Resolución de problemas de movimiento o altura modelados por ecuaciones cuadráticas
Plantear y resolver problemas de altura o movimiento (como el lanzamiento de un objeto) modelados mediante ecuaciones de segundo grado.
Introducción
Cuando un objeto se lanza hacia arriba, su altura respecto al tiempo sigue una trayectoria parabólica; preguntar cuándo alcanza cierta altura, o cuándo cae al suelo, siempre lleva a una ecuación cuadrática.
Explicación
Definición formal
La altura de un objeto en movimiento vertical bajo gravedad constante se modela como $h(t)=-\dfrac{1}{2}gt^2+v_0t+h_0$, donde $t$ es el tiempo, $v_0$ la velocidad inicial y $h_0$ la altura inicial. Determinar en qué instante $t$ el objeto alcanza una altura específica $h^*$ equivale a resolver $h(t)=h^*$, una ecuación de segundo grado en $t$.
Desarrollo didáctico
Un caso frecuente es preguntar cuándo el objeto toca el suelo, lo que corresponde a resolver $h(t)=0$; de las dos soluciones que entrega la ecuación, solo la de tiempo positivo tiene sentido físico.
Si $h(t)=-5t^2+20t+25$ (en metros), para saber cuándo toca el suelo se resuelve $-5t^2+20t+25=0$, obteniendo $t=5$ o $t=-1$; se descarta $t=-1$ porque el tiempo no puede ser negativo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la función de altura $h(t)$ dada en el problema.
- Paso 2: Iguala $h(t)$ al valor de altura buscado (por ejemplo, cero si se pregunta cuándo toca el suelo).
- Paso 3: Resuelve la ecuación cuadrática resultante para $t$.
- Paso 4: Descarta las soluciones de tiempo negativo, que no tienen sentido físico.
Ejemplos
1 La altura de un objeto lanzado es $h(t)=-5t^2+15t$ (en metros, con $t$ en segundos). ¿En qué instante toca el suelo?
- Se resuelve $-5t^2+15t=0$, factorizando: $-5t(t-3)=0$.
- $t=0$ (instante inicial) o $t=3$.
- Toca el suelo a los $3$ segundos.
2 Con $h(t)=-5t^2+20t$, ¿en qué instante(s) la altura es $15$ m?
- $-5t^2+20t=15$, equivalente a $-5t^2+20t-15=0$, o $t^2-4t+3=0$.
- $t=1$ o $t=3$, ambos tiempos positivos y válidos.
- {'El objeto alcanza $15$ m en dos instantes': 'al subir ($t=1$) y al bajar ($t=3$).'}
3 ¿Puede haber dos instantes distintos en que un objeto alcance la misma altura?
- El objeto pasa por la misma altura una vez al subir y otra vez al bajar, salvo que sea exactamente la altura máxima.
4 ¿Una solución de tiempo negativo puede representar un instante físicamente válido?
- El tiempo transcurrido desde el lanzamiento no puede ser negativo, por lo que esas soluciones se descartan.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aceptar como válida una solución de tiempo negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que puede haber dos instantes distintos válidos para una misma altura (subida y bajada)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la altura inicial $h_0$ con la altura máxima alcanzada."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar las unidades o el signo del coeficiente cuadrático (siempre negativo en un modelo de caída bajo gravedad)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Los problemas de movimiento o altura se modelan con una función cuadrática del tipo $h(t)=-\dfrac{1}{2}gt^2+v_0t+h_0$, y se resuelven planteando $h(t)$ igual al valor de altura buscado.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Una solución de tiempo negativo puede representar un instante físicamente válido.
El tiempo transcurrido desde el lanzamiento no puede ser negativo.
Respuesta: Falso
-
El modelo típico de altura de un objeto en movimiento vertical es:
Es la función cuadrática que modela la altura bajo gravedad constante.
Respuesta: A) $h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+h_0$
-
¿Puede haber dos instantes distintos en que un objeto alcance la misma altura?
El objeto pasa por la misma altura una vez subiendo y otra bajando.
Respuesta: A) Sí, al subir y al bajar
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Para encontrar cuándo un objeto toca el suelo, se resuelve $h(t)=0$.
El suelo corresponde a altura cero.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
La altura de un objeto es $h(t)=-5t^2+15t$. ¿En qué instante toca el suelo?
-5t(t-3)=0; t=0 o t=3; toca el suelo a los 3 segundos.
Respuesta: A) $t=3$ s
-
Con $h(t)=-5t^2+20t$, ¿en qué instante(s) la altura es $15$ m?
-5t^2+20t=15; t^2-4t+3=0; t=1 o t=3.
Respuesta: A) $t=1$ s y $t=3$ s
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Aceptar como válida una solución de tiempo negativo es un error frecuente en problemas de movimiento.
El tiempo no puede ser negativo en este tipo de problemas.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al modelar problemas de movimiento vertical?
Son conceptos distintos: h0 es la altura de lanzamiento, no necesariamente la máxima alcanzada.
Respuesta: A) Confundir la altura inicial $h_0$ con la altura máxima
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El coeficiente cuadrático en un modelo de caída bajo gravedad siempre es negativo.
El término -1/2 g t^2 tiene coeficiente negativo, pues la gravedad frena el ascenso.
Respuesta: Verdadero
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Con $h(t)=-5t^2+10t+15$, ¿en qué instante toca el suelo (redondeando si es necesario)?
-5t^2+10t+15=0; t^2-2t-3=0; t=3 o t=-1; se descarta -1.
Respuesta: A) $t=3$ s