Resolución de ecuaciones reducibles a segundo grado mediante sustitución auxiliar
Resumen inicial
La resolución completa de ecuaciones reducibles a segundo grado mediante sustitución auxiliar consta de tres fases: 1) cambiar la variable $u = g(x)$; 2) resolver la ecuación cuadrática en $u$; y 3) deshacer la sustitución resolviendo $g(x) = u_i$ para hallar todas las raíces reales de $x$.
Explicación en palabras simples
Para resolver una ecuación completa con cambio de variable (como una bicuadrada $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$):
Las 3 etapas obligatorias:
1. Fase 1 (Disfrazar): Cambias $u = x^2 \implies u^2 - 13u + 36 = 0$.
2. Fase 2 (Resolver en u): Factorizas $(u - 4)(u - 9) = 0 \implies u_1 = 4, u_2 = 9$.
3. Fase 3 (¡Deshacer el disfraz!):
- Si $u = 4 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
- Si $u = 9 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
4. Resultado final: La ecuación original tiene cuatro soluciones reales: $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$.
- ¡Cuidado! Si algún $u$ da negativo (ej: $u = -5$), al plantear $x^2 = -5$ no genera soluciones reales.
Explicación formal
Sea la ecuación $a[g(x)]^2 + b[g(x)] + c = 0$. El algoritmo de resolución completa por reducción cuadrática se estructura en tres etapas secuenciales:
Fase 1: Reducción formal
$$u = g(x) \implies au^2 + bu + c = 0$$
Fase 2: Resolución en el espacio auxiliar
$$u_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
Fase 3: Restitución y resolución de ecuaciones desacopladas
$$\mathcal{S}_x = \left\{ x \in \text{Dom}(g) \mid g(x) = u_1 \right\} \cup \left\{ x \in \text{Dom}(g) \mid g(x) = u_2 \right\}$$
Filtrado de soluciones incompatibles:
- Si $g(x) = x^2$ y $u_i < 0$, la ecuación $x^2 = u_i$ produce $\mathcal{S}_i = \emptyset$ en $\mathbb{R}$.
- Si $g(x) = \sqrt{x}$ y $u_i < 0$, no existen preimágenes reales ya que el rango de la raíz principal es $[0, +\infty[$.
La alternativa correcta es 'x = 3 y x = -3 (u = -4 no produce soluciones reales)'. $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$, mientras que $x^2 = -4$ no tiene solución en $\mathbb{R}$.
Definiciones clave
- Restitución de variable: Proceso de resolver $g(x) = u_i$ para retornar a las soluciones de la variable original $x$.
- Raíces bicuadradas: Conjunto de hasta 4 soluciones simétricas $\{\pm \sqrt{u_1}, \pm \sqrt{u_2}\}$.
Propiedades y relaciones importantes
- Teorema fundamental en grado 4: Una ecuación bicuadrada posee a lo sumo 4 soluciones en $\mathbb{R}$.
- Simetría de soluciones bicuadradas: Las soluciones reales de una ecuación bicuadrada siempre se presentan en pares opuestos $\pm k$.
Ejemplo guiado
Resuelve completamente en el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ la ecuación bicuadrada $x^4 - 29x^2 + 100 = 0$.
- Paso 1: Aplicar la sustitución $u = x^2$ (con $u \ge 0$): $u^2 - 29u + 100 = 0$.
- Paso 2: Factorizar el trinomio en $u$: Dos números que multiplicados den 100 y sumados den $-29$: $-25$ y $-4$. $(u - 25)(u - 4) = 0 \implies u_1 = 25, \; u_2 = 4$.
- Paso 3: Deshacer la sustitución para $u_1 = 25$: $x^2 = 25 \implies x = \pm \sqrt{25} = \pm 5$.
- Paso 4: Deshacer la sustitución para $u_2 = 4$: $x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$.
- Paso 5: Reunir todas las soluciones reales: $\mathcal{S} = \{-5, -2, 2, 5\}$ (cuatro soluciones reales distintas).
La alternativa correcta es 'Porque u es solo una variable auxiliar y la pregunta pide los valores de x.'. La resolución exige siempre restituir la variable original.
Procedimiento
- Paso 1: Definir la variable auxiliar $u = g(x)$ y plantear la ecuación cuadrática en $u$.
- Paso 2: Resolver la ecuación cuadrática obteniendo las soluciones auxiliares $u_1$ y $u_2$.
- Paso 3: Plantear las ecuaciones de restitución $g(x) = u_1$ y $g(x) = u_2$.
- Paso 4: Resolver cada una de las ecuaciones en la variable original $x$, descartando aquellas sin solución real.
- Paso 5: Escribir el conjunto solución uniendo todas las raíces válidas de $x$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Detenerse al hallar los valores de $u$ creyendo que la ecuación ya está resuelta.
- Cómo corregirlo: La incógnita pedida es $x$, por lo que debes deshacer siempre el cambio planteando $g(x) = u$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $u^2 - 10u + 9 = 0 \implies u \in \{1, 9\}$.
- Paso 2: $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$; $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
- Paso 1: $u^2 - 8u - 9 = 0 \implies u = 9 \lor u = -1$.
- Paso 2: $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$; $x^2 = -1$ (no real).
- Paso 1: $u = \sqrt{x} \implies u^2 - 5u + 6 = 0 \implies u = 2 \lor u = 3$.
- Paso 2: $\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$; $\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$.
- Paso 1: $u = x - 1 \implies u^2 - 4u - 5 = 0 \implies u = 5 \lor u = -1$.
- Paso 2: $x - 1 = 5 \implies x = 6$; $x - 1 = -1 \implies x = 0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Resolver completamente ecuaciones reducibles a segundo grado mediante sustitución auxiliar.
Ejecutando las tres fases de cambio de variable, resolución cuadrática auxiliar y restitución final de la incógnita original.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Todo valor de $u$ obtenido siempre genera soluciones reales en $x$.
Si u=x^2 y el valor de u es negativo, no hay x real que lo satisfaga.
Respuesta: Falso
-
Una ecuación bicuadrada puede tener como máximo:
Cada valor positivo de u=x^2 genera dos soluciones opuestas en x.
Respuesta: A) Cuatro soluciones reales
-
Resolver una ecuación reducible implica, como último paso:
El objetivo final es obtener los valores de x, no de u.
Respuesta: A) Deshacer la sustitución para hallar los valores de $x$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$x^4-13x^2+36=0$ tiene cuatro soluciones reales: $\pm2$ y $\pm3$.
Con u=x^2: u=4 y u=9, dando x=±2 y x=±3.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Resuelve $x^4-5x^2+4=0$.
Con u=x^2: u=1 y u=4; x^2=1 da x=±1; x^2=4 da x=±2.
Respuesta: A) $x=\pm1, \pm2$
-
Resuelve $x^4+3x^2-4=0$.
u^2+3u-4=0 da u=1 y u=-4; se descarta u=-4 por ser negativo; x^2=1 da x=±1.
Respuesta: A) $x=\pm1$ (descartando la otra solución de $u$)
-
Si $u=x^2$ resulta negativo, esa solución debe descartarse.
x^2 nunca puede ser negativo dentro de los números reales.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
$x^4-10x^2+9=0$ tiene cuatro soluciones reales.
u^2-10u+9=0 da u=1 y u=9, ambos positivos, dando x=±1 y x=±3.
Respuesta: Verdadero
-
Resuelve $x^4-x^2-12=0$.
u^2-u-12=0 da u=4 y u=-3; se descarta u=-3; x^2=4 da x=±2.
Respuesta: A) $x=\pm2$ (descartando la solución negativa de $u$)
-
¿Cuál es el error frecuente al resolver ecuaciones reducibles?
La respuesta final debe estar en términos de x, no de u.
Respuesta: A) Olvidar deshacer la sustitución, dejando la respuesta en $u$