Simplificación de raíces obtenidas mediante la fórmula general
Simplificar correctamente las raíces cuadradas y fracciones que resultan al aplicar la fórmula general.
Introducción
Después de sustituir en la fórmula general, casi siempre queda una expresión con raíz cuadrada y una fracción que todavía se puede reducir a una forma más simple.
Explicación
Definición formal
Tras calcular $\Delta$ y obtener $\sqrt{\Delta}$, esta raíz debe simplificarse extrayendo el mayor factor cuadrado perfecto posible: si $\Delta=k^2 \cdot m$ con $m$ libre de cuadrados, entonces $\sqrt{\Delta}=k\sqrt{m}$. Finalmente, la fracción $\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ debe reducirse dividiendo todos sus términos por su máximo común divisor, si existe.
Desarrollo didáctico
Simplificar una raíz consiste en descomponer el número en factores, identificar el mayor cuadrado perfecto que lo divide, y extraer su raíz fuera del radical.
Para $\Delta=72$: $72=36 \cdot 2$, y $36$ es cuadrado perfecto, por lo que $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Descompón el valor del discriminante en factores, buscando el mayor cuadrado perfecto posible.
- Paso 2: Extrae la raíz del factor cuadrado perfecto fuera del radical.
- Paso 3: Reescribe la fracción completa con la raíz simplificada.
- Paso 4: Reduce la fracción dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor, si corresponde.
Ejemplos
1 Simplifica $\sqrt{50}$.
- $50=25 \cdot 2$, y $25$ es cuadrado perfecto.
- $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
2 Simplifica $x=\dfrac{4\pm\sqrt{8}}{2}$.
- $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
- $x=\dfrac{4\pm2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}$, dividiendo todos los términos por 2.
3 ¿Toda raíz cuadrada de un entero se puede simplificar?
- Solo se puede simplificar si el número bajo la raíz tiene un factor cuadrado perfecto mayor que 1; de lo contrario ya está en su forma más simple.
4 ¿Se puede simplificar una fracción dividiendo solo el numerador y dejando el denominador igual?
- Para que la fracción siga representando el mismo valor, se debe dividir tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Simplificar la raíz solo parcialmente, sin extraer el mayor cuadrado perfecto posible."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Reducir la fracción dividiendo únicamente el término con la raíz y no también el término $-b$ y el denominador."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ con $\sqrt{a+b}$ al intentar simplificar una suma bajo la raíz."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar simplificar la fracción final cuando todos sus términos comparten un divisor común."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Simplificar el resultado de la fórmula general implica extraer factores cuadrados perfectos de la raíz y reducir la fracción final por el máximo común divisor entre el numerador y el denominador.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Simplificar una raíz cuadrada consiste en:
Se descompone el número y se extrae el mayor cuadrado perfecto que lo divide.
Respuesta: A) Extraer el mayor factor cuadrado perfecto posible
-
Toda raíz cuadrada de un entero se puede simplificar.
Solo si el número tiene un factor cuadrado perfecto mayor que 1.
Respuesta: Falso
-
Para reducir la fracción $\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$, se debe dividir:
Para preservar el valor de la fracción, se debe dividir todo por el mismo número.
Respuesta: A) Todos los términos por el mismo factor común
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
50=25·2, y 25 es cuadrado perfecto, por lo que raíz(50)=5·raíz(2).
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Simplifica $\sqrt{72}$.
72=36·2, y 36 es cuadrado perfecto, por lo que raíz(72)=6·raíz(2).
Respuesta: A) $6\sqrt{2}$
-
Simplifica $x=\dfrac{4\pm\sqrt{8}}{2}$.
raíz(8)=2raíz(2); x=(4±2raíz(2))/2=2±raíz(2), dividiendo todo por 2.
Respuesta: A) $2\pm\sqrt{2}$
-
$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
20=4·5, y 4 es cuadrado perfecto, por lo que raíz(20)=2raíz(5).
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$ en general.
No existe esa propiedad; es un error común confundir suma de raíces con raíz de una suma.
Respuesta: Falso
-
Simplifica $x=\dfrac{6\pm\sqrt{18}}{6}$.
raíz(18)=3raíz(2); x=(6±3raíz(2))/6=1±raíz(2)/2, dividiendo todo por 6.
Respuesta: A) $1\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
-
¿Cuál es el error frecuente al simplificar la fracción final de la fórmula general?
Se debe dividir el numerador completo (incluyendo -b) y el denominador por el mismo factor.
Respuesta: A) Reducir solo el término con la raíz, sin dividir todo por igual