu avance En un lanzamiento vertical modelado por h(t) = 30t - 5t², ¿a los cuántos segundos toca el proyectil el suelo?

Definiciones clave

  • Ecuación horaria cuadrática: Función cuadrática que describe la posición de un móvil con aceleración constante.
  • Tiempo de vuelo: Intervalo temporal total transcurrido desde el lanzamiento hasta el impacto con la superficie $h = 0$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Simetría temporal: El tiempo de subida es idéntico al tiempo de bajada si $h_0 = 0$.
  • Restricción de causalidad: El tiempo físico no puede ser negativo ($t \ge 0$).

Ejemplo guiado

Ejemplo La resolución de problemas de cinemática y lanzamiento de proyectiles modelados por la función cuadrática de altura $h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2}g t^2$ analiza la trayectoria parabólica en el dominio temporal físico $t \ge 0$

Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de $40\text{ m/s}$. Su altura en metros tras $t$ segundos viene dada por $h(t) = 40t - 5t^2$.
1) ¿En qué instante alcanza una altura de $60\text{ metros}$?
2) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire antes de tocar el suelo?

  • Paso 1: Para $h(t) = 60$: Plantear $40t - 5t^2 = 60$. - Reordenar e igualar a cero: $5t^2 - 40t + 60 = 0$. - Dividir por 5: $t^2 - 8t + 12 = 0$. - Factorizar: $(t - 2)(t - 6) = 0 \implies t_1 = 2\text{ s}, \; t_2 = 6\text{ s}$. - Interpretación: Alcanza los 60 m a los 2 s (subiendo) y a los 6 s (bajando).
  • Paso 2: Para el impacto en el suelo ($h(t) = 0$): Plantear $40t - 5t^2 = 0$. - Factorizar: $5t(8 - t) = 0 \implies t = 0\text{ s (lanzamiento)}, \; t = 8\text{ s (impacto)}$. - Conclusión: Permanece en el aire durante 8 segundos.
Comprueba tu avance Si una pelota alcanza una altura de 20 m en t = 1 s y t = 4 s, ¿en qué instante alcanza su altura máxima?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar la función de altura $h(t)$ y los datos dados.
  • Paso 2: Igualar $h(t)$ a la altura objetivo solicitada (o a 0 si es impacto en suelo).
  • Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática resultante para la variable temporal $t$.
  • Paso 4: Interpretar las dos soluciones como subida y bajada, o descartar tiempos negativos.
  • Paso 5: Responder con la unidad de tiempo (segundos).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Aceptar $t < 0$ como tiempo de vuelo válido.
  • Cómo corregirlo: El tiempo físico de un experimento comienza en $t = 0$; cualquier solución negativa carece de sentido físico y se descarta.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 En $h(t) = 50t - 5t^2$, ¿en qué segundo alcanza la altura máxima?
2 Desde una torre de 20 m se lanza un objeto: $h(t) = 20 + 15t - 5t^2$. ¿Cuándo choca con el suelo?
3 Si $h(t) = 25$ en $t = 1\text{ s}$ y $t = 5\text{ s}$, ¿cuántos segundos estuvo el proyectil por encima de los 25 m?
4 Un móvil frena según $d(t) = 20t - 2t^2$. ¿A los cuántos segundos se detiene?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El movimiento de proyectiles genera trayectorias de altura modeladas por polinomios cuadráticos en el tiempo t."
"Aceptar tiempos negativos como solución."
"El instante de impacto contra el suelo se halla resolviendo la ecuación cuadrática h(t) = 0."
"Olvidar que pasar por una altura intermedia suele generar dos instantes distintos."
"Confundir el instante del vértice con el instante de caída a tierra."

Al terminar debes poder

Resumen La resolución de problemas de cinemática y lanzamiento de proyectiles modelados por la función cuadrática de altura $h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2}g t^2$ analiza la trayectoria parabólica en el dominio temporal físico $t \ge 0$

🎯 QUÉ Objetivo

Resolver problemas cinemáticos de proyectiles y movimiento modelados por ecuaciones de segundo grado.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Igualando la función de altura a la posición requerida, resolviendo para t ≥ 0 e interpretando los instantes de subida y bajada.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra / Modelamiento y Resolución de Problemas Cuadráticos

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Una solución de tiempo negativo puede representar un instante físicamente válido.

  2. El modelo típico de altura de un objeto en movimiento vertical es:

  3. ¿Puede haber dos instantes distintos en que un objeto alcance la misma altura?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Para encontrar cuándo un objeto toca el suelo, se resuelve $h(t)=0$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. La altura de un objeto es $h(t)=-5t^2+15t$. ¿En qué instante toca el suelo?

  2. Con $h(t)=-5t^2+20t$, ¿en qué instante(s) la altura es $15$ m?

  3. Aceptar como válida una solución de tiempo negativo es un error frecuente en problemas de movimiento.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al modelar problemas de movimiento vertical?

  2. El coeficiente cuadrático en un modelo de caída bajo gravedad siempre es negativo.

  3. Con $h(t)=-5t^2+10t+15$, ¿en qué instante toca el suelo (redondeando si es necesario)?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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